Sviluppo di Taylor con radice fino all'ordine 20

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Sviluppo di Taylor con radice fino all'ordine 20 #78407

avt
Victo93
Punto
Ciao, ho un esercizio sull'utilizzo dello sviluppo di Taylor di una funzione con radice fino all'ordine 20. Mi spiego meglio. La traccia dell'appello dice:

scrivere lo sviluppo di Taylor della funzione f(x)=\sqrt{x^8 +1} di centro x_0 =0 e ordine n=20.


Calcolarmi le derivate fino alla 20-esima di quella funzione è fuori discussione. Ho pensato quindi di ricorrere agli sviluppi notevoli.

Sapendo che

(1+t)^p = 1 + px + \frac {(p(p-1))} 2 x^2 + ...+ \frac {p(p-1)...(p-n-1)} {n!} x^n + o(x^n)

dove in questo caso p=\frac 1 2 e per t intendo t=x^8.

Oltre sto punto non so come continuare, ho una confusione incredibile per quanto riguarda questo argomento. Spero sappiate aiutarmi, grazie! emt

N.B. Se possibile, potreste darmi il link di qualche eserciziario in cui ci sono sviluppi di ordine così elevati con le relative soluzioni? Grazie ancora
 
 

Sviluppo di Taylor con radice fino all'ordine 20 #78409

avt
Omega
Amministratore
Ciao Victo93 emt

L'esercizio che hai proposto è un classico tra le possibili prime applicazioni degli sviluppi di Taylor e serve a far prendere confidenza con lo sviluppo delle funzioni composte.

Abbiamo la funzione

f(x)=\sqrt{x^8 +1}

e vogliamo scriverne lo sviluppo in serie di Taylor-Mc Laurin (ossia centrato in x_0=0) fino al ventesimo ordine.

Come hai giustamente intuito procedere con il calcolo di 20 derivate è pura follia e, allo stesso tempo, la strada che hai imboccato è quella giusta: conviene procedere con un'opportuna sostituzione e fare riferimento ad uno degli sviluppi notevoli in serie di Taylor-Mc Laurin.

Nel nostro caso conviene considerare lo sviluppo di g(x)=\sqrt{1+x}, che è una pura e semplice particolarizzazione dello sviluppo di h(x)=(1+x)^\alpha con \alpha=\frac{1}{2}.

Te li scrivo entrambi per sicurezza anche perché nell'ultimo termine dello sviluppo che hai scritto c'è un errore di segno. Ad ogni modo trovi tutto nell'ultima lezione che ho linkato in precedenza:

(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x +\frac{\alpha (\alpha-1)}{2}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3+\cdots + {\alpha\choose n}x^{n}+ o(x^n)

dove {\alpha\choose n} è definito come

{\alpha\choose n}= \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots (\alpha-n+1)}{n!}

Prendendo \alpha=\frac{1}{2} otteniamo l'ulteriore sviluppo notevole

(1+x)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1+x}= 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5}{128}x^4+\frac{7}{256}x^5-\frac{21}{1024}x^6+...

Noi decidiamo di porre t=x^8 e di fare riferimento allo sviluppo di \sqrt{1+t}. Ne dobbiamo scrivere lo sviluppo e successivamente controsostituire x^8 in luogo di t.

Ok: come facciamo a capire a quale ordine fermarci?

Ricordiamoci le proprietà delle potenze ed in particolare quella per cui (a^b)^c=a^{bc}.

Se ci fermiamo al secondo ordine, otterremo come potenza massima 2\cdot 8=16.

\sqrt{1+t}= 1+\frac{t}{2}-\frac{t^2}{8}+o(t^2)\ \to\ \sqrt{1+x^8}= 1+\frac{x^8}{2}-\frac{x^{16}}{8}+o(x^{16})

non va bene, troppo poco...

Se ci fermiamo al terzo ordine, otterremo come potenza massima 3\cdot 8=16.

\sqrt{1+t}= 1+\frac{t}{2}-\frac{t^2}{8}+\frac{t^3}{16}+o(t^3)\ \to\ \sqrt{1+x^8}= 1+\frac{x^8}{2}-\frac{x^{16}}{8}+\frac{x^{24}}{16}+o(x^{24})

non va bene, troppo...

Dalla scrittura dei due sviluppi abbiamo intuito che tutti gli ordini di sviluppo compresi tra il 17-esimo ed il 23-esimo sono nulli. Per avere lo sviluppo di ordine 20 dobbiamo quindi limitarci a considerare lo sviluppo di ordine 16 e modificare opportunamente l'o-piccolo

\sqrt{1+x^8}= 1+\frac{x^8}{2}-\frac{x^{16}}{8}+o(x^{20})

ed ecco fatto: quella che abbiamo appena scritto è proprio lo sviluppo di Taylor-Mc Laurin della funzione f(x)=\sqrt{1+x^8}. Ricorda che il termine che individua l'ordine di uno sviluppo è sempre e solo il resto. emt


PS: andando a memoria dovresti trovare qualcosina di simile nella scheda di esercizi sugli sviluppi di Taylor. Mi raccomando: presta particolare attenzione al caso degli sviluppi composti, il giochetto dell'ordine elevato è marginale. emt
Ringraziano: Pi Greco, Galois, CarFaby, Victo93

Re: Sviluppo di Taylor con radice fino all'ordine 20 #78415

avt
Victo93
Punto
Grazie, la situazione mi è ora leggermente più chiara ma ho ancora dei dubbi sulla corretta applicazione.

Su internet quando ho cercato esercizi svolti, ho sempre visto che prima di effetturare la sostituzione controllavano se t \to 0 per x \to 0 .
Qui non l'hai fatto, come mai?

Poi, quando tu sviluppi (1+x)^p, hai considerato il suo o-piccolo o no?
Se non l'hai considerato, perchè?
Se invece l'hai considerato e non l'hai scritto, come l'hai legato all'altro o-piccolo?

Grazie ancora emt

Re: Sviluppo di Taylor con radice fino all'ordine 20 #78433

avt
Omega
Amministratore
Su internet quando ho cercato esercizi svolti, ho sempre visto che prima di effettuare la sostituzione controllavano se t \to 0 per x \to 0 .
Qui non l'hai fatto, come mai?

Qui l'ho inteso implicitamente alla luce della semplicità della sostituzione t=x^8.
Però ti ho anche messo in guardia sugli esercizi relativi allo sviluppo di funzioni composte, e lì come avrai modo di notare il calcolo dei centri dei singoli sviluppi viene trattato ampiamente. emt

Poi, quando tu sviluppi (1+x)^p, hai considerato il suo o-piccolo o no?
Se non l'hai considerato, perché?

In riferimento a questa parte della mia risposta:

Te li scrivo entrambi per sicurezza anche perché nell'ultimo termine dello sviluppo che hai scritto c'è un errore di segno. Ad ogni modo trovi tutto nell'ultima lezione che ho linkato in precedenza:

(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x +\frac{\alpha (\alpha-1)}{2}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3+\cdots + {\alpha\choose n}x^{n}+ o(x^n)

dove {\alpha\choose n} è definito come

{\alpha\choose n}= \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots (\alpha-n+1)}{n!}

Prendendo \alpha=\frac{1}{2} otteniamo l'ulteriore sviluppo notevole

(1+x)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1+x}= 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5}{128}x^4+\frac{7}{256}x^5-\frac{21}{1024}x^6+...

Come puoi vedere, lo sviluppo che ho scritto per (1+x)^{\alpha} comprende l'o-piccolo.

Nel caso di \sqrt{1+x} mi sono semplicemente concentrato sui primi termini in modo da fornirti un termine di confronto per i calcoli. Niente di più, niente di meno.

Ciò dovrebbe rispondere anche alla tua successiva ed ultima domanda:

Se invece l'hai considerato e non l'hai scritto, come l'hai legato all'altro o-piccolo?
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby, Victo93

Re: Sviluppo di Taylor con radice fino all'ordine 20 #78475

avt
Victo93
Punto
Ottimo, grazie emt
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Os