Studio di funzione con logaritmo e modulo

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Studio di funzione con logaritmo e modulo #78008

avt
giacomo.giacomo
Punto
Buongiorno ragazzi, ecco uno studio di funzione completo con log e modulo.

Sia f(x)=\frac{x^2}{2}-4\log|x-1|

(a) Determinare il dominio di f.

(b) Calcolare \lim_{x\to 1^{+}}f(x),\lim_{x\to 1^{-}}f(x),\lim_{x\to +\infty}f(x)\mbox{ e }\lim_{x\to -\infty}f(x)

(c) Individuare gli eventuali asintoti verticali della funzione.

(d) Determinare gli intervalli in cui f è strettamente crescente e quelli in cui risulta strettamente decrescente.

(e) Mostrare che la funzione ammette due punti di minimo relativo x_1<0<x_2. Determinare x_1\mbox{ e }x_2 e, usando il fatto che f(0)=0, concludere che f(x_1)<0.

(f) Determinare gli intervalli in cui f è convessa e quelli in cui è concava.

(g) Tenendo anche conto del fatto che f(x_2)>0, disegnare un grafico approssimativo di f.
 
 

Re: Studio di funzione con logaritmo e modulo #78009

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Giacomo, cominciamo subito con il primo punto.

(a) Determiniamo il dominio della funzione.

Poiché è presente la funzione logaritmica dobbiamo richiedere che il suo argomento sia maggiore di zero e questo conduce alla risoluzione della seguente disequazione con valore assoluto.

|x-1|>0\iff x-1\ne 0\iff x\ne 1

Pertanto il dominio è:

\mbox{dom}(f)=(-\infty, 1)\cup (1,+\infty).

(b) Calcoliamo i 4 limiti:

\bullet\,\,\lim_{x\to 1^{+}}f(x)= \lim_{x\to 1^{+}}\frac{x^2}{2}-4\log|x-1|= \left[\frac{1}{2}-4\log(0^{+})\right]=+\infty

Ricorda che quando l'argomento del logaritmo tende a zero, il logaritmo tende a - infinito.

\bullet\,\,\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x^2}{2}-4\log|x-1|=\left[\frac{1}{2}-4\log(0^{+})\right]=+\infty.

\bullet\,\, \lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{2}-4\log|x-1|=[+\infty-\infty]

Siamo di fronte ad una forma indeterminata che si risolve mettendo in evidenza l'infinito di ordine superiore e tra una potenza e un logaritmo vince la prima:

\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{2}-4\log|x-1|=

\lim_{x\to +\infty}x^2\left(\frac{1}{2}-4\frac{\log|x-1|}{x^2}\right)=+\infty

Nota infatti che:

\lim_{x\to +\infty}\frac{\log|x-1|}{x^2}=0.

Ora vediamo di risolvere anche il limite per x che tende a - infinito, non è molto diverso da quello che abbiamo fatto, ripercorreremo gli stessi passaggi:

\lim_{x\to -\infty}\frac{x^2}{2}-4\log|x-1|=

\lim_{x\to -\infty}x^2\left(\frac{1}{2}-4\frac{\log|x-1|}{x^2}\right)=+\infty

Nota infatti che:

\lim_{x\to -\infty}\frac{\log|x-1|}{x^2}=0.

(c) Andiamo alla ricerca degli asintoti verticali della funzione.

Poiché, come abbiamo visto nel punto (b),

\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty

si ha che x=1 è l'equazione dell'asintoto verticale. Non ve ne sono altri.

(d) Per determinare gli intervalli di monotonia calcoleremo la derivata della funzione e in particolare studieremo il suo segno. Prima di farlo però ci sbarazzeremo del valore assoluto utilizzando la definizione.

f(x)=\begin{cases}\frac{x^2}{2}-4\log(x-1)&\mbox{ se }x>1\\ \frac{x^2}{2}-4\log(1-x)&\mbox{ se }x<1\end{cases}

La derivata prima sarà:

f'(x)=\begin{cases}x-\frac{4}{x-1}&\mbox{ se }x>1\\ x-\frac{4}{1-x}\cdot (-1)&\mbox{ se }x<1\end{cases}

f'(x)=\begin{cases}x-\frac{4}{x-1}&\mbox{ se }x>1\\ x-\frac{4}{x-1}&\mbox{ se }x<1\end{cases}

I due rami coincidono, potremo riscriverlo come:

f'(x)=x-\frac{4}{x-1}&\mbox{ se }x\ne 1

Studiamo il segno della derivata, impostando la disequazione fratta:

f'(x)>0\iff x-\frac{4}{x-1}>0\iff \frac{x^2-x-4}{x-1}>0

Studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore:

\bullet\,\,x^2-x-4>0\iff \frac{1-\sqrt{17}}{2}<x\vee x>\frac{1+\sqrt{17}}{2}

\bullet\,\, x-1>0\iff x>1

Rappresentiamo la tabella dei segni:

tabella del segno di una funzione fratta


Scopriamo che la derivata prima è

\bullet\,\, \mbox{ positiva in } \left(\frac{1-\sqrt{17}}{2}, 1\right)\mbox{ e in }\left(\frac{1+\sqrt{17}}{2}, +\infty\right)

\bullet\,\, \mbox{ negativa in }\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)\mbox{ e in }\left(1, \frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)

\bullet\,\, \mbox{ nulla per }x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\vee x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}

La funzione è dunque:

\bullet\,\,\mbox{\ strettamente crescente in } \left(\frac{1-\sqrt{17}}{2}, 1\right)\mbox{ e in }\left(\frac{1+\sqrt{17}}{2}, +\infty\right)

\bullet\,\,\mbox{ strettamente decrescente in } \left(-\infty, \frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)\mbox{ e in }\left(1, \frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)

(e) In base alla crescenza e alla decrescenza della funzione possiamo asserire che:

x=\frac{1-\sqrt{17}}{2} è un punto di minimo relativo;

x=\frac{1+\sqrt{17}}{2} è un punto di minimo relativo;

In particolare si ha che:

x_1=\frac{1-\sqrt{17}}{2}<0<\frac{1+\sqrt{17}}{2}=x_2.

Attenzione ora. Sappiamo che x_1<0 e per x_1\le x<0 la funzione è strettamente crescente allora:

f(x_1)<f(0)=0\implies f(x_1)<0,

ossia, il valore che la funzione assume in x_1 è negativo.

(f) Determiniamo gli intervalli in cui la funzione è convessa e gli intervalli in cui la funzione è concava. Come si fa? Semplicissimo. Calcoliamo la derivata seconda:

f''(x)=1+\frac{4}{(x-1)^2}\mbox{ con }x\ne 1

La derivata seconda è sempre positiva perché somma di due quantità positive, pertanto la funzione è

\bullet\,\,\mbox{ convessa in }(-\infty, 1)\mbox{ e in }(1, +\infty)

(g) A questo punto abbiamo le informazioni che ci servono per disegnare il grafico della funzione.

grafico di funzione con logaritmo e valore assoluto
Ringraziano: Omega, CarFaby
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