Studiare la continuità di una funzione parametrica con 3 rami

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Studiare la continuità di una funzione parametrica con 3 rami #77980

avt
giacomo.giacomo
Punto
Ciao di nuovo, ecco un ulteriore esercizio sulle funzioni parametriche definite a tratti e sullo studio della continuità.

Sia f:R → R la funzione definita da

f(x): = (log(1+sin^2(a x)))/(x^2) se x < 0 ; b se x = 0 ; (sin(x))/(√(x))+4 se x > 0

dove a,b sono costanti. Determinare a e b in modo che f risulti continua, giustificando la risposta.
 
 

Re: Studiare la continuità di una funzione parametrica con 3 rami #77981

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Giacomo,

la funzione

f(x): = (log(1+sin^2(a x)))/(x^2) se x < 0 ; b se x = 0 ; (sin(x))/(√(x))+4 se x > 0

è definita a tratti, e precisamente è formata da tre rami:

• f_(1)(x): = (log(1+sin^2(ax)))/(x^2) se x < 0

è una funzione continua in (-∞, 0) perché composizione di funzioni continue;

• f_(2)(x): = (sin(x))/(√(x))+4 se x > 0

è una funzione continua in (0,+∞) per lo stesso motivo precedente: è composizione di funzioni continue.

Infine vale la condizione f(0) = b.

L'unico punto dubbio è il punto di raccordo x_0 = 0, ossia quel punto in cui avviene il cambio di espressione analitica.

Affinché la funzione data sia continua in x_0 = 0 dobbiamo pretendere che esistano finiti il limite destro e il limite sinistro e siano uguali al valore che la funzione assume in x_0. In formule, deve sussistere la doppia uguaglianza

lim_(x → 0^(+))f(x) = lim_(x → 0^(-))f(x) = f(0)

Calcoliamo il limite sinistro per x → 0 nel qual caso dobbiamo prendere in considerazione il primo ramo della funzione perché x tende a 0 per valori negativi.

lim_(x → 0^(-))f(x) = lim_(x → 0^(-))(log(1+sin^2(ax)))/(x^2) = (•)

Per affrontare questo limite possiamo avvalerci delle stime asintotiche:

• sin(f(x)) ~ _(f(x) → 0)f(x)

Ci dice sostanzialmente che la funzione seno è asintoticamente equivalente al suo argomento purché quest'ultimo sia infinitesimo

• log(1+g(x)) ~ _(g(x) →)g(x)

Ci dice che se la funzione g(x) è infinitesima allora il logaritmo di 1+g(x) è asintotico a g(x).

Entrambe le relazioni asintotiche derivano dai limiti notevoli.

Poiché

lim_(x → 0^(-))a x = 0 e inoltre lim_(x → 0^(-))sin^2(a x) = 0 ∀ a∈R

possiamo scrivere

log(1+sin^2(a x)) ~ _(x → 0)sin^2(a x) ~ _(x → 0)a^2x^2

e per il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti otteniamo il limite equivalente

(•) = lim_(x → 0^(-))(a^2 x^2)/(x^2) = a^2 ∀ a∈R

Calcoliamo il limite destro per x → 0. Nel limite interviene il secondo ramo della funzione giacché x tende a 0 per valori positivi

lim_(x → 0^(+))f(x) = lim_(x → 0^(+))((sin(x))/(√(x))+4) =

Eseguiamo una razionalizzazione moltiplicando e dividendo per √(x) la prima frazione

= lim_(x → 0^(+))((sin(x)√(x))/(√(x)·√(x))+4) =

otterremo

= lim_(x → 0^(+))((sin(x))/(x)√(x)+4) =

Grazie al limite notevole del seno

lim_(x → 0)(sin(x))/(x) = 1

concludiamo che il limite è 4

lim_(x → 0^(+))((sin(x))/(x)√(x)+4) = 1·0+4 = 4.

Affinché la funzione sia continua in 0 dobbiamo richiedere che il limite destro e il limite sinistro coincidano con il valore che la funzione assume in x_0 = 0, in altri termini deve sussistere la doppia uguaglianza

lim_(x → 0^(-))f(x) (= a^2) = f(0) (= b) = lim_(x → 0^(+))f(x) (= 4)

che equivale al sistema di equazioni

a^2 = b ; b = 4

Dalla seconda equazione otteniamo che b = 4 e, sostituendo il valore nella prima equazione, scriviamo

a^2 = 4 ; b = 4 ⇒ a = -2 ∨ a = 2 ; b = 4

Possiamo trarre le conclusioni: la funzione è continua su tutto l'asse reale se e solo se a = -2 ∧ b = 4 oppure a = 2 ∧ b = 4.
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Studiare la continuità di una funzione parametrica con 3 rami #78019

avt
giacomo.giacomo
Punto
Grazie, ho solo un dubbio. Nel calcolo del limite sinistro non capisco come sen^2 (ax) diventi a^(2) x^(2)

Re: Studiare la continuità di una funzione parametrica con 3 rami #78020

avt
Omega
Amministratore
Ciao Giacomo,

non credo che il tuo dubbio riguardi la stima asintotica

Per affrontare questo limite possiamo avvalerci delle stime asintotiche.

• , , sin(f(x)) ~ _(f(x) → 0)f(x)

credo piuttosto che riguardi l'elevamento al quadrato. A tal proposito osserva che

sin^2(ax) = [sin(ax)]^2 ~ _(x → 0)[ax]^2 = a^2x^2
Ringraziano: CarFaby

Re: Studiare la continuità di una funzione parametrica con 3 rami #78021

avt
giacomo.giacomo
Punto
Ok perfetto, ora ho capito. Grazie.
Ringraziano: Omega
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Os