Esercizio funzione continua con due parametri

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Esercizio funzione continua con due parametri #77978

avt
giacomo.giacomo
Punto
Buondì, mi servirebbero i passaggi per questo esercizio sullo studio della continuità di una funzione con due parametri.

Determinare le costanti a, b∈R in modo che la funzione

f:R → R

definita da

f(x): = (√(x)tan(√(x)))/(log(1+x)) se x > 0 ; a se x = 0 ; a x+b se x < 0

risulti continua, giustificando la risposta.
 
 

Re: Esercizio funzione continua con due parametri #77979

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Giacomo,

l'esercizio chiede di trovare i due parametri a e b reali in modo che la funzione

f(x): = (√(x)tan(√(x)))/(log(1+x)) se x > 0 ; a se x = 0 ; a x+b se x < 0

risulti continua in tutto l'asse reale. La funzione, però, è definita a tratti dove il primo ramo è

• f_(1)(x) = (√(x)tan(√(x)))/(log(1+x)) se x > 0

ed risulta una funzione continua nel suo dominio perché composizione di funzioni continue.

Osservazione: la funzione tangente esiste se il suo argomento è diverso da (π)/(2)+kπ con k∈Z, in tal caso si ha quindi:

√(x) ne(π)/(2)+kπ ⇔ x ne((π)/(2)+kπ)^2 e x ≥ 0.

Un altro ramo della funzione è

• f_2(x) = a x+b con x < 0

e anch'esso è continuo perché composizione di funzioni continue.

L'unico punto in cui abbiamo problemi di continuità è il punto di raccordo x_(0) = 0.

Ricordiamo che una funzione è continua in un punto interno al dominio se esistono finiti il limite destro e il limite sinistro e coincidono al valore che la funzione assume nel punto interessato, nel nostro caso:

f(0) = a

Limite sinistro

Calcoliamo il limite sinistro stando attenti al corretto ramo da scegliere: prenderemo il terzo ramo giacché x → 0 per valori minori di 0, ricadiamo dunque nel terzo sotto-dominio:

lim_(x → 0^(-))f(x) = lim_(x → 0^(-))(a x+b) = b

Limite destro

Calcoliamo il limite destro, prendendo in esame il primo ramo della funzione giacché questa volta x → 0 per valori maggiori 0, dunque ricadiamo nel primo sotto-dominio

lim_(x → 0^(+))f(x) = lim_(x → 0^(+))(√(x)tan(√(x)))/(log(1+x)) = (•)

Per risolvere questo limite utilizzeremo i limiti notevoli, in particolare quello della tangente e e quello del logaritmo:

lim_(g(x) → 0)(tan(g(x)))/(g(x)) = 1 ; lim_(g(x) → 0)(log(1+g(x)))/(g(x)) = 1

Per ricondurci a tali limiti notevoli dovremo moltiplicare e dividere per √(x)

(•) = lim_(x → 0^(+))(√(x)√(x)tan(√(x)))/(√(x)log(1+x)) =

In questo modo esso si potrà scrivere

= lim_(x → 0^(+))(xtan(√(x)))/(√(x)log(1+x)) =

Esprimiamo il limite del prodotto come prodotto di limiti, ma facciamolo in modo furbo:

= lim_(x → 0^(+))(x)/(log(1+x))lim_(x → 0^(+))(tan(√(x)))/(√(x))

Il primo limite è 1 perché è il reciproco del limite notevole del logaritmo mentre il secondo è 1 per via del limite notevole della tangente, concludiamo dunque che il limite destro è 1.

lim_(x → 0^(+))(√(x)tan(√(x)))/(log(1+x)) = 1

Bene, ora possiamo mettere in pratica la definizione di funzione continua in un punto, imponendo che i due limiti siano uguali a f(0) = a.

lim_(x → 0^(-))f(x) (= b) = f(0) (= a) = lim_(x → 0^(+))f(x) (= 1)

ottenendo così la doppia equazione

b = a = 1

equivalente al sistema lineare

b = a ; a = 1

avente per soluzione

a = b = 1

In definitiva, la funzione f(x) è continua nel dominio se e solo se a = 1 e b = 1.
Ringraziano: CarFaby, giacomo.giacomo
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