Esercizio funzione continua con due parametri

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Esercizio funzione continua con due parametri #77978

avt
giacomo.giacomo
Punto
Buondì, mi servirebbero i passaggi per questo esercizio sullo studio della continuità di una funzione con due parametri.

Determinare le costanti a,\ b\in\mathbb{R} in modo che la funzione

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

definita da

f(x):=\begin{cases}\frac{\sqrt{x}\tan(\sqrt{x})}{\log(1+x)}&\mbox{se} \ x>0\\ a&\mbox{se} \ x=0\\ a x+b&\mbox{se} \ x<0\end{cases}

risulti continua, giustificando la risposta.
 
 

Re: Esercizio funzione continua con due parametri #77979

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Giacomo,

l'esercizio chiede di trovare i due parametri a\mbox{ e }b reali in modo che la funzione

f(x):=\begin{cases}\frac{\sqrt{x}\tan(\sqrt{x})}{\log(1+x)}&\mbox{se} \ x>0\\ a&\mbox{se} \ x=0\\ a x+b&\mbox{se} \ x<0\end{cases}

risulti continua in tutto l'asse reale. La funzione, però, è definita a tratti dove il primo ramo è

\bullet \ \ \ f_{1}(x)=\frac{\sqrt{x}\tan(\sqrt{x})}{\log(1+x)}&\mbox{ se }x>0

ed risulta una funzione continua nel suo dominio perché composizione di funzioni continue.

Osservazione: la funzione tangente esiste se il suo argomento è diverso da \frac{\pi}{2}+k\pi\mbox{ con }k\in\mathbb{Z}, in tal caso si ha quindi:

\sqrt{x}\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\iff x\ne\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)^2 \ \mbox{e} \ x\ge 0.

Un altro ramo della funzione è

\bullet \ \ \ f_2(x)=a x + b\ \mbox{con}\ x<0

e anch'esso è continuo perché composizione di funzioni continue.

L'unico punto in cui abbiamo problemi di continuità è il punto di raccordo x_{0}=0.

Ricordiamo che una funzione è continua in un punto interno al dominio se esistono finiti il limite destro e il limite sinistro e coincidono al valore che la funzione assume nel punto interessato, nel nostro caso:

f(0)=a

Limite sinistro

Calcoliamo il limite sinistro stando attenti al corretto ramo da scegliere: prenderemo il terzo ramo giacché x\to0 per valori minori di 0, ricadiamo dunque nel terzo sotto-dominio:

\lim_{x\to0^{-}}f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}(a x+b)=b

Limite destro

Calcoliamo il limite destro, prendendo in esame il primo ramo della funzione giacché questa volta x\to0 per valori maggiori 0, dunque ricadiamo nel primo sotto-dominio

\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x}\tan(\sqrt{x})}{\log(1+x)}=(\bullet)

Per risolvere questo limite utilizzeremo i limiti notevoli, in particolare quello della tangente e e quello del logaritmo:

\\ \lim_{g(x)\to 0}\frac{\tan(g(x))}{g(x)}=1 \\ \\ \\ \lim_{g(x)\to 0}\frac{\log(1+g(x))}{g(x)}=1

Per ricondurci a tali limiti notevoli dovremo moltiplicare e dividere per \sqrt{x}

(\bullet)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x}\sqrt{x}\tan(\sqrt{x})}{\sqrt{x}\log(1+x)}=

In questo modo esso si potrà scrivere

=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x\tan(\sqrt{x})}{\sqrt{x}\log(1+x)}=

Esprimiamo il limite del prodotto come prodotto di limiti, ma facciamolo in modo furbo:

=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x}{\log(1+x)}\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\tan(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}

Il primo limite è 1 perché è il reciproco del limite notevole del logaritmo mentre il secondo è 1 per via del limite notevole della tangente, concludiamo dunque che il limite destro è 1.

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x}\tan(\sqrt{x})}{\log(1+x)}=1

Bene, ora possiamo mettere in pratica la definizione di funzione continua in un punto, imponendo che i due limiti siano uguali a f(0)=a.

\overbrace{\lim_{x\to 0^{-}}f(x)}^{= b}=\overbrace{f(0)}^{= a}=\overbrace{\lim_{x\to 0^{+}}f(x)}^{= 1}

ottenendo così la doppia equazione

b=a=1

equivalente al sistema lineare

\begin{cases}b=a\\ a=1\end{cases}

avente per soluzione

a=b=1

In definitiva, la funzione f(x) è continua nel dominio se e solo se a=1 \ \mbox{e} \ b=1.
Ringraziano: CarFaby, giacomo.giacomo
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