Studio della funzione y=x/log(x) e retta tangente

Ragazzi mi spiegate come studiare questa funzione e come calcolare la retta tangente al grafico? Riporto la traccia dell'esercizio...
Sia
a) Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico nel punto
b) Determinare il dominio di definizione della funzione e calcolare i limiti agli estremi di tale dominio.
c) Determinare gli intervalli in cui risulta strettamente crescente e quelli in cui risulta strettamente decrescente.
d) Determinare gli intervalli in cui è convessa e quelli in cui è concava.
e) Tenendo conto delle informazioni precedenti, disegnare un grafico approssimativo di .

Ciao Giacomo!
Cominciamo con il primo punto, ossia andremo a scrivere l'equazione della retta tangente al grafico della funzione data nel punto .
Sarà sufficiente utilizzare la formula:
dove:
è l'ascissa del punto
, ossia
.
è l'ordinata del punto
, ossia
.
è la derivata prima della funzione valutata in
.
Ed è proprio quest'ultimo valore quello che ci manca. Per determinarlo calcoleremo la derivata prima della funzione, in particolare ci sarà utile la regola di derivazione del quoziente.
Valutiamo la funzione ottenuta per
Nota infatti che per definizione di logaritmo.
Dal punto di vista geometrico rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico.
Sostituiamo i valori:
Dominio della funzione
Ora andiamo alla ricerca del dominio di . La funzione è fratta, dobbiamo richiedere quindi che il denominatore sia diverso da zero e ciò conduce all'equazione logaritmica:
La stessa funzione logaritmica ha delle pretese: vuole che il suo logaritmo sia maggiore di zero!
.
Il dominio di questa funzione è dettato dalle condizioni pertanto
.
Osserviamo che il dominio non è simmetrico rispetto all'origine, pertanto la funzione non è né pari né dispari.
Limiti agli estremi del dominio.
Dovremo calcolare:
[non è una forma indeterminata]
[si risolve con l'algebra degli infinitesimi]
[si risolve con l'algebra degli infinitesimi]
quest'ultima è una forma indeterminata che può essere risolta in due modi:
- osservando che il logaritmo è un infinito di ordine inferiore rispetto alla potenza, dunque
- utilizzando il teorema di De l'Hopital:
Certamente la funzione non presenta asintoto orizzontale destro, ma potrebbe esserci un asintoto obliquo. Studiamo il limite che ne definisce il coefficiente angolare
Il limite è zero pertanto non abbiamo asintoto obliquo. Dalla teoria infatti sappiamo che esso deve essere finito e diverso da zero.
Intervalli di monotonia
Per trovare gli intervalli di monotonia basterà studiare il segno della derivata prima, che fortunatamente abbiamo già calcolato
Vediamo in quali intervalli essa è positiva e in quali intervalli è negativa. A tal proposito impostiamo la disequazione fratta:
Cominciamo con lo studiare il segno del numeratore e del denominatore separatamente:
Rappresentando la tabella dei segni:

La derivata prima è
di conseguenza la funzione è:
.
è punto di minimo relativo. Il minimo relativo vale
.
Intervalli di convessità
Per determinare gli intervalli di concavità e di convessità sarà necessario studiare il segno della derivata seconda ma prima dobbiamo calcolarla.
Studiamo il segno della derivata seconda risolvendo la disequazione fratta:
Indaghiamo sul segno del numeratore e del denominatore separatamente.
Ora costruiamo la tabella dei segni:

Grazie alla regola dei segni possiamo concludere che è
Pertanto la funzione è
Ha un punto di flesso nel punto
Queste informazioni ci permettono di disegnare il grafico della funzione.

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