Studio della funzione y=x/log(x) e retta tangente

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Studio della funzione y=x/log(x) e retta tangente #77973

avt
giacomo.giacomo
Punto
Ragazzi mi spiegate come studiare questa funzione e come calcolare la retta tangente al grafico? Riporto la traccia dell'esercizio...

Sia f(x):=\frac{x}{\log(x)}

a) Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico nel punto \left(e^{2}, \frac{e^{2}}{2}\right)

b) Determinare il dominio di definizione della funzione e calcolare i limiti agli estremi di tale dominio.

c) Determinare gli intervalli in cui f risulta strettamente crescente e quelli in cui risulta strettamente decrescente.

d) Determinare gli intervalli in cui f è convessa e quelli in cui è concava.

e) Tenendo conto delle informazioni precedenti, disegnare un grafico approssimativo di f.
 
 

Re: Studio della funzione y=x/log(x) e retta tangente #77974

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Giacomo! emt

Cominciamo con il primo punto, ossia andremo a scrivere l'equazione della retta tangente al grafico della funzione data nel punto \left(e^{2}, \frac{e^{2}}{2}\right).

Sarà sufficiente utilizzare la formula:

y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)

dove:

\bullet\,\, x_0 è l'ascissa del punto \left(e^{2}, \frac{e^{2}}{2}\right), ossia x_0= e^{2}.

\bullet\,\, y_0 è l'ordinata del punto \left(e^{2}, \frac{e^{2}}{2}\right), ossia
y_0= \frac{e^{2}}{2}.

\bullet\,\, f'(x_0) è la derivata prima della funzione valutata in x_0=e^{2}.

Ed è proprio quest'ultimo valore quello che ci manca. Per determinarlo calcoleremo la derivata prima della funzione, in particolare ci sarà utile la regola di derivazione del quoziente.

\\ f'(x)=\frac{\frac{d}{dx}[x]\log(x)- x \frac{d}{dx}[\log(x)]}{[\log(x)]^2}= \\ \\ \\= \frac{\log(x)- x\cdot\frac{1}{x}}{\log^2(x)}= \\ \\ \\ =\frac{\log(x)-1}{\log^2(x)}

Valutiamo la funzione ottenuta per x_0=e^{2}

\bullet\,\, f'(e^{2})=\frac{\log(e^{2})-1}{[\log(e^{2})]^2}= \frac{2-1}{4}=\frac{1}{4}

Nota infatti che \log(e^{2})=2 per definizione di logaritmo.

Dal punto di vista geometrico f'(e^{2}) rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico.

Sostituiamo i valori:

y- \frac{e^{2}}{2}= \frac{1}{4}(x-e^{2})\iff y=\frac{1}{4}(x-e^{2})+\frac{e^{2}}{2}\iff y=\frac{x}{4}+\frac{e^{2}}{4}

Dominio della funzione

Ora andiamo alla ricerca del dominio di f(x). La funzione è fratta, dobbiamo richiedere quindi che il denominatore sia diverso da zero e ciò conduce all'equazione logaritmica:

\bullet\,\,\log(x)\ne 0\iff x\ne 1

La stessa funzione logaritmica ha delle pretese: vuole che il suo logaritmo sia maggiore di zero!

x>0.

Il dominio di questa funzione è dettato dalle condizioni x>0, x\ne 1 pertanto

\mbox{dom}(f)=\left\{x\in\mathbb{R}: x>0, x\ne 1\right\}=(0, 1)\cup (1, +\infty).

Osserviamo che il dominio non è simmetrico rispetto all'origine, pertanto la funzione non è né pari né dispari.

Limiti agli estremi del dominio.

Dovremo calcolare:

\bullet\,\, \lim_{x\to 0^{+}}\frac{x}{\log(x)}=0 [non è una forma indeterminata]

\bullet\,\, \lim_{x\to 1^{-}}\frac{x}{\log(x)}=\left[\frac{1}{0^{-}}\right]=-\infty [si risolve con l'algebra degli infinitesimi]

\bullet\,\, \lim_{x\to 1^{+}}\frac{x}{\log(x)}= \left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\infty [si risolve con l'algebra degli infinitesimi]

\bullet\,\, \lim_{x\to +\infty}\frac{x}{\log(x)}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]

quest'ultima è una forma indeterminata che può essere risolta in due modi:

- osservando che il logaritmo è un infinito di ordine inferiore rispetto alla potenza, dunque

\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{\log(x)}= +\infty

- utilizzando il teorema di De l'Hopital:

\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{\log(x)}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\frac{1}{x}}= \lim_{x\to +\infty}x=+\infty

Certamente la funzione non presenta asintoto orizzontale destro, ma potrebbe esserci un asintoto obliquo. Studiamo il limite che ne definisce il coefficiente angolare

\\ m=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{x}{\log(x)}}{x}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\log(x)}=0

Il limite è zero pertanto non abbiamo asintoto obliquo. Dalla teoria infatti sappiamo che esso deve essere finito e diverso da zero.

Intervalli di monotonia

Per trovare gli intervalli di monotonia basterà studiare il segno della derivata prima, che fortunatamente abbiamo già calcolato emt

f'(x)=\frac{\log(x)-1}{\log^2(x)}

Vediamo in quali intervalli essa è positiva e in quali intervalli è negativa. A tal proposito impostiamo la disequazione fratta:

f'(x)>0\iff \frac{\log(x)-1}{\log^2(x)}>0

Cominciamo con lo studiare il segno del numeratore e del denominatore separatamente:

\\ N>0:\,\, \log(x)-1>0\iff \log(x)>1\iff x>e \\ \\ D>0:\,\, \log^2(x)>0\iff \log(x)\ne 0\iff x\ne 1

Rappresentando la tabella dei segni:

tabella dei segni disequazioni


La derivata prima è

\\ \bullet\,\,\mbox{ positiva se }x>e \\ \\ \bullet\,\, \mbox{ nulla se }x=e \\ \\ \bullet\,\, \mbox{ negativa se }0<x<1\vee 1<x<e

di conseguenza la funzione f(x) è:

\bullet\,\,\mbox{ strettamente crescente in } (e, +\infty)

\bullet\,\,\mbox{ strettamente decrescente in } (0, 1)\mbox{ e  in }(1, e).

x=e è punto di minimo relativo. Il minimo relativo vale

f(e)= \frac{e}{\log(e)}=e.

Intervalli di convessità

Per determinare gli intervalli di concavità e di convessità sarà necessario studiare il segno della derivata seconda ma prima dobbiamo calcolarla.

\\ f''(x)=\frac{d}{dx}\left[ \frac{\log(x)-1}{\log^2(x)}\right]=  \\ \\ \\ =\frac{\frac{d}{dx}[\log(x)-1]\log^2(x)- (\log(x)-1)\frac{d}{dx}[\log^2(x)]}{[\log^2(x)]^2}= \\ \\ \\ =\frac{\frac{1}{x}\log^2(x)-(\log(x)-1)\cdot2\frac{\log(x)}{x}}{\log^4(x)}= \\ \\ \\ =\frac{2-\log(x)}{x\log^3(x)}

Studiamo il segno della derivata seconda risolvendo la disequazione fratta:

f''(x)\ge 0\iff \frac{2-\log(x)}{x\log^3(x)}\ge 0

Indaghiamo sul segno del numeratore e del denominatore separatamente.

\\ N_1\ge 0:\,\, 2-\log(x)\ge 0\iff \\ \\ \iff -\log(x)\ge -2\iff \log(x)\le 2\iff 0<x\le e^{2} \\ \\ D_1\,\,: x>0\iff x>0

D_{2}\,\,: \log^3(x)>0\iff \log(x)>0\iff x>1

Ora costruiamo la tabella dei segni:

tabella dei segni disequazioni 2


Grazie alla regola dei segni possiamo concludere che f''(x) è

\bullet\,\,\mbox{ positiva se }1<x<e^2

\bullet\,\, \mbox{ nulla se }x=e^2

\bullet\,\, \mbox{ negativa se }0<x<1\vee x>e^{2}

Pertanto la funzione f(x) è

\bullet\,\,\mbox{ strettamente convessa in }(1,e^2)

\bullet\,\,\mbox{ strettamente concava in }(0, 1)\mbox{ e }(e^{2}, +\infty)

Ha un punto di flesso nel punto x=e^{2}

Queste informazioni ci permettono di disegnare il grafico della funzione.

grafico funzione con logaritmo al denominatore e retta tangente
Ringraziano: CarFaby, giacomo.giacomo
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