Studio della funzione y=x/log(x) e retta tangente

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#77973
avt
giacomo.giacomo
Punto

Ragazzi mi spiegate come studiare questa funzione e come calcolare la retta tangente al grafico? Riporto la traccia dell'esercizio...

Sia f(x): = (x)/(log(x))

a) Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico nel punto (e^(2), (e^(2))/(2))

b) Determinare il dominio di definizione della funzione e calcolare i limiti agli estremi di tale dominio.

c) Determinare gli intervalli in cui f risulta strettamente crescente e quelli in cui risulta strettamente decrescente.

d) Determinare gli intervalli in cui f è convessa e quelli in cui è concava.

e) Tenendo conto delle informazioni precedenti, disegnare un grafico approssimativo di f.

#77974
avt
Ifrit
Amministratore

Ciao Giacomo! emt

Cominciamo con il primo punto, ossia andremo a scrivere l'equazione della retta tangente al grafico della funzione data nel punto (e^(2), (e^(2))/(2)).

Sarà sufficiente utilizzare la formula:

y−y_0 = f'(x_0)(x−x_0)

dove:

• , , x_0 è l'ascissa del punto (e^(2), (e^(2))/(2)), ossia x_0 = e^(2).

• , , y_0 è l'ordinata del punto (e^(2), (e^(2))/(2)), ossia

y_0 = (e^(2))/(2).

• , , f'(x_0) è la derivata prima della funzione valutata in x_0 = e^(2).

Ed è proprio quest'ultimo valore quello che ci manca. Per determinarlo calcoleremo la derivata prima della funzione, in particolare ci sarà utile la regola di derivazione del quoziente.

f'(x) = ((d)/(dx)[x]log(x)−x (d)/(dx)[log(x)])/([log(x)]^2) = (log(x)−x·(1)/(x))/(log^2(x)) = (log(x)−1)/(log^2(x))

Valutiamo la funzione ottenuta per x_0 = e^(2)

• , , f'(e^(2)) = (log(e^(2))−1)/([log(e^(2))]^2) = (2−1)/(4) = (1)/(4)

Nota infatti che log(e^(2)) = 2 per definizione di logaritmo.

Dal punto di vista geometrico f'(e^(2)) rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico.

Sostituiamo i valori:

y−(e^(2))/(2) = (1)/(4)(x−e^(2)) ⇔ y = (1)/(4)(x−e^(2))+(e^(2))/(2) ⇔ y = (x)/(4)+(e^(2))/(4)

Dominio della funzione

Ora andiamo alla ricerca del dominio di f(x). La funzione è fratta, dobbiamo richiedere quindi che il denominatore sia diverso da zero e ciò conduce all'equazione logaritmica:

• , ,log(x) ne 0 ⇔ x ne 1

La stessa funzione logaritmica ha delle pretese: vuole che il suo logaritmo sia maggiore di zero!

x > 0.

Il dominio di questa funzione è dettato dalle condizioni x > 0, x ne 1 pertanto

dom(f) = x∈R: x > 0, x ne 1 = (0, 1) U (1,+∞).

Osserviamo che il dominio non è simmetrico rispetto all'origine, pertanto la funzione non è né pari né dispari.

Limiti agli estremi del dominio.

Dovremo calcolare:

• , , lim_(x → 0^(+))(x)/(log(x)) = 0 [non è una forma indeterminata]

• , , lim_(x → 1^(−))(x)/(log(x)) = [(1)/(0^(−))] = −∞ [si risolve con l'algebra degli infinitesimi]

• , , lim_(x → 1^(+))(x)/(log(x)) = [(1)/(0^(+))] = +∞ [si risolve con l'algebra degli infinitesimi]

• , , lim_(x → +∞)(x)/(log(x)) = [(∞)/(∞)]

quest'ultima è una forma indeterminata che può essere risolta in due modi:

- osservando che il logaritmo è un infinito di ordine inferiore rispetto alla potenza, dunque

lim_(x → +∞)(x)/(log(x)) = +∞

- utilizzando il teorema di De l'Hopital:

lim_(x → +∞)(x)/(log(x)) = lim_(x → +∞)(1)/((1)/(x)) = lim_(x → +∞)x = +∞

Certamente la funzione non presenta asintoto orizzontale destro, ma potrebbe esserci un asintoto obliquo. Studiamo il limite che ne definisce il coefficiente angolare

m = lim_(x → +∞)(f(x))/(x) = lim_(x → +∞)((x)/(log(x)))/(x) = lim_(x → +∞)(1)/(log(x)) = 0

Il limite è zero pertanto non abbiamo asintoto obliquo. Dalla teoria infatti sappiamo che esso deve essere finito e diverso da zero.

Intervalli di monotonia

Per trovare gli intervalli di monotonia basterà studiare il segno della derivata prima, che fortunatamente abbiamo già calcolato emt

f'(x) = (log(x)−1)/(log^2(x))

Vediamo in quali intervalli essa è positiva e in quali intervalli è negativa. A tal proposito impostiamo la disequazione fratta:

f'(x) > 0 ⇔ (log(x)−1)/(log^2(x)) > 0

Cominciamo con lo studiare il segno del numeratore e del denominatore separatamente:

N > 0: , , log(x)−1 > 0 ⇔ log(x) > 1 ⇔ x > e ; D > 0: , , log^2(x) > 0 ⇔ log(x) ne 0 ⇔ x ne 1

Rappresentando la tabella dei segni:

tabella dei segni disequazioni

La derivata prima è

• , , positiva se x > e ; • , , nulla se x = e ; • , , negativa se 0 < x < 1 ∨ 1 < x < e

di conseguenza la funzione f(x) è:

• , , strettamente crescente in (e,+∞)

• , , strettamente decrescente in (0, 1) e in (1, e).

x = e è punto di minimo relativo. Il minimo relativo vale

f(e) = (e)/(log(e)) = e.

Intervalli di convessità

Per determinare gli intervalli di concavità e di convessità sarà necessario studiare il segno della derivata seconda ma prima dobbiamo calcolarla.

f''(x) = (d)/(dx)[ (log(x)−1)/(log^2(x))] = ((d)/(dx)[log(x)−1]log^2(x)−(log(x)−1)(d)/(dx)[log^2(x)])/([log^2(x)]^2) = ((1)/(x)log^2(x)−(log(x)−1)·2(log(x))/(x))/(log^4(x)) = (2−log(x))/(xlog^3(x))

Studiamo il segno della derivata seconda risolvendo la disequazione fratta:

f''(x) ≥ 0 ⇔ (2−log(x))/(xlog^3(x)) ≥ 0

Indaghiamo sul segno del numeratore e del denominatore separatamente.

N_1 ≥ 0: , , 2−log(x) ≥ 0 ⇔ ; ⇔ −log(x) ≥ −2 ⇔ log(x) ≤ 2 ⇔ 0 < x ≤ e^(2) ; D_1 , ,: x > 0 ⇔ x > 0

D_(2) , ,: log^3(x) > 0 ⇔ log(x) > 0 ⇔ x > 1

Ora costruiamo la tabella dei segni:

tabella dei segni disequazioni 2

Grazie alla regola dei segni possiamo concludere che f''(x) è

• , , positiva se 1 < x < e^2

• , , nulla se x = e^2

• , , negativa se 0 < x < 1 ∨ x > e^(2)

Pertanto la funzione f(x) è

• , , strettamente convessa in (1,e^2)

• , , strettamente concava in (0, 1) e (e^(2),+∞)

Ha un punto di flesso nel punto x = e^(2)

Queste informazioni ci permettono di disegnare il grafico della funzione.

grafico funzione con logaritmo al denominatore e retta tangente
Ringraziano: CarFaby, giacomo.giacomo
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