Integrale fratto con seno e coseno

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Integrale fratto con seno e coseno #77971

avt
giacomo.giacomo
Punto
Mi spieghereste come calcolare il seguente integrale fratto goniometrico con seno e coseno?

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\sin^2(x)}\cos(x)\mbox{d}x
 
 

Re: Integrale fratto con seno e coseno #77972

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Giacomo!

Per risolvere l'integrale definito

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\sin^2(x)}\cos(x)\mbox{d}x= (\bullet)

procederemo con il metodo di sostituzione per gli integrali ponendo:

t=\sin(x)

Deriviamo membro a membro per la relativa variabile così da ottenere il nuovo differenziale:

\mbox{d}t=\cos(x)\mbox{d}x

Vediamo come si modificano gli estremi:

\\ x_0=0\longrightarrow t_0=\sin(0)= 0 \\ \\ x_1=\frac{\pi}{2}\longrightarrow t_1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1

Di conseguenza l'integrale definito diventerà:

(\bullet)=\int_{0}^{1}\frac{1}{t^2+1}\mbox{d}t

Questo è un integrale fondamentale ed è uguale all'arcotangente.

\\ =\int_{0}^{1}\frac{1}{t^2+1}\mbox{d}t= \\ \\ \\ = \left[\arctan(t)\right]_{0}^{1}= \\ \\ =\overbrace{\arctan(1)}^{\frac{\pi}{4}}-\overbrace{\arctan(0)}^{=0}=\frac{\pi}{4}

L'arcotangente di 1 è un valore noto.

Possiamo concludere che l'integrale di partenza è:

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\sin^2(x)}\cos(x)\mbox{d}x=\frac{\pi}{4}
Ringraziano: CarFaby, giacomo.giacomo, and95
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