Funzione con 2 parametri e continuità su 3 tratti

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#77969
avt
giacomo.giacomo
Punto
Vorrei sapere come studiare la continuità di questa funzione con 2 parametri e definita da 3 tratti.

Sia f:R → R la funzione definita a tratti:

f(x): = √(|x|)ln(1-(1)/(x))+(1-cos(a x√(|x|)))/(|x|^3) se x < 0 ; b se x = 0 ; (arcsin(x))/(√(x))+2 se x > 0

dove a,b sono costanti. Determinare a,b in modo che f risulti continua, giustificando la risposta.
#77970
avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Giacomo!

L'esercizio chiede essenzialmente di determinare le due costanti a e b di modo che f(x) sia una funzione continua, ma prima utilizzeremo la definizione di valore assoluto

Osserva infatti che per x < 0 si ha che |x| = -x dunque il primo ramo della funzione si riscrive come

f_(1)(x) = √(-x)ln(1-(1)/(x))+(1-cos(ax√(-x)))/(-x^3) se x < 0

e dunque f(x) diventa

f(x) = √(-x)ln(1-(1)/(x))+(1-cos(ax√(-x)))/(-x^3) se x < 0 ; b se x = 0 ; (arcsin(x))/(√(x))+2 se x > 0

Osserviamo che

• f_(1)(x) = √(-x)ln(1-(1)/(x))+(1-cos(ax√(-x)))/(-x^3) se x < 0

è continua in (-∞, 0) perché composizione di funzioni continue indipendentemente dal parametro a. Possiamo dire lo stesso del terzo ramo della funzione, infatti

• f_(3)(x) = (arcsin(x))/(√(x))+2

è continua nell'intervallo (0,+∞) perché composizione di funzioni continue.

L'unico punto in cui abbiamo dubbi è il punto di raccordo x = 0: interverrà quindi la definizione di funzione continua in un punto.

Dobbiamo determinare a, b∈R di modo che il limite destro e il limite sinistro per x → 0 della funzione coincide con il valore che essa assume in 0, ossia devono sussistere le uguaglianze

lim_(x → 0^(-))f(x) = lim_(x → 0^(+))f(x) = f(0)

Cosa dobbiamo fare concretamente?

1. Calcoliamo il valore che la funzione assume in 0, ossia valutare la funzione in zero e vedere cosa ti restituisce. In base a come è definita la funzione dell'esercizio si ha che

f(0) = b


2. Calcoliamo il limite destro e il limite sinistro della funzione per x → 0.

Limite sinistro

lim_(x → 0^(-))f(x) = lim_(x → 0^(-))√(-x)ln(1-(1)/(x))+(1-cos(a x √(-x)))/(-x^3) =

Per calcolalo, spezziamolo come somma di limiti

= lim_(x → 0^(-))√(-x)ln(1-(1)/(x))+lim_(x → 0^(-))(1-cos(a x √(-x)))/(-x^3) =

e analizziamoli singolarmente partendo dal primo addendo

lim_(x → 0^(-))√(-x)ln(1-(1)/(x)) = [0·∞]

è una forma indeterminata.

Risolviamola riscrivendo il limite nella forma equivalente

= lim_(x → 0^(-))(ln(1-(1)/(x)))/((1)/(√(-x))) = [(∞)/(∞)]

Applichiamo il teorema di De l'Hopital, derivando separatamente il numeratore e il denominatore così da ottenere

= lim_(x → 0^(-))((1)/(x^2-x))/((1)/(2(-x)^(frac32))) =

e aggiustiamo un po' l'espressione

= lim_(x → 0^(-))(-2√(-x))/(x-1) = 0

Il teorema di De l'Hopital ci permette di concludere che

lim_(x → 0^(-))√(-x)ln(1-(1)/(x)) = 0

Occupiamoci del secondo limite

lim_(x → 0^(-))(1-cos(a x√(-x)))/(-x^3)

Utilizziamo la stima asintotica del limite notevole del coseno (in caso di dubbi, vedi come usare i limiti notevoli)

1-cos(f(x)) ~ _(f(x) → 0)([f(x)]^(2))/(2)

In sostanza dobbiamo ricordare che quando l'argomento del coseno è infinitesimo allora la differenza tra 1 e il coseno dell'argomento è asintotico alla metà dell'argomento al quadrato.

Nel nostro caso, quando x tende a zero, si ha che:

ax√(-x) → 0 per x → 0

dunque vale la stima asintotica

1-cos(a x√(-x)) ~ _(x → 0)((ax√(-x))^2)/(2) = (a^2 x^2(-x))/(2) = (-a^2x^3)/(2)

Per il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti possiamo riscrivere il limite come

lim_(x → 0^(-))(1-cos(a x√(-x)))/(-x^3) = lim_(x → 0^(-))((-a^2 x^3)/(2))/(-x^3) = (a^2)/(2)

In definitiva il limite sinistro vale:

lim_(x → 0^(-))√(-x)ln(1-(1)/(x)) (= 0)+lim_(x → 0^(-))(1-cos(a x √(-x)))/(-x^3) (= (a^2)/(2)) = (a)/(2)

Calcolo del limite destro

Occupiamoci del limite destro:

lim_(x → 0^(+))((arcsin(x))/(√(x))+2)

Siamo ancora di fronte ad una forma indeterminata [(0)/(0)] che può essere risolto ancora una volta con le stime asintotiche. Osserva infatti che:

arcsin(x) ~ _(x → 0)x

e per il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti possiamo scrivere le uguaglianze:

 lim_(x → 0^(+))((arcsin(x))/(√(x))+2) = lim_(x → 0^(+))((x)/(√(x))+2) =

Ora eseguiamo una razionalizzazione, moltiplicando e dividendo per √(x).

= lim_(x → 0^(+))((x√(x))/(√(x)·√(x))+2) = lim_(x → 0^(+))(√(x)+2) = 2

3. Imponiamo che il limite destro e il limite sinistro siano uguali a f(0) = b.

 lim_(x → 0^(-))f(x) = f(0) ⇔ (a^2)/(2) = b ; lim_(x → 0^(+))f(x) = f(0) ⇔ 2 = b

Tali relazioni ci permettono di costruire il seguente sistema

(a^2)/(2) = b ; b = 2

da cui

 a^2 = 2b ; b = 2 ⇔ a^2 = 4 ; b = 2 ⇔ ; ⇔ a = ±2 ; b = 2

Tiriamo le somme: la funzione è continua in x = 0 se e solo se a = -2 e b = 2 oppure se a = 2 e b = 2.
Ringraziano: CarFaby, giacomo.giacomo
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