Funzione con 2 parametri e continuità su 3 tratti

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Funzione con 2 parametri e continuità su 3 tratti #77969

avt
giacomo.giacomo
Punto
Vorrei sapere come studiare la continuità di questa funzione con 2 parametri e definita da 3 tratti.

Sia f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} la funzione definita a tratti:

f(x):=\begin{cases}\sqrt{|x|}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{1-\cos(a x\sqrt{|x|})}{|x|^3}&\mbox{se} \ x<0\\ b&\mbox{se} \ x=0\\ \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{x}}+2&\mbox{se} \ x>0\end{cases}

dove a,b sono costanti. Determinare a,b in modo che f risulti continua, giustificando la risposta.
 
 

Re: Funzione con 2 parametri e continuità su 3 tratti #77970

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Giacomo!

L'esercizio chiede essenzialmente di determinare le due costanti a\ \mbox{e} \ b di modo che f(x) sia una funzione continua, ma prima utilizzeremo la definizione di valore assoluto

Osserva infatti che per x<0 si ha che |x|=-x dunque il primo ramo della funzione si riscrive come

f_{1}(x)=\sqrt{-x}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{1-\cos(ax\sqrt{-x})}{-x^3} \ \ \ \mbox{se} \ x<0

e dunque f(x) diventa

f(x)=\begin{cases}\sqrt{-x}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{1-\cos(ax\sqrt{-x})}{-x^3}&\mbox{se} \ x<0\\ b&\mbox{se} \ x=0\\ \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{x}}+2&\mbox{se} \ x>0\end{cases}

Osserviamo che

\bullet \ \ \ f_{1}(x)=\sqrt{-x}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{1-\cos(ax\sqrt{-x})}{-x^3}\mbox{ se }x<0

è continua in (-\infty, 0) perché composizione di funzioni continue indipendentemente dal parametro a. Possiamo dire lo stesso del terzo ramo della funzione, infatti

\bullet \ \ \ f_{3}(x)=\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{x}}+2

è continua nell'intervallo (0, +\infty) perché composizione di funzioni continue.

L'unico punto in cui abbiamo dubbi è il punto di raccordo x=0: interverrà quindi la definizione di funzione continua in un punto.

Dobbiamo determinare a,\ b\in\mathbb{R} di modo che il limite destro e il limite sinistro per x\to0 della funzione coincide con il valore che essa assume in 0, ossia devono sussistere le uguaglianze

\lim_{x\to0^{-}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}f(x)=f(0)

Cosa dobbiamo fare concretamente?

1. Calcoliamo il valore che la funzione assume in 0, ossia valutare la funzione in zero e vedere cosa ti restituisce. In base a come è definita la funzione dell'esercizio si ha che

f(0)=b


2. Calcoliamo il limite destro e il limite sinistro della funzione per x\to0.

Limite sinistro

\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}\sqrt{-x}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{1-\cos(a x \sqrt{-x})}{-x^3}=

Per calcolalo, spezziamolo come somma di limiti

=\lim_{x\to 0^{-}}\sqrt{-x}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)+\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1-\cos(a x \sqrt{-x})}{-x^3}=

e analizziamoli singolarmente partendo dal primo addendo

\lim_{x\to 0^{-}}\sqrt{-x}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)=[0\cdot \infty]

è una forma indeterminata.

Risolviamola riscrivendo il limite nella forma equivalente

=\lim_{x\to0^{-}}\frac{\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{\sqrt{-x}}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]

Applichiamo il teorema di De l'Hopital, derivando separatamente il numeratore e il denominatore così da ottenere

=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\frac{1}{x^2-x}}{\frac{1}{2(-x)^{\frac{3}{2}}}}=

e aggiustiamo un po' l'espressione

=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-2\sqrt{-x}}{x-1}=0

Il teorema di De l'Hopital ci permette di concludere che

\lim_{x\to 0^{-}}\sqrt{-x}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)=0

Occupiamoci del secondo limite

\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1-\cos(a x\sqrt{-x})}{-x^3}

Utilizziamo la stima asintotica del limite notevole del coseno (in caso di dubbi, vedi come usare i limiti notevoli)

1-\cos(f(x))\sim_{f(x)\to 0}\frac{[f(x)]^{2}}{2}

In sostanza dobbiamo ricordare che quando l'argomento del coseno è infinitesimo allora la differenza tra 1 e il coseno dell'argomento è asintotico alla metà dell'argomento al quadrato.

Nel nostro caso, quando x tende a zero, si ha che:

ax\sqrt{-x}\to 0\ \ \ \mbox{per} \ x\to 0

dunque vale la stima asintotica

1-\cos(a x\sqrt{-x})\sim_{x\to 0}\frac{(ax\sqrt{-x})^2}{2}= \frac{a^2 x^2(-x)}{2}=\frac{-a^2x^3}{2}

Per il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti possiamo riscrivere il limite come

\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1-\cos(a x\sqrt{-x})}{-x^3}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\frac{-a^2 x^3}{2}}{-x^3}=\frac{a^2}{2}

In definitiva il limite sinistro vale:

\overbrace{\lim_{x\to 0^{-}}\sqrt{-x}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)}^{= 0}+\overbrace{\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1-\cos(a x \sqrt{-x})}{-x^3}}^{=\frac{a^2}{2}}= \frac{a}{2}

Calcolo del limite destro

Occupiamoci del limite destro:

\lim_{x\to0^{+}}\left(\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{x}}+2\right)

Siamo ancora di fronte ad una forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] che può essere risolto ancora una volta con le stime asintotiche. Osserva infatti che:

\arcsin(x)\sim_{x\to 0}x

e per il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti possiamo scrivere le uguaglianze:

 \\ \lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{x}}+2\right)=\\ \\ \\ =\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{x}{\sqrt{x}}+2\right)=

Ora eseguiamo una razionalizzazione, moltiplicando e dividendo per \sqrt{x}.

=\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}+2\right)= \lim_{x\to 0^{+}}\left(\sqrt{x}+2\right)=2

3. Imponiamo che il limite destro e il limite sinistro siano uguali a f(0)=b.

\\ \lim_{x\to 0^{-}}f(x)=f(0)\iff \frac{a^2}{2}=b \\ \\ \\ \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)\iff 2=b

Tali relazioni ci permettono di costruire il seguente sistema

\begin{cases}\frac{a^2}{2}=b\\ b=2\end{cases}

da cui

\\ \begin{cases}a^2= 2b\\ b=2\end{cases}\iff \begin{cases}a^2= 4\\ b=2\end{cases}\iff \\ \\ \\ \iff\begin{cases}a=\pm 2\\ b=2\end{cases}

Tiriamo le somme: la funzione è continua in x=0 se e solo se a=-2\ \mbox{e}\ b=2 oppure se a=2\ \mbox{e} \ b=2.
Ringraziano: CarFaby, giacomo.giacomo
  • Pagina:
  • 1
Os