Ciao Giacomo!
L'esercizio chiede essenzialmente di determinare le due costanti

di modo che

sia una
funzione continua, ma prima utilizzeremo la definizione di
valore assoluto Osserva infatti che per

si ha che

dunque il primo ramo della funzione si riscrive come
e dunque

diventa
Osserviamo che
è continua in

perché composizione di funzioni continue indipendentemente dal parametro

. Possiamo dire lo stesso del terzo ramo della funzione, infatti
è continua nell'intervallo

perché composizione di funzioni continue.
L'unico punto in cui abbiamo dubbi è il punto di raccordo

: interverrà quindi la
definizione di funzione continua in un punto.
Dobbiamo determinare

di modo che il limite destro e il limite sinistro per

della funzione coincide con il valore che essa assume in 0, ossia devono sussistere le uguaglianze
Cosa dobbiamo fare concretamente?
1. Calcoliamo il valore che la funzione assume in 0, ossia valutare la funzione in zero e vedere cosa ti restituisce. In base a come è definita la funzione dell'esercizio si ha che
2. Calcoliamo il limite destro e il limite sinistro della funzione per

.
Limite sinistro
Per calcolalo, spezziamolo come somma di limiti
e analizziamoli singolarmente partendo dal primo addendo
è una
forma indeterminata.
Risolviamola riscrivendo il limite nella forma equivalente
Applichiamo il
teorema di De l'Hopital, derivando separatamente il numeratore e il denominatore così da ottenere
e aggiustiamo un po' l'espressione
Il teorema di De l'Hopital ci permette di concludere che
Occupiamoci del secondo limite
Utilizziamo la stima asintotica del
limite notevole del coseno (in caso di dubbi, vedi
come usare i limiti notevoli)
In sostanza dobbiamo ricordare che quando l'argomento del coseno è infinitesimo allora la differenza tra 1 e il coseno dell'argomento è asintotico alla metà dell'argomento al quadrato.
Nel nostro caso, quando

tende a zero, si ha che:
dunque vale la stima asintotica
Per il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti possiamo riscrivere il limite come
In definitiva il limite sinistro vale:
Calcolo del limite destro Occupiamoci del limite destro:
Siamo ancora di fronte ad una forma indeterminata
![[(0)/(0)]](data:image/gif;base64,R0lGODlhHAAtAOMAAP///wAAALa2tlBQUBYWFubm5oqKimJiYnR0dJ6eniIiIjAwMAQEBMzMzAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAcAC0AAATsEEgggg1j6q1uKJpAFORmTmTxhcTpbusknsaBHIkbS/OWKBOC4LSjtDiGCWJBBMmOmsBQkmA0WZtGoCErSoq9Lpe3NYGh5DGlDHPy0ADtFJDwAs7mnMRgNbuNJgoIEwdMflg+QBIEalF/YRo1BgN6h08vmHePcJmOiJ2Wb6BXl6Ntn6Zfm6mepRMesKGArKqoqXi0mramuBs1N5WnrhM/QXOtokhKhsLJUXNVpM4SWmoVf7XDa9ZsyLNi4M3f1FLEdr2vlXzS4xKChMzekFSKAIzs83sHk8HynKPobq3KFZDXIw8ZMnW4gC2XhggAOw==)
che può essere risolto ancora una volta con le stime asintotiche. Osserva infatti che:
e per il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti possiamo scrivere le uguaglianze:
Ora eseguiamo una
razionalizzazione, moltiplicando e dividendo per

.
3. Imponiamo che il limite destro e il limite sinistro siano uguali a

.
Tali relazioni ci permettono di costruire il seguente sistema
da cui
Tiriamo le somme: la funzione è continua in

se e solo se

oppure se
