Funzione con 2 parametri e continuità su 3 tratti

Vorrei sapere come studiare la continuità di questa funzione con 2 parametri e definita da 3 tratti.

Sia la funzione definita a tratti:



dove sono costanti. Determinare in modo che risulti continua, giustificando la risposta.

Ciao Giacomo!

L'esercizio chiede essenzialmente di determinare le due costanti di modo che sia una funzione continua, ma prima utilizzeremo la definizione di valore assoluto

Osserva infatti che per si ha che dunque il primo ramo della funzione si riscrive come



e dunque diventa



Osserviamo che



è continua in perché composizione di funzioni continue indipendentemente dal parametro . Possiamo dire lo stesso del terzo ramo della funzione, infatti



è continua nell'intervallo perché composizione di funzioni continue.

L'unico punto in cui abbiamo dubbi è il punto di raccordo : interverrà quindi la definizione di funzione continua in un punto.

Dobbiamo determinare di modo che il limite destro e il limite sinistro per della funzione coincide con il valore che essa assume in 0, ossia devono sussistere le uguaglianze



Cosa dobbiamo fare concretamente?

1. Calcoliamo il valore che la funzione assume in 0, ossia valutare la funzione in zero e vedere cosa ti restituisce. In base a come è definita la funzione dell'esercizio si ha che




2. Calcoliamo il limite destro e il limite sinistro della funzione per .

Limite sinistro



Per calcolalo, spezziamolo come somma di limiti



e analizziamoli singolarmente partendo dal primo addendo



è una forma indeterminata.

Risolviamola riscrivendo il limite nella forma equivalente



Applichiamo il teorema di De l'Hopital, derivando separatamente il numeratore e il denominatore così da ottenere



e aggiustiamo un po' l'espressione



Il teorema di De l'Hopital ci permette di concludere che



Occupiamoci del secondo limite



Utilizziamo la stima asintotica del limite notevole del coseno (in caso di dubbi, vedi come usare i limiti notevoli)



In sostanza dobbiamo ricordare che quando l'argomento del coseno è infinitesimo allora la differenza tra 1 e il coseno dell'argomento è asintotico alla metà dell'argomento al quadrato.

Nel nostro caso, quando tende a zero, si ha che:



dunque vale la stima asintotica



Per il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti possiamo riscrivere il limite come



In definitiva il limite sinistro vale:



Calcolo del limite destro

Occupiamoci del limite destro:



Siamo ancora di fronte ad una forma indeterminata che può essere risolto ancora una volta con le stime asintotiche. Osserva infatti che:



e per il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti possiamo scrivere le uguaglianze:



Ora eseguiamo una razionalizzazione, moltiplicando e dividendo per .



3. Imponiamo che il limite destro e il limite sinistro siano uguali a .



Tali relazioni ci permettono di costruire il seguente sistema



da cui



Tiriamo le somme: la funzione è continua in se e solo se oppure se