Funzione con 2 parametri e continuità su 3 tratti
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#77969
![]() giacomo.giacomo Punto | Vorrei sapere come studiare la continuità di questa funzione con 2 parametri e definita da 3 tratti. Sia ![]() dove |
#77970
![]() Ifrit Amministratore | Ciao Giacomo! L'esercizio chiede essenzialmente di determinare le due costanti Osserva infatti che per ![]() e dunque ![]() Osserviamo che ![]() è continua in ![]() è continua nell'intervallo L'unico punto in cui abbiamo dubbi è il punto di raccordo Dobbiamo determinare ![]() Cosa dobbiamo fare concretamente? 1. Calcoliamo il valore che la funzione assume in 0, ossia valutare la funzione in zero e vedere cosa ti restituisce. In base a come è definita la funzione dell'esercizio si ha che 2. Calcoliamo il limite destro e il limite sinistro della funzione per Limite sinistro ![]() Per calcolalo, spezziamolo come somma di limiti ![]() e analizziamoli singolarmente partendo dal primo addendo ![]() è una forma indeterminata. Risolviamola riscrivendo il limite nella forma equivalente ![]() Applichiamo il teorema di De l'Hopital, derivando separatamente il numeratore e il denominatore così da ottenere ![]() e aggiustiamo un po' l'espressione ![]() Il teorema di De l'Hopital ci permette di concludere che ![]() Occupiamoci del secondo limite ![]() Utilizziamo la stima asintotica del limite notevole del coseno (in caso di dubbi, vedi come usare i limiti notevoli) ![]() In sostanza dobbiamo ricordare che quando l'argomento del coseno è infinitesimo allora la differenza tra 1 e il coseno dell'argomento è asintotico alla metà dell'argomento al quadrato. Nel nostro caso, quando ![]() dunque vale la stima asintotica ![]() Per il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti possiamo riscrivere il limite come ![]() In definitiva il limite sinistro vale: ![]() Calcolo del limite destro Occupiamoci del limite destro: ![]() Siamo ancora di fronte ad una forma indeterminata e per il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti possiamo scrivere le uguaglianze: ![]() Ora eseguiamo una razionalizzazione, moltiplicando e dividendo per ![]() 3. Imponiamo che il limite destro e il limite sinistro siano uguali a ![]() Tali relazioni ci permettono di costruire il seguente sistema ![]() da cui ![]() Tiriamo le somme: la funzione è continua in |
Ringraziano: CarFaby, giacomo.giacomo |
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