Esercizio su grafico, sup e inf e continuità

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Esercizio su grafico, sup e inf e continuità #77967

avt
giacomo.giacomo
Punto
Ciao! Mi mostrate come risolvere questo esercizio sul grafico di una funzione, su sup e inf e sulla continuità?

Sia f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} definita da

f(x)=\begin{cases}\frac{1}{(x+1)^3}-1\mbox{ se }x<-1\\ 2 \tan(x+1)\mbox{ se }-1\le x<\frac{\pi}{4}-1\\ \frac{4}{\pi}\arctan\left(1-\frac{\pi}{4}+x\right)\mbox{ se }x\ge \frac{\pi}{4}-1 \end{cases}

a) Disegnare con precisione il grafico di f.

b) Determinare \mbox{inf} f e \mbox{sup} f, ossia l'estremo superiore e l'estremo inferiore di f rispettivamente.

c) Determinare i punti in cui f risulta essere continua e quelli in cui è discontinua, giustificando la risposta.
 
 

Re: Esercizio su grafico, sup e inf e continuità #77968

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Giacomo!

Quella che proponi è una funzione definita a tratti, o definita per casi, essa infatti presenta tre rami:

f_{1}(x)=\frac{1}{(x+1)^3}-1\mbox{ se }x<-1

f_{2}(x)=2 \tan(x+1)\mbox{ se }-1\le x<\frac{\pi}{4}-1

f_{3}(x)=\frac{4}{\pi}\arctan\left(1-\frac{\pi}{4}+x\right)\mbox{ se }x\ge \frac{\pi}{4}-1

Per disegnare il grafico della funzione non è necessario effettuare lo studio (nel caso servisse ecco i passi da seguire per lo studio di funzione completo studio di funzione completo), sarà sufficiente conoscere come si modificano i grafici delle funzioni quando su di esse intervengono le cosiddette operazioni elementari. Ecco a te le regole del grafico intuitivo.

Partiamo con il rappresentare il primo ramo della funzione, partendo dal grafico elementare:

g(x)=\frac{1}{x^3}

Il grafico della funzione y= g(x+{\color{blue}1})= \frac{1}{(x+{\color{blue}1})^3} si ottiene partendo dal grafico di g(x) spostando quest'ultimo verso sinistra di {\color{blue}1} unità.

Attenzione, non abbiamo ottenuto ancora il grafico del primo ramo. Osserva infatti che

f_{1}(x)= g(x+1)-{\color{red}1}

Di conseguenza dobbiamo traslare di un'unità verso il basso il grafico della funzione g(x+1).

grafico di funzione fratta con operazioni elementari sul grafico


Attenzione, il primo ramo è definito per x<-1, pertanto dovrai cancellare tutta la parte di grafico che sta oltre la retta x=-1.


grafico di funzione fratta con operazioni elementari


Bene, il primo ramo è a posto. Occupiamoci del secondo ramo:

f_2(x)=2\tan(x+1)\mbox{ con }-1\le x<\frac{\pi}{4}-1

Partiamo dal grafico elementare della funzione tangente y=\tan(x). Lo trasliamo verso sinistra di una unità così da ottenere il grafico della funzione y=\tan(x+1).

La moltiplicazione per 2 della funzione \tan(x+1) genera una "dilatazione verticale", avviene cioè una sorta di stiramento, perché la costante moltiplicativa è maggiore di 1.

Aiutati con i valori notevoli della tangente per disegnare il tutto in modo accurato.

grafico con operazioni elementari con tangente


Poiché il secondo ramo vive quando -1\le x<\frac{\pi}{4}-1, "butteremo" il grafico che si trova prima di -1 e dopo \frac{\pi}{4}-1.

Il secondo ramo è a posto. Occupiamoci infine dell'ultimo ramo:

f_{3}(x)=\frac{4}{\pi}\arctan\left(1-\frac{\pi}{4}+x\right)

Partiamo dal grafico dell'arcotangente, dopodiché lo trasleremo verso sinistra di 1-\frac{\pi}{4} e infine lo stiriamo di un fattore \frac{4}{\pi}>1.

grafico con operazioni elementari con arcotangente


Il terzo ramo è definito per x\ge \frac{\pi}{4}-1 dunque tutto quello che ci sta prima della retta x=\frac{\pi}{4}-1 verrà cancellato.

Ricomponiamo tutto così da ottenere:

grafico di funzione definita a tratti con operazioni elementari


Estremo superiore e estremo inferiore di f

Da questo comprendiamo che l'immagine della funzione è \mbox{Im}(f)=(-\infty, -1)\cup [0,2) e ]dunque l'estremo inferiore di f è

\bullet\,\,\mbox{inf } f=-\infty e non è minimo.

\bullet\,\, \mbox{sup }f= 2 che però non è massimo, infatti non esiste alcun x\in\mathbb{R} tale che f(x)=2


Punti di continuità e discontinuità

Ciascun ramo della funzione è composizione di funzioni continue ed è pertanto continuo nel suo sottodominio.

I candidati punti di discontinuità sono invece i punti di raccordo, ovvero quei punti in cui la funzione cambia la sua espressione analitica.

x=-1\quad x=\frac{\pi}{4}-1

Iniziamo con

\bullet\,\, x=-1

Studiamo il primo punto, utilizzando la definizione di continuità, dobbiamo verificare che il limite destro e il limite sinistro della funzione coincidono con la valutazione della funzione nel punto considerato, se ciò non avviene allora il punto è di discontinuità. Prima di tutto valutiamo la funzione nel punto

\bullet\,\, f(-1)=2\tan(-1+1)=2\tan(0)=0


Calcoliamo il limite sinistro per x che tende a -1.

\lim_{x\to -1^{-}}f(x)= \lim_{x\to -1^{-}}\frac{1}{(x+1)^3}-1=\frac{1}{0^-}-1=-\infty

\lim_{x\to -1^{+}}f(x)=\lim_{x\to -1^{+}}2\tan(x+1)=0

Il limite destro e il limite sinistro non coincidono e ciò ci permette di concludere che f non è continua in x=-1.

Controlliamo la continuità nel punto x=\frac{\pi}{4}-1. Come prima effettuiamo la valutazione nel punto:

f\left(\frac{\pi}{4}-1\right)=\frac{4}{\pi}\arctan\left(1-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}-1\right)=\frac{4}{\pi}\arctan\left(0\right)=0

Ora controlliamo il limite destro e il limite sinistro:

\lim_{x\to \left(\frac{\pi}{4}-1\right)^-}f(x)=\lim_{x\to \left(\frac{\pi}{4}-1\right)^-}2\tan(x+1)=

=2\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\cdot 1=2.

\lim_{x\to \left(\frac{\pi}{4}-1\right)^+}f(x)=\lim_{x\to \left(\frac{\pi}{4}-1\right)^+}\frac{4}{\pi}\arctan\left(1-\frac{\pi}{4}+x\right)=\frac{4}{\pi}\arctan(0)=0

La funzione non è continua in x=\frac{\pi}{4}-1.

Per approfondire puoi leggere la lezione sui punti di discontinuità.
Ringraziano: CarFaby, giacomo.giacomo
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