Test sulle definizioni di Algebra Lineare

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Test sulle definizioni di Algebra Lineare #77779

avt
altair91
Punto
Ciao, mi aiutate con un test sulle principali definizioni di Algebra Lineare? Si tratta di 3 domande in tutto.

1) Dopo aver dato la definizione di autovettore di una matrice A è vero che se una matrice A\in M(4,4, \mathbb{R}) ha 2 autovalori reali e distinti, uno dei quali con molteplicità geometrica 3, allora A è diagonalizzabile?

2) Dopo aver dato la definizione di immagine di un'applicazione lineare f:V\to W siano f, \ g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 due endomorfismi di \mathbb{R}^3.

È vero che se Ker(f)=Ker(g), allora Im(f)=Im(g)? Motivare la risposta.

3) Dopo aver dato la definizione di insieme di vettori linearmente indipendenti uno spazio vettoriale V, se \{v_1, \ ..., \ v_m\} è un insieme di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale V, allora è vero che l'insieme

\{v_1, \ ..., \ v_m, \ v_1+....+v_m\}

è un insieme di vettori linearmente indipendente di V?


Pur non essendomi richiesto un tentativo di svolgimento, lo riporto ugualmente per completezza.

1) Allora io so che un un numero reale \lambda si dice un autovalore dell'endomorfismo \varphi se esiste un vettore v non nullo tale che

\varphi (v)= \lambda(v).

Il vettore v si dice allora autovettore di \varphi di autovalore \lambda. In questo caso quindi cosa dovrei dire?


2) Io so che Im(f)\subseteqW è data da:

Im(f)= \{w\in W | \exists v\in V \mbox{ per cui } F(v)=w}

Poi che cosa devo dire riguardo all'esempio della consegna?


3) Io so che in un R-spazio vettoriale V un insieme finito di vettori

\{v_1, \ ..., \ v_m\}, \ m  \in \mathbb{N}

è detto insieme di vettori linearmente indipendenti se il solo modo di scrivere come loro combinazione lineare il vettore nullo 0_v è la combinazione lineare con tutti i coefficienti nulli nel mio caso quindi non sono indipendenti giusto?
 
 

Test sulle definizioni di Algebra Lineare #77784

avt
Galois
Coamministratore
Eccoci qua emt

1) Dopo aver dato la definizione di autovettore di una matrice A è vero che se una matrice A \in M(4, 4, \mathbb{R}) ha 2 autovalori reali e distinti, uno dei quali con molteplicità geometrica 3, allora A è diagonalizzabile?


Iniziamo con il dare la definizione di autovettore di una matrice.

Data una matrice quadrata A di ordine n \ge 1, diremo che un vettore v \in \mathbb{R}^n è un autovettore per A se e solo se, per definizione

Av = \lambda v

Inoltre, lo scalare \lambda prende il nome di autovalore.

Passiamo ora al punto saliente dell'esercizio. Abbiamo una matrice quadrata di ordine 4 (4 righe e 4 colonne) a coefficienti reali.

Sappiamo inoltre che tale matrice ha due autovalori distinti (diciamoli \lambda_1 \ \mbox{e} \ \lambda_2) e che la molteplicità geometrica di un autovalore, ad esempio di \lambda_1 è uguale a 3, ovvero m_g(\lambda_1)=3.

Dobbiamo stabilire se la matrice è diagonalizzabile.

Ora, poiché siamo di fronte ad una matrice quadrata A di ordine 4, il suo polinomio caratteristico

P(\lambda)=\mbox{det}[A-I\lambda]

sarà un polinomio di grado 4.

Inoltre la molteplicità algebrica di un autovalore è data dal numero di volte che esso annulla il polinomio caratteristico.

(Queste osservazioni ci serviranno tra poco, teniamole ben presenti).

Ora, ricordiamo il legame che intercorre tra la molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore - click!

In generale, se \lambda è un autovalore per una matrice quadrata di ordine n, si ha che:

1 \le m_g(\lambda) \le m_a(\lambda) \le n


Noi sappiamo che m_g(\lambda_1)=3 e, di conseguenza, per la relazione prima ricordata (la matrice A ha ordine n=4)

\underbrace{3}_{m_g(\lambda_1)} \le m_a(\lambda_1) \le 4

Ne segue:

m_a(\lambda_1)=3 \ \mbox{oppure} \ m_a(\lambda_1)=4

ovvero la molteplicità algebrica dell'autovalore \lambda_1 può essere 3 oppure 4.

Se fosse 4, ciò vorrebbe dire che tale autovalore annulla il polinomio caratteristico per 4 volte ed essendo 4 il grado del polinomio caratteristico (prima osservato) vorrebbe dire che non ci sarebbero altri autovalori. Noi però sappiamo che la matrice A ha un altro autovalore \lambda_2 \neq \lambda_1.

Pertanto la molteplicità algebrica di \lambda_1 è uguale a 3 e, di conseguenza, la molteplicità algebrica di \lambda_2=1.

Sempre utilizzando la relazione tra molteplicità algebrica e geometrica prima ricordata (applicata al secondo autovalore) abbiamo

1 \le m_g(\lambda_2) \le \underbrace{m_a(\lambda_2)}_{=1} \le 4

Di conseguenza m_g(\lambda_2)=1 e dunque

m_a(\lambda_1)=3=m_g(\lambda_1)

m_a(\lambda_2)=1=m_g(\lambda_2)

Possiamo allora concludere che la matrice A è una matrice diagonalizzabile in quanto:

- la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori è uguale all'ordine della matrice:

m_a(\lambda_1)=m_a(\lambda_2)=3+1=4

- la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale alla molteplicità geometrica.


2) Dopo aver dato la definizione di immagine di un'applicazione lineare f: \ V \to W siano f, \ g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 due endomorfismi di \mathbb{R}^3.

È vero che se Ker(f)=Ker(g), allora Im(f)=Im(g)? Motivare la risposta.


Siano V \ \mbox{e} \ W due spazi vettoriali su un campo \mathbb{K}.

Si dice immagine dell'applicazione lineare F:V\to W il sottoinsieme del codominio Im(F)\subseteq W dato da

\mbox{Im}(F):=\{w\in W\mbox{ t.c. }\exists v\in V \mbox{ per cui }F(v)=w\}

Per rispondere all'altra domanda basta ricordare che:

- Nucleo e immagine di un'applicazione lineare sono due sottospazi vettoriali.

- Due sottospazi vettoriali aventi stessa dimensione sono uguali (a meno di un isomorfismo).

- Teorema delle dimensioni:

se F:V\to W è un'applicazione lineare

\mbox{dim(V)=dim[ker(f)]+dim[Im(f)]}

Alla luce di ciò, noi abbiamo due endomorfismi di \mathbb{R}^3

f, \ g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3

tali che ker(f)=ker(g). Per il teorema delle dimensioni abbiamo:

\mbox{dim[Im(f)] = 3 - dim[ker(f)]}

e

\mbox{dim[Im(g)] = 3 - dim[ker(g)]}

Essendo Ker(f)=Ker(g) ovviamente i due nuclei avranno stessa dimensione e quindi

\mbox{dim[Im(f)]=dim[Im(g)]}

Per quanto prima ricordato essendo l'immagine di un'applicazione lineare un sottospazio vettoriale e poiché due sottospazi vettoriali aventi stessa dimensione sono isomorfi, possiamo concludere che

Im(f)=Im(g)

sempre a patto che con "=" si intende "uguali a meno di un isomorfismo".


3) Dopo aver dato la definizione di insieme di vettori linearmente indipendenti uno spazio vettoriale V, se \{v_1, \ ..., \ v_m\} è un insieme di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale V, allora è vero che l'insieme

\{v_1, \ ..., \ v_m, \ v_1+....+v_m\}

è un insieme di vettori linearmente indipendente di V?


La definizione di vettori linearmente indipendenti è la seguente:

Dato uno spazio vettoriale V ed m vettori

v_1, \ v_2, \ ..., \ v_m \ \mbox{di} \ V

diremo che tali vettori sono linearmente indipendenti se, prendendo m scalari a_1, \ a_2, \ ..., \ a_m e imponendo

a_1v_1 + a_2v_2+ ... + a_mv_m = \underline{0}

risulta che la precedente uguaglianza è soddisfatta solo per

a_1=a_2=...=a_m=0

cioè se la m-pla nulla è l'unica che annulla la combinazione lineare prima scritta.

Ora, noi abbiamo m vettori linearmente indipendenti di V

\{v_1, \ ..., \ v_m\}

e dobbiamo stabilire se

\{v_1, \ ..., \ v_m, \ v_1+....+v_m\}

è un insieme di vettori linearmente indipendenti.

Imponendo

a_1v_1 + a_2v_2+ ... + a_mv_m + a_{m+1}(v_1+v_2+...+v_m) = \underline{0}

tali vettori sono linearmente indipendenti se e solo se

a_1=a_2=...=a_m=a_{m+1}=0

è l'unica (m+1)-upla che annulla la combinazione lineare.

Scrivendo la combinazione lineare precedente come

(a_1+a_{m+1})v_1 + (a_2+a_{m+1)}v_2+ ... + (a_m+a_{m+1})v_m = \underline{0}

si vede subito che per

a_1=a_2=...a_m=-a_{m+1}

la combinazione lineare si annulla ugualmente. Avendo trovato una (m+1)-upla non necessariamente nulla che annulla la combinazione lineare abbiamo che i vettori sono linearmente dipendenti, ovvero l'affermazione è falsa.

Per concludere che l'affermazione è falsa si sarebbe potuto ragionare con le matrici.

Ricordiamo infatti che m vettori sono linearmente indipendenti se il rango della matrice che ha come colonne le componenti dei vettori è massimo.

Ora, se a tale matrice (formata dagli m vettori linearmente indipendenti) aggiungiamo una colonna data dalla somma delle componenti dei vettori di partenza, il rango di questa nuova matrice non sarà più massimo (in quanto una colonna è combinazione lineare delle altre).

Di conseguenza siamo di fronte a vettori linearmente dipendenti.
Ringraziano: Ifrit, altair91
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Os