Esercizio su piani e fascio di piani

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Esercizio su piani e fascio di piani #77770

avt
altair91
Punto
Mi servirebbe aiuto per un esercizio sui piani e sui fasci di piani in Geometria dello Spazio.

Nello spazio affine metrico usuale si considerino il punto P=(1,2,2), la retta

r: \ \begin{cases} x=-t+3 \\ y =2t-1 \\ z = 1 \end{cases}

e il fascio \varphi(r) di piani di sostegno la retta r.

1) Determinare l'equazione cartesiana del piano \pi \mbox{ di } \varphi (r) che contiene P.

2) Determinare l'equazione cartesiana del piano \sigma \mbox{ di } \varphi (r) che è ortogonale a \pi.

3) Determinare le equazioni parametriche della retta s che passa per (-3,0,0) e è ortogonale a \pi.

4) Determinare la posizione reciproca di r ed s e calcolare la distanza tra r e s.

5) Determinare il piano \tau che è ortogonale a ogni piano di \varphi (r) e passa per P.

6) Determinare la posizione reciproca di \tau \mbox{ e } s


Come mi dovrei comportare in questo esercizio? Devo scrivere l'equazione del fascio di \varphi (r) tramite dei coefficienti e imporre il passaggio per P?
 
 

Esercizio su piani e fascio di piani #77776

avt
Galois
Amministratore
Ciao altair91 emt

Abbiamo l'equazione parametrica della retta

r: \ \begin{cases}x=-t+3 \\ y=2t-1 \\ z=1 \end{cases}

e, come prima cosa, dobbiamo trovare l'equazione del fascio di piani \varphi(r) avente per asse tale retta.

Per trovare tale fascio scriviamo la retta in forma cartesiana. Visto che una delle tre equazioni è del tipo

\mbox{variabile = costante}

z=1

è già una delle due equazioni cartesiane di r. Per trovarne l'altra ci basta ricavare dalla prima equazione il valore del parametro t in funzione di x

t=3-x

e sostituirlo nella seconda equazione

y=2(3-x)-1

da cui

y=6-2x-1

2x + y - 5 = 0

L'equazione cartesiana della retta r sarà allora

r: \ \begin{cases} 2x+y-5=0 \\ z-1=0 \end{cases}

Lettura consigliata: dall'equazione parametrica a quella cartesiana di una retta .- click!

Il fascio di piani \varphi(r) avente per asse la retta r avrà equazione:

\varphi(r): \ 2x+y-5 + k(z-1)=0

Ovvero

\varphi(r): \ 2x + y + kz - (5 + k) = 0

------------

Trovata l'equazione del fascio possiamo procedere con gli altri punti del problema.

1) Determinare l'equazione cartesiana del piano \pi \ \mbox{di} \ \varphi (r) che contiene P(1,2,2)

Per trovare l'equazione cartesiana del piano \pi ci basta sostituire nell'equazione del fascio \varphi(r) le coordinate del punto P(1,2,2).

Sostituiremo cioè 1 al posto di x, 2 al posto di y e 2 al posto di z per poi ricavare un valore del parametro k. Tale valore, sostituito nell'equazione originaria del fascio ci darà il piano cercato.

Abbiamo allora

2 \cdot 1 + 2 + k \cdot 2 - 5 - k = 0

da cui

2 + 2 + 2k - 5 - k = 0

k - 1 = 0

k=1

Il piano \pi ha dunque equazione

2x+y+ 1\cdot z - (5+1)=0

ovvero

\pi: \ 2x+y+z-6=0


2) Determinare l'equazione cartesiana del piano \sigma \mbox{ di } \varphi (r) che è ortogonale a \pi

Per trovare il piano \sigma basta ricordare che due piani sono ortogonali se il prodotto scalare tra i parametri direttori è nullo.

Ora, i coefficienti direttori del piano

\pi: \ 2x + y + z - 6 = 0

sono dati da

(2, \ 1, \ 1)

mentre i parametri direttori del fascio di piani

\varphi(r): \ 2x + y + kz - (5 + k) = 0

sono

(2, \ 1, \ k)

Imponendo che il prodotto scalare sia nullo vien fuori

(2, \ 1, \ 1) \cdot (2, \ 1, \ k) = 0

da cui

(2 \cdot 2) + (1 \cdot 1)+ (1 \cdot k)=0 \to 4+1+k=0

ovvero

k=-5

Sostituendo tale valore nell'equazione del fascio ricaviamo l'equazione del piano cercato

\sigma: 2x+y-5z-(5-5)=0

\sigma: 2x+y-5z=0


3) Determinare le equazioni parametriche della retta s che passa per (-3,0,0) ed è ortogonale a \pi

Chiediamoci: quando retta e piano sono ortogonali?

Quando i parametri direttori della retta sono uguali (o al più proporzionali) ai coefficienti direttori del piano.

Ora, i coefficienti direttori del piano \pi (li abbiamo già trovati al punto precedente) sono:

(2, \ 1, \ 1)

e, per quanto prima detto, tali saranno i coefficienti direttori della retta s, ovvero

v_s=(2, \ 1, \ 1)

Conoscendo anche le coordinate cartesiane di un punto Q(-3,0,0) che appartiene alla retta possiamo immediatamente trovare le sue equazioni parametriche:

s: \ \begin{cases} x=x_Q +2t \\ y=y_Q + 1t \\ z=z_Q + 1t\end{cases}

da cui

s: \ \begin{cases} x=-3 +2t \\ y=t \\ z=t\end{cases}

Tra poco arrivano gli altri punti emt
Ringraziano: Ifrit, altair91

Esercizio su piani e fascio di piani #77778

avt
Galois
Amministratore
4) Determinare la posizione reciproca di r ed s e calcolare la distanza tra r e s

Riportiamoci le equazioni parametriche delle due rette:

r: \ \begin{cases} x= 3-t \\ y=-1+2t \\ z=1 \end{cases}

s: \ \begin{cases} x= -3+2t \\ y=t \\ z=t \end{cases}

Innanzitutto due rette dello spazio possono essere complanari o sghembe.

Due rette in forma parametrica

r: \begin{cases}x=x_0 + lt \\ y=y_0 + mt \\ z=z_0+nt\end{cases}\ \ \ s: \begin{cases}x=x'_0+l't \\ y=y'_0+m't \\ z=z'_0+n't \end{cases} \ \ t \in \mathbb{R}

sono rette complanari (-> leggimi..) se il rango della matrice:

\left[\begin{matrix}x'_0 - x_0 & y'_0-y_0 & z'_0-z_0 \\ l & m & n \\ l' & m' & n' \end{matrix}\right]

non è massimo.

Nel nostro caso la matrice che ci permetterà di stabilire se le rette cono complanari è:

\left[\begin{matrix} 3+3 & -1+0 & 1+0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}\right]

(per costruirla basta procedere come appena spiegato)

Ovvero

\left[\begin{matrix} 6 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}\right]

Procedendo, ad esempio, con la regola di Sarrus vedrai che il suo determinante è uguale a 6.

Possiamo allora concludere che il rango è 3 e quindi le due rette non sono complanari. Di conseguenza siamo di fronte a due rette sghembe.

Dobbiamo allora determinare la distanza tra due rette sghembe. Tale distanza, detta minima distanza, è la distanza di un punto qualsiasi della retta s dal piano passante per la retta r e parallelo ad s.

Conoscendo già l'equazione del fascio di piani per la retta r:

\varphi(r): \ 2x+y+kz - (5+k)=0

Per trovare, tra gli infiniti piani del fascio, quello parallelo alla retta s di parametri direttori

v_s=\left(2,\ 1, \ 1\right)

ci basta imporre che il prodotto scalare tra i parametri direttori del fascio di piani

(2, \ 1, \ k)

e la direzione della retta s sia zero.

Abbiamo allora

(2, \ 1, \ 1) \cdot (2, \ 1, \ k)=0

Abbiamo già fatto tale conto al punto 2) da cui è venuto fuori

k=-5

Il piano per r e parallelo ad s è quindi proprio

\sigma: \ 2x+y-5z=0

Un punto generico della retta s è Q(-3,0,0) (dato al punto 3). Ragion per cui per determinare la minima distanza tra le due rette sghembe ci basta trovare la distanza del punto Q dal piano \sigma.

Applicando la formula della distanza punto piano vien fuori

d(Q, \ \sigma) = \frac{|-6|}{\sqrt{4+1+25}}=\frac{6}{\sqrt{30}}

che è la distanza cercata.


5) Determinare il piano \tau che è ortogonale a ogni piano di \varphi (r) e passa per P(1,2,2)

Non abbiamo molto da fare se non un semplice ragionamento.

Per definizione di fascio di piani aventi come sostegno una retta r, ogni piano del fascio contiene la retta r.

Ragion per cui, un piano è ortogonale a tutti i piani del fascio se è ortogonale alla retta di sostegno del fascio, ovvero, se i coefficienti direttori del piano sono uguali (o al più proporzionali) alla direzione della retta r.

Quest'ultima è la condizione di perpendicolarità tra retta e piano (già ricordata nel corso delle precedenti risposte).

Ora, visto che la direzione della retta r è

v_r=(-1, \ 2, \ 0)

(si ricava immediatamente dall'equazione parametrica) si ha che gli infiniti piani ortogonali alla retta r e quindi al fascio \varphi(r) hanno equazione

-x+2y+0z+d=0 \to -x+2y+d=0

Per trovare il piano \tau basta imporre il passaggio per il punto P(1,1,2) da cui

-1+2+d=0 \ \to \ d=-1

Ovvero

\tau: \ -x+2y-1=0


6) Determinare la posizione reciproca di \tau \mbox{ e } s

Conosciamo l'equazione parametrica della retta

s: \ \begin{cases} x= -3+2t \\ y=t \\ z=t \end{cases}

da cui possiamo ricavare l'equazione cartesiana

s: \ \begin{cases}x-2y+3=0 \\ y-z=0 \end{cases}

Inoltre l'equazione cartesiana del piano \tau è la seguente

\tau: \ -x+2y-1=0

Per trovare la posizione reciproca tra retta e piano ci basta studiare la compatibilità del sistema lineare

\begin{cases}x-2y+3=0 \\ y-z=0 \\ -x+2y-1=0 \end{cases}

ovvero

\begin{cases}x-2y=-3 \\ y-z=0 \\ -x+2y=1 \end{cases}

formato dalle due equazioni cartesiane della retta e dall'equazione del piano.

Per far ciò dobbiamo ricorrere al teorema di Rouché Capelli - click!

In particolare:

1) Se il sistema è incompatibile, retta e piano sono paralleli;

2) Se il sistema ha una sola soluzione, retta e piano si intersecano in un punto;

3) Se il sistema ha infinite soluzioni dipendenti da un parametro, la retta appartiene al piano.

Procediamo.

La matrice incompleta associata al sistema è

A=\left[\begin{matrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \end{matrix}\right]

La matrice completa è data da

(A|b)=\left[\begin{matrix} 1 & -2 & 0 & | & -3\\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\ -1 & 2 & 0 & | & 1 \end{matrix}\right]

Ora, il determinante della matrice A è zero. Inoltre poiché il minore di ordine 2 che si ottiene eliminando la terza riga e la terza colonna

\left[\begin{matrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right]

ha determinante non nullo, possiamo concludere che

\mbox{rango}(A)=2

Passiamo ora a trovare il rango della matrice completa.

Se eliminiamo da (A|b) la prima colonna vien fuori il minore di ordine 3

\left[\begin{matrix} -2 & 0 & -3\\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix}\right]

che ha determinante non nullo.

Di conseguenza

\mbox{rango}(A|b)=3

Per il teorema di Rouché Capelli il sistema è quindi incompatibile, ovvero retta e piano sono paralleli.

emt
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