Esercizio su massimi e minimi in due variabili su un insieme

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Esercizio su massimi e minimi in due variabili su un insieme #77696

avt
Gisella55
Punto
Rieccomi emt mi servirebbe una mano per questo esercizio sui massimi e minimi assoluti di una funzione in due variabili su un insieme assegnato:

data la funzione f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definita da

f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+x^2+1

determinare i punti di massimo e minimo assoluti nell'insieme

B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ x^2+y^2\leq 4\}
 
 

Re: Esercizio su massimi e minimi in due variabili su un insieme #77704

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Gisella emt

Abbiamo la funzione di due variabili:

f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+x^2+1

definita nell'insieme:

B=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+ y^2\le 4\right\}

e di tale funzione dovremo determinare i massimi e i minimi assoluti.

Osservazioni di tipo teorico:

\bullet\,\,f(x,y)=\sqrt{x^2+ y^2}+x^2+1 è una funzione continua perché composizione di funzioni continue.

\bullet\,\, L'insieme B è chiuso e limitato e dunque compatto in \mathbb{R}^2.

Il teorema di Weierstrass per funzioni continue ci assicura l'esistenza dei massimi e dei minimi assoluti della funzione f(x,y).

Osservazioni di tipo geometrico:

L'insieme B è la parte di piano limitata dalla circonferenza di equazione:

x^2+ y^2=4

che ha centro in (0,0) e raggio 2.

Ricerca dei punti stazionari interni a B.

Andiamo alla ricerca dei punti stazionari interni a B, ovvero nell'insieme:

B*=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+ y^2<4\}

Potremo applicare il metodo per i massimi e minimi in due variabili, stando attenti alla radice quadrata che mette i bastoni fra le ruote.

Calcolo delle derivate parziali del primo ordine

Calcoliamo le derivate parziali del primo ordine:

La derivata parziale rispetto ad x è:

\bullet\,\,f_{x}(x,y)=D_{x}[\sqrt{x^2+ y^2}+x^2+1]=

=D_{x}[\sqrt{x^2+y^2}]+D_{x}[x^2]+D_{x}[1]=

=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+2x\mbox{ con }(x,y)\ne (0,0)

La derivata parziale rispetto ad y è invece:

\bullet\,\, f_{y}(x,y)=D_{y}[\sqrt{x^2+y^2}+x^2+1]=

=D_{y}[\sqrt{x^2+y^2}]+D_{y}[x^2]+D_{y}[1]=

=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\mbox{ con }(x,y)\ne (0,0)

Il punto (0,0) è un punto critico per la funzione f, dovremo studiarlo a parte, lo faremo in un secondo momento.

I punti stazionari sono i punti del dominio della funzione che annullano il gradiente, ovvero il vettore che ha per componenti le derivate parziali del primo ordine. Tali punti si candidano come punti di massimo punti di minimo o punti di sella.

\nabla f(x,y)=\mathbf{0}\iff \begin{cases}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+2x=0\\\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0\end{cases}\mbox{ con }(x,y)\ne (0,0)

Consideriamo la seconda equazione del sistema e risolviamola:

\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0\implies y=0

Sostituiamo y=0 nella prima equazione del sistema così da ottenere un'equazione nella sola variabile x.

\frac{x}{\sqrt{x^2}}+2x=0\mbox{ con }x\ne 0

\implies \frac{x}{|x|}+2x=0\implies x\left(\frac{1}{|x|}+2\right)=0

Per la legge di annullamento del prodotto abbiamo che o

x=0 (soluzione non accettabile perché l'equazione perde di significato)

oppure

\frac{1}{|x|}+2=0 che non ha soluzioni perché somma di quantità positive per x\ne 0.

Questo ci assicura che f(x,y) non ha punti stazionari interni a B, ma è presente un punto critico, ovvero il punto (0,0). Per studiarne la sua natura procediamo in questo modo:

Consideriamo la funzione variazione:

\Delta f(x,y)= f(x,y)-f(0,0)=\sqrt{x^2+ y^2}+x^2+1-1= \sqrt{x^2+y^2}+x^2

e studiamone qualitativamente il segno. Osserva che la funzione variazione è certamente non negativa per ogni (x,y)\in B* di conseguenza possiamo asserire che:

\Delta f(x,y)\ge 0\implies f(x,y)-f(0,0)\ge 0\implies f(x,y)\ge f(0,0)=1.

Questo ci permette di dire che (0,0) è un punto di minimo assoluto per la funzione, il minimo assoluto è m=1.

Studio dei massimi e dei minimi sulla frontiera.

Abbiamo studiato la funzione nella parte interna di B, ora ci occupiamo del bordo di equazione:

x^2+y^2=4

Da questo segue che:

\sqrt{x^2+y^2}= 2

La funzione f(x,y) ristretta alla frontiera si riscrive come:

f(x,y)=\overbrace{\sqrt{x^2+ y^2}}^{=2}+x^2+1= x^2+3 con -2\le x\le 2

e dove la variabile y è soggetta ad uno dei vincoli

y^2=4-x^2

In sostanza la funzione f(x,y) sul bordo di B dipende solo dalla variabile x, quindi possiamo studiare la funzione come se fosse in una variabile, chiamiamo questa funzione g(x)

g(x)= x^2+3\mbox{ con }-2\le x\le 2

Osserviamo che la funzione data è continua perché somma di funzioni continue e il dominio [-2,2] è chiuso e limitato. Ancora una volta Weierstrass ci assicura l'esistenza del massimo e del minimo assoluti.
Calcoliamo la derivata prima da studiare nell'intervallo aperto (-2,2)

La derivata di questa funzione è:

g'(x)= 2x\mbox{ con }-2<x<2

Studiamo il segno della derivata prima:

g'(x)>0\implies 2x>0\implies 0<x<2 (non perdiamo di vista le condizioni)

Dunque g'(x) è

\bullet\,\, \mbox{positiva se }0<x<2

\bullet\,\, \mbox{negativa se }2<x<0

\bullet\,\, \mbox{ nulla se } x=0

pertanto la funzione g è

\bullet\,\, \mbox{ crescente se }x\in (0,2)

\bullet\,\, \mbox{ decrescente se }x\in (-2,0)

ed ha un punto di minimo assoluto in x=0

Il minimo assoluto vale m_1= g(0)= 3 (tieni a mente questo risultato)

Abbiamo trovato solo un minimo, ma Weiestrass ci ha assicurato anche l'esistenza di almeno un massimo, non essendo all'interno dell'intervallo (-2,2) necessariamente dovrà essere agli estremi. Valutiamo la funzione g(x)= x^2+3 agli estremi, ovvero per x=-2 e x=2

Se x=-2 allora g(-2)= (-2)^2+3= 7

Se x=2 allora g(2)= 2^2+3= 7

Entrambi sono punti di massimo per la funzione g.

Ora torniamo alla funzione f(x,y), ricordando che, sul bordo, dei suoi punti di massimo e punti di minimo conosciamo solo le ascisse:

x=-2 , x=2 e x=0. Le ordinate sono soggette al vincolo:

y^2= 4- x^2

Sostituiamo i valori così da ottenere:

\bullet\,\,x=-2\implies y^2= 4-4= 0 da cui y=0

\bullet\,\, x= 2\implies y^2=4-4=0 da cui y=0

\bullet\,\, x=0\implies y^2=4\implies y=\pm 2

Dunque i punti sono:

\bullet\,\,(-2,0) a cui associamo il massimo assoluto M= 7

\bullet\,\, (2,0) a cui associamo il massimo assoluto M=7

(0,-2)

(0, +2)

Sono "falsi punti di minimo". Abbiamo già mostrato che il minimo assoluto è 1 e si ha per (x,y)=(0,0).
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Esercizio su massimi e minimi in due variabili su un insieme #77827

avt
Gisella55
Punto
Procedendo con il calcolo della matrice Heissiana nel punto candidato (-1/2 ; 0) ottengo una matrice i cui autovalori valgono entrambi 2. Pertanto dalle mie verifiche risulterebbe che il punto (-1/2 ; 0) è un minimo (Heissiana definita positiva). Qualcuno potrebbe verificare per cortesia?

Re: Esercizio su massimi e minimi in due variabili su un insieme #77828

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Gisella55 emt

Il punto P=\left(-\frac{1}{2},0\right) non è un candidato punto di massimo/punto di minimo per la funzione che hai fornito.

Nota infatti che non annulla il gradiente. La prima componente del gradiente è:

f_{x}\left(-\frac{1}{2},0\right)=\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}}}+2\left(-\frac{1}{2}\right)=-2\ne 0

La seconda componente del gradiente è invece

f_{y}\left(-\frac{1}{2},0\right)=0

Il teorema di Fermat sui punti stazionari ci assicura che il punto \left(-\frac{1}{2}, 0\right) non è un punto stazionario. Non essendo esso un punto stazionario non puoi procedere con la Matrice Hessiana.

Per rassicurarti del fatto che non ci sono punti stazionari riporto il grafico della funzione nel dominio.

funzione di due variabili con radice
Ringraziano: Galois, CarFaby, ermagnus95

Re: Esercizio su massimi e minimi in due variabili su un insieme #77836

avt
Gisella55
Punto
Grazie, tutto chiaro ora.
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Os