Convergenza puntuale e uniforme serie di potenze con termine fratto

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Convergenza puntuale e uniforme serie di potenze con termine fratto #77694

avt
Gisella55
Punto
Buonasera, ecco un esercizio sullo studio della convergenza puntuale ed uniforme di una serie di potenze con un termine fratto:

determinare il raggio di convergenza, l'insieme di convergenza puntuale e l'insieme di convergenza uniforme della serie:

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n\cdot x^{3n}}{(n^2+1)\cdot 2^n}

Grazie in anticipo!
 
 

Re: Convergenza puntuale e uniforme serie di potenze con termine fratto #77706

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Giselle55 emt

Dobbiamo studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie di potenze

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n^2+1)2^n} x^{3n}

Per prima cosa poniamo:

t=x^3.

Grazie a questa sostituzione la serie si riscrive come:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n^2+1)2^n} t^{n}\quad (\heartsuit)

Nota infatti che x^{3n}= (x^3)^n= t^n e tutto questo grazie alle fantastiche proprietà delle potenze.

Calcolo del raggio di convergenza

Per calcolare il raggio di convergenza della serie (\heartsuit) procediamo in questo modo. Calcoliamo il limite della successione:

\bullet\,\,\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{a_n}

dove a_n= \frac{n}{(n^2+1)2^n}

Il limite si scriverà:

\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{n}{(n^2+1) 2^n}}=

\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2}\sqrt[n]{\frac{n}{n^2+1}}=

\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2}\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{n^2+1}}

Osserva che:

\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1 (limite notevole di successione)

mentre

\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n^2+1}= \lim_{n\to \infty}e^{\frac{1}{n}\ln(n^2+1)}=

= \lim_{n\to \infty}e^{\frac{\ln(n^2)}{n}}=\lim_{n\to \infty}e^{\frac{2\ln(n)}{n}}

qui ho utilizzato la stima asintotica \ln(n^2+1)\sim_{n\to \infty}\ln(n^2)

e per le proprietà dei logaritmi

\ln(a^{\beta})=\beta \ln(a)\mbox{ con }a>0

si ha che

\ln(n^2)= 2\ln(n)

dunque

\ln(n^2+1)\sim_{n\to \infty}2\ln(n).

In definitiva possiamo asserire che:

\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2}\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{n^2+1}}=\frac{1}{2}\overbrace{\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{n^2+1}}}^{=1}= \frac{1}{2}

Il raggio di convergenza della serie (\heartsuit) è il reciproco del valore del limite appena ottenuto:

R= \frac{1}{\frac{1}{2}}=2

In definitiva la sere in t converge puntualmente se |t|<2.

Torniamo nella variabile x, ricordando la posizione t= x^{3}. La disequazione diventa:

|x^3|<2\implies |x|^3< 2\implies |x|< \sqrt[3]{2}

E dunque per definizione di valore assoluto otteniamo che la serie converge sicuramente se

-\sqrt[3]{2}<x<\sqrt[3]{2}

Nel caso di dubbi, rivedi le disequazioni con il valore assoluto.

Studio dei casi dubbi

Rimangono i casi dubbi, ovvero gli estremi, x=-\sqrt[3]{2} e x=\sqrt[3]{2}.

Se x=-\sqrt[3]{2} la serie

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n^2+1)2^n} x^{3n}

diventa:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n^2+1)2^n} (-\sqrt[3]{2})^{3n}=

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n^2+1)2^n} (-1)^{3n}2^n

Semplificando 2^n otterremo:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1} (-1)^{3n}

è una serie a segni alterni che possiamo studiare con il criterio di Leibniz. Nel nostro caso il termine n-esimo della successione b_n, con la quale innescheremo Leibniz è:

b_n= \frac{n}{n^2+1}

Tale successione è:

- positiva perché per n intero positivo b_n è un rapporto di quantità positive.

- infinitesima perché

\lim_{n\to \infty}\frac{n}{n^2+1}= 0

Se riusciamo a dimostrare che è anche decrescente allora Leibniz ci assicura che la serie converge.

La verifica può essere fatta in numerosi modi, io per questo caso particolare procederei così:

Pongo f(s)= \frac{s}{s^2+1}\mbox{ con }s\ge 1

essa è una funzione reale a valori reali che interpola i termini della successione, nota infatti che f(n)= b_n\quad\forall n\in\mathbb{N}_{n\ge 1}

Se la funzione f è decrescente allora lo sarà anche la nostra successione. Per verificarlo, calcoliamo la derivata prima della funzione:

f'(s)=\frac{s^2+1- s(2s)}{(s^2+1)^2}=\frac{1-s^2}{(1+s^2)^2}

La derivata prima è certamente negativa per s>1 di conseguenza la funzione f è monotona strettamente decrescente per s>1. Questo ci assicura che anche i termini della successione b_{n} decrescono.

Per il teorema di Leibniz possiamo asserire che la serie data converge anche per x=-\sqrt[3]{2}

Vediamo cosa succede per x=\sqrt[3]{2}. Procedendo come prima, arriveremo a scrivere la serie come:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}

Questa serie è a termini positivi, possiamo utilizzare il criterio del confronto asintotico. Nota infatti che:

\frac{n}{n^2+1}\sim_{n\to \infty}\frac{1}{n}

La serie

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}

ha lo stesso comportamento della serie

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}

che diverge positivamente. Quest'ultima è infatti la serie armonica, notoriamente divergente.


Tiriamo le somme.

La serie di partenza converge puntualmente nell'insieme

\bullet\,\, C=\left[-\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\right)

Poiché la serie converge in tale insieme ed abbiamo a che fare con una serie di potenze allora possiamo asserire che essa converge uniformemente in ogni chiuso e limitato contenuto nell'insieme di convergenza semplice, ovvero converge in

[a,b]\mbox{ con }-\sqrt[3]{2}\le a<b<\sqrt[3]{2}.
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby

Re: Convergenza puntuale e uniforme serie di potenze con termine fratto #77732

avt
Gisella55
Punto
Grazie mille per la spiegazione, chiarissima. Tuttavia mi rimane difficile comprendere questa affermazione:

"Poiché la serie converge in tale insieme ed abbiamo a che fare con una serie di potenze allora possiamo asserire che essa converge uniformemente.."

Sto cercando delle risorse sul sito per "giustificare" questo nesso di causalità. Potreste essermi d'aiuto in qualche modo?

Saluti, Gisella

Re: Convergenza puntuale e uniforme serie di potenze con termine fratto #77735

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Gisella55 emt

Quanto affermato da Ifrit non è una casualità ma bensì un risultato dovuto ad un teorema conosciuto con il nome di Teorema (o Lemma) di Abel per le serie di potenze.

Puoi trovarne l'enunciato nella nostra lezione sulle serie di potenze (il primo link nella risposta di Ifrit).

emt
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby

Re: Convergenza puntuale e uniforme serie di potenze con termine fratto #77757

avt
Gisella55
Punto
Ora è tutto chiaro. Grazie!
Ringraziano: Galois
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Os