Studio di un endomorfismo parametrico
Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)
Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".
Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.
Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".
Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.
Studio di un endomorfismo parametrico #77661
![]() Euridice Punto | Vorrei sottoporre alla vostra attenzione un esercizio sullo studio di un endomorfismo parametrico che mi ha fatto penare non poco. Ve lo illustro. Sia ![]() Individuare l'affermazione falsa: 1. non esiste alcun valore di k per cui f sia diagonalizzabile 2. f è invertibile se e solo se k è diverso da zero 3. non esiste alcun valore di k per cui il nucleo di f abbia dimensione 2 4. una delle precedenti affermazioni è falsa Mi sono perduta con i calcoli del determinante finalizzato a trovare il polinomio caratteristico. Ammetto di essere arrugginita sui prodotti notevoli... Vi sarei grata infatti se poteste anche darmi qualche suggerimento per risolvere questa tipologia di esercizio nel modo più agevole possibile (dato il tempo ridotto durante l'esame) Grazie per la disponibilità! |
Studio di un endomorfismo parametrico #77662
![]() Omega Amministratore | Ciao Euridice ![]() Il tempo di pensarci su, formulare una risposta e trascriverla... ![]() |
Ringraziano: Ifrit, Euridice |
Studio di un endomorfismo parametrico #77666
![]() Omega Amministratore | Dato che il tempo all'esame è limitato, vediamo come minimizzare i tempi di risoluzione e quale ordine seguire nella verifica delle varie affermazioni. Inoltre non si sa mai, potremmo avere un colpo di fortuna...ma non nel caso dell'esercizio proposto. ![]() Premetto anche che non si può sfuggire ai prodotti notevoli, quindi è inevitabile ch'io ti suggerisca un ripasso rapido. ![]() L'ordine che seguiremo nel controllo delle affermazioni è Scriviamo innanzitutto l'endomorfismo parametrico ![]() e la relativa matrice associata rispetto alla base canonica di ![]() 2) F è invertibile se e solo se k è diverso da zero Dalla teoria sappiamo che per studiare l'invertibilità dell'applicazione lineare possiamo equivalentemente ragionare sull'invertibilità della matrice associata. D'altra parte, tra le varie condizioni necessarie e sufficienti per le quali una matrice è invertibile, sappiamo che una matrice è invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. Calcoliamo quindi il determinante della matrice. Dato che la matrice è 3x3 ci conviene procedere con la regola di Sarrus ![]() ![]() Ora fai i conti con calma e concentrazione, pezzo per pezzo ![]() ![]() da cui ![]() e concludiamo che ![]() Di conseguenza il determinante è nullo se e solo se 3) Non esiste alcun valore di k per cui il nucleo di f abbia dimensione 2 Qui facciamo un massiccio uso del teorema della nullità più rango: ![]() dove al primo membro si intende la dimensione del dominio. Invertiamo la formula in favore della dimensione del nucleo ![]() Morale della favola: per valutare la dimensione nucleo possiamo fare riferimento alla dimensione dell'immagine. Come sappiamo, l'immagine di un'applicazione lineare è il sottospazio generato dalle colonne di una qualsiasi matrice rappresentativa. Di conseguenza studiando opportunamente l'indipendenza lineare delle colonne di Nel punto precedente abbiamo visto che la matrice Ne deduciamo che per ![]() ![]() Se ![]() è immediato vedere che essa ha rango 2, infatti la seconda e la terza colonna sono uguali mentre la prima e la seconda sono linearmente indipendenti. In sintesi, se ![]() ![]() L'affermazione 3) è vera! 1) Non esiste alcun valore di k per cui f sia diagonalizzabile Per studiare la diagonalizzabilità della matrice dobbiamo appoggiarci ad una condizione necessaria e sufficiente. Devono valere entrambe le seguenti condizioni: - la somma degli autovalori, ciascuno contato con la relativa molteplicità, deve coincidere con l'ordine della matrice (3); - per ogni autovalore la molteplicità algebrica deve coincidere con la molteplicità geometrica. Il primo passo consiste nel calcolo degli autovalori della matrice. A tal proposito dobbiamo calcolare le radici del polinomio caratteristico di ossia ![]() Ora devi armarti di tanta, santa pazienza e procedere con il calcolo del determinante. Anche in questo caso devi ricorrere alla regola di Sarrus: sono conti puramente meccanici, semplici di per sé, ma il rischio di steccare anche un solo segno è molto alto. Facendo i calcoli ottieni ![]() per cui abbiamo due autovalori: Alla luce del legame che lega la molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica degli autovalori, sappiamo che nel caso di un autovalore: - la molteplicità geometrica è positiva; - la molteplicità geometrica è minore o uguale della molteplicità algebrica. Da ciò deduciamo che la molteplicità geometrica dell'autovalore Ci resta solamente da studiare la molteplicità geometrica dell'autovalore con ![]() in una forma più compatta ![]() Scriviamo il sistema in forma scalare ![]() Ci siamo ridotti in ultima istanza alla studio di un sistema lineare omogeneo parametrico. Come hai potuto notare, l'esercizio si è rivelato parecchio lungo fin qui (come previsto). Ti chiedo: sai come affrontare lo studio di un sistema del genere? Fammi sapere. ![]() |
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby |
Studio di un endomorfismo parametrico #77674
![]() Euridice Punto | Ciao Omega, innanzitutto grazie per la risposta esaustiva in ogni suo aspetto! Ho svolto l'esercizio e sono arrivata al calcolo relativo al sistema dell'ultimo passaggio. Ho calcolato il determinante della matrice, ottenendo 0 come risultato. Da ciò ne ho dedotto che il rango può essere al più 2. Calcolo dunque il determinante degli orlati di ordine 2x2 (ovviamente di tutti quelli che compongono la matrice). Il mio dubbio è: ottenendo dagli orlati determinati valori di k, li sostituisco poi nella matrice per ricalcolare la dimensione del sottospazio? |
Ringraziano: Omega |
Studio di un endomorfismo parametrico #77678
![]() Galois Amministratore | Ciao Euricide ![]() Intervengo io perché il caro Omega è momentaneamente molto occupato ![]() Dobbiamo calcolare la dimensione del sottospazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo ![]() Tale dimensione è data da: dove ![]() ed Non ci rimane quindi altro da fare se non calcolare il rango della matrice Come hai ben osservato il suo determinante è zero; di conseguenza il suo rango sarà al massimo 2. A questo punto, essendo di fronte ad una matrice parametrica, per vedere se il rango è 2 dobbiamo andare a calcolare il determinante di tutti i minori di ordine 2 e vedere se c'è un valore di k che li annulla tutti. Se riusciamo a trovare tale valore di k (che annulla tutti i determinanti dei minori di ordine 2) allora per tale valore di k il rango è 1, altrimenti è due. Ora, se consideriamo il minore che si ottiene eliminando la seconda riga e la seconda colonna ![]() il suo determinante è uguale a ![]() ![]() che è diverso da zero per ogni valore di k. Possiamo allora concludere che il rango della matrice ![]() Tale numero coincide con la molteplicità geometrica dell'autovalore Possiamo allora concludere che l'endomorfismo non è diagonalizzabile per nessun valore di 1. non esiste alcun valore di k per cui f sia diagonalizzabile è vera. Morale della favola, visto che le prime 3 affermazioni sono tutte vere, l'affermazione falsa è la numero 4. ![]() |
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby |
Studio di un endomorfismo parametrico #77697
![]() Euridice Punto | EDIT: ritiro la domanda - Grazie! ![]() ![]() |
Studio di un endomorfismo parametrico #77699
![]() Galois Amministratore | Non mi è chiara la domanda. Cosa intendi con campo di esistenza? Ad ogni modo, ricorda che il rango di una matrice è dato dal massimo numero di vettori riga (o vettori colonna) linearmente indipendenti tra loro. Ragion per cui, nel caso di una matrice quadrata di ordine 3 (qual è il nostro caso), se il suo determinante è diverso da zero il rango è 3. Se il determinante è zero il suo rango sarà al più 2. Per vedere se è 2 possiamo procedere in due modi: con il metodo di eliminazione gaussiana (inutile in questo caso) oppure andando a trovare il determinante di tutti i minori di ordine 2. Se ne troviamo uno non nullo possiamo fermarci ed asserire che il rango è 2. Avendo a che fare con una matrice parametrica ed avendo constatato che il rango è al massimo due, volendo procedere con il metodo dei minori, dobbiamo andare a trovare il determinante di tutti i minori di ordine 2 della matrice. Se troviamo un valore di k che annulla tutti i determinanti trovati possiamo asserire che, per tale valore di k, il rango sarà strettamente minore di 2. Se invece, com'è successo a noi, troviamo che un minore di ordine 2 ha determinante non nullo per ogni valore di k, possiamo concludere immediatamente che il rango è 2, senza fare null'altro (e questo per la definizione di rango prima ricordata). Tutto qui ![]() |
Ringraziano: Omega, CarFaby, Euridice |
Studio di un endomorfismo parametrico #77703
![]() Euridice Punto | Tutto chiaro!!! ![]() |
Ringraziano: Galois |
|