Continuità di una funzione con parametro in x=0

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Continuità di una funzione con parametro in x=0 #77473

avt
giacomo.giacomo
Punto
Ciao, mi potreste dare una mano con un esercizio sulla continuità di una funzione parametrica?

f(x)=\begin{cases}\frac{\sin(x^{2})}{1-\cos(x)}&\mbox{se} \ \ x\neq 0\\ a&\mbox{se} \ x=0\end{cases}

Studiare la continuità della funzione e trovare il valore della costante a che la rende continua.

Grazie.
 
 

Continuità di una funzione con parametro in x=0 #77478

avt
Omega
Amministratore
Abbiamo a che fare con una funzione estesa, definita cioè mediante un'espressione analitica ed estesa puntualmente in un punto che non appartiene al suo dominio.

Consideriamo la funzione

f(x)=\begin{cases}\frac{\sin(x^{2})}{1-\cos(x)}&\mbox{se} \ \ x\neq 0\\ a&\mbox{se} \ x=0\end{cases}

il cui dominio si determina richiedendo che il denominatore non si annulli

1-\cos(x)\neq0

il che conduce ad una semplice equazione goniometrica

\cos(x)\neq1

che ammette come soluzioni

x\neq2k\pi\ \mbox{ al variare di }\ k\in\mathbb{Z}

Per k=0 otteniamo proprio x=0, ascissa in cui la funzione viene estesa ponendo f(0)=a.

Vogliamo capire per quale/i valore/i del parametro a la funzione è continua in x=0. Stando alla definizione di funzione continua in un punto, pretendiamo che i due limiti sinistro e destro di f(x) per x\to 0 esistano finiti ed uguali e che il loro comune valore coincida con il valore assunto dalla funzione nel punto. In simboli

\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)

Nella pratica dobbiamo calcolare i due limiti da sinistra e da destra, sperare* che abbiano lo stesso valore ed imporre** che tale valore coincida con f(0)=a.

*Se i due limiti assumono valori distinti, non c'è nulla che possiamo fare (vale a dire non esiste alcun valore del parametro che rende la funzione continua nel punto).

**L'imposizione si tradurrà in un'equazione avente a come incognita.

Procediamo. Calcoliamo il limite da sinistra

\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin(x^2)}{1-\cos(x)}

e per farlo possiamo applicare i limiti notevoli del seno e del coseno. Per il primo, dovremo ricorrere alla forma generale

\lim_{h(x)\to0}\frac{\sin(h(x))}{h(x)}=1

Per il secondo, alla forma particolare

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}

In riferimento al primo caso, osserviamo che

h(x)=x^2

e che al tendere di x\to0 risulta che x^2\to 0. Tutto ok.

Mettiamoci nella condizione di poter applicare i due limiti notevoli: moltiplichiamo e dividiamo, sia a numeratore che a denominatore, per x^2. Il trucco del moltiplica e dividi è del tutto lecito perché equivale a moltiplicare per 1, dunque in linea teorica non cambia nulla; nella pratica ci mettiamo nella condizione di ricorrere ai suddetti limiti notevoli

\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sin(x^2)}{1-\cos(x)}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\frac{\sin(x^2)}{x^2}\cdot x^2}{\frac{1-\cos(x)}{x^2}\cdot x^2}=

quindi otteniamo

=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1\cdot x^2}{\frac{1}{2}\cdot x^2}=\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{\frac{1}{2}}=2

L'ultimissimo passaggio è puramente algebrico e si basa sulla regoletta delle frazioni di frazioni.

Calcoliamo il limite destro: già fatto! Il procedimento è identico a quello appena visto, perché i limiti notevoli menzionati poco sopra valgono sia da destra che da sinistra.

Concludiamo così che

\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=2

per cui non ci resta che imporre

f(0)=2

vale a dire a=2, che è l'unico valore del parametro a tale da rendere continua la funzione nel punto x=0. In tutti gli altri punti del dominio, la funzione è continua perché composizione di funzioni continue.
Ringraziano: CarFaby, giacomo.giacomo
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