Continuità di una funzione con parametro in x=0

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Continuità di una funzione con parametro in x=0 #77473

avt
giacomo.giacomo
Punto
Ciao, mi potreste dare una mano con un esercizio sulla continuità di una funzione parametrica?

f(x) = (sin(x^(2)))/(1-cos(x)) se x ≠ 0 ; a se x = 0

Studiare la continuità della funzione e trovare il valore della costante a che la rende continua.

Grazie.
 
 

Continuità di una funzione con parametro in x=0 #77478

avt
Omega
Amministratore
Abbiamo a che fare con una funzione estesa, definita cioè mediante un'espressione analitica ed estesa puntualmente in un punto che non appartiene al suo dominio.

Consideriamo la funzione

f(x) = (sin(x^(2)))/(1-cos(x)) se x ≠ 0 ; a se x = 0

il cui dominio si determina richiedendo che il denominatore non si annulli

1-cos(x) ≠ 0

il che conduce ad una semplice equazione goniometrica

cos(x) ≠ 1

che ammette come soluzioni

x ≠ 2kπ al variare di k∈Z

Per k = 0 otteniamo proprio x = 0, ascissa in cui la funzione viene estesa ponendo f(0) = a.

Vogliamo capire per quale/i valore/i del parametro a la funzione è continua in x = 0. Stando alla definizione di funzione continua in un punto, pretendiamo che i due limiti sinistro e destro di f(x) per x → 0 esistano finiti ed uguali e che il loro comune valore coincida con il valore assunto dalla funzione nel punto. In simboli

lim_(x → 0^-)f(x) = lim_(x → 0^+)f(x) = f(0)

Nella pratica dobbiamo calcolare i due limiti da sinistra e da destra, sperare* che abbiano lo stesso valore ed imporre** che tale valore coincida con f(0) = a.

*Se i due limiti assumono valori distinti, non c'è nulla che possiamo fare (vale a dire non esiste alcun valore del parametro che rende la funzione continua nel punto).

**L'imposizione si tradurrà in un'equazione avente a come incognita.

Procediamo. Calcoliamo il limite da sinistra

lim_(x → 0^-)f(x) = lim_(x → 0^-)(sin(x^2))/(1-cos(x))

e per farlo possiamo applicare i limiti notevoli del seno e del coseno. Per il primo, dovremo ricorrere alla forma generale

lim_(h(x) → 0)(sin(h(x)))/(h(x)) = 1

Per il secondo, alla forma particolare

lim_(x → 0)(1-cos(x))/(x^2) = (1)/(2)

In riferimento al primo caso, osserviamo che

h(x) = x^2

e che al tendere di x → 0 risulta che x^2 → 0. Tutto ok.

Mettiamoci nella condizione di poter applicare i due limiti notevoli: moltiplichiamo e dividiamo, sia a numeratore che a denominatore, per x^2. Il trucco del moltiplica e dividi è del tutto lecito perché equivale a moltiplicare per 1, dunque in linea teorica non cambia nulla; nella pratica ci mettiamo nella condizione di ricorrere ai suddetti limiti notevoli

lim_(x → 0^(-))(sin(x^2))/(1-cos(x)) = lim_(x → 0^(-))((sin(x^2))/(x^2)·x^2)/((1-cos(x))/(x^2)·x^2) =

quindi otteniamo

= lim_(x → 0^(-))(1·x^2)/((1)/(2)·x^2) = lim_(x → 0^-)(1)/((1)/(2)) = 2

L'ultimissimo passaggio è puramente algebrico e si basa sulla regoletta delle frazioni di frazioni.

Calcoliamo il limite destro: già fatto! Il procedimento è identico a quello appena visto, perché i limiti notevoli menzionati poco sopra valgono sia da destra che da sinistra.

Concludiamo così che

lim_(x → 0^(-))f(x) = lim_(x → 0^(+))f(x) = 2

per cui non ci resta che imporre

f(0) = 2

vale a dire a = 2, che è l'unico valore del parametro a tale da rendere continua la funzione nel punto x = 0. In tutti gli altri punti del dominio, la funzione è continua perché composizione di funzioni continue.
Ringraziano: CarFaby, giacomo.giacomo
  • Pagina:
  • 1
Os