Serie parametrica con differenza di potenze

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Serie parametrica con differenza di potenze #77389

avt
lawrence10
Punto
Sono bloccato nel risolvere una serie con parametro e con una differenza di potenze, soprattutto non riesco a riconoscere il criterio da usare.

\sum_{n=1}^{+\infty}\left[n^{y+\frac{1}{n}}-n^y\right]
 
 

Serie parametrica con differenza di potenze #77401

avt
Omega
Amministratore
Eccoci!

\sum_{n=1}^{+\infty}\left[n^{y+\frac{1}{n}}-n^y\right]

Studiamo la convergenza della serie al variare del parametro reale y, e per farlo cominciamo riscrivendone il termine generale in una forma più gestibile.

Come? Raccogliamo un termine n^y

\sum_{n=1}^{+\infty}n^y\left[\frac{n^{y+\frac{1}{n}}}{n^y}-1\right]

e usiamo una nota proprietà delle potenze

\sum_{n=1}^{+\infty}n^y\left[n^{y+\frac{1}{n}-y}-1\right]

Il passaggio successivo non richiede particolari commenti...

\sum_{n=1}^{+\infty}n^y\left[n^{\frac{1}{n}}-1\right]

Facciamo un passo in avanti e applichiamo una nota identità logaritmo-esponenziale: c=e^{\log(c)}, valida a patto che c>0 (ed è il nostro caso)

\sum_{n=1}^{+\infty}n^y\left[e^{\log\left(n^{\frac{1}{n}}\right)}-1\right]

Dunque ricorriamo ad una delle proprietà dei logaritmi

\sum_{n=1}^{+\infty}n^y\left[e^{\frac{1}{n}\log\left(n\right)}-1\right]

Qui tra l'altro ci rendiamo conto che la serie considerata è a termini positivi, perché l'esponente dell'esponenziale è sicuramente maggiore di 0 e dunque l'esponenziale stessa è maggiore di 1.

Ora ci serve una piccola, semplice osservazione a parte:

\lim_{n\to +\infty}\frac{\log(n)}{n}=0

e ho scritto semplice perché non richiede alcun passaggio, dato che discende direttamente dalle regole del confronto tra infiniti di successioni.

Il fatto è che tale osservazione ci permette di applicare il limite notevole per le successioni esponenziali e dunque di applicare la stima asintotica

e^{\frac{1}{n}\log\left(n\right)}-1\sim_{n\to+\infty}\frac{\log(n)}{n}

per cui, grazie al criterio del confronto asintotico per le serie, possiamo passare a studiare il carattere della serie

\sum_{n=1}^{+\infty}n^y\left[\frac{\log(n)}{n}\right]

ossia

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\log(n)}{n^{1-y}}

Ottimo! Ci troviamo di fronte ad una serie armonica modificata: riscriviamola a nostro puro uso e consumo nella forma

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{1-y}[\log(n)]^{-1}}

per cui sappiamo che:

- se 1-y>1, ossia y<0, la serie converge;

- se 1-y=1, ossia y=0, la serie diverge perché l'esponente del logaritmo è -1<1

- se 1-y<1, ossia y>0, la serie diverge positivamente.

È tutto. emt
Ringraziano: CarFaby

Serie parametrica con differenza di potenze #77407

avt
lawrence10
Punto
Grazie davvero, una risposto del tutto esaustiva!! emt
Ringraziano: Omega
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Os