Studiare la convergenza di un integrale improprio con parametro

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Studiare la convergenza di un integrale improprio con parametro #77333

avt
lawrence10
Punto
Devo calcolare per quali valori di beta il mio integrale converge l'unica cosa per cui sono venuto a capo è quella di portare il numeratore a denominatore cambiando il segno dell'esponente e credo si debba ricondursi a una funzione del tipo 1/x^a ma non so bene come procedere con i calcoli, ho bisogno del vostro aiuto!!

Integrale:

\int_{1}^{+\infty}\frac{e^{-2\log^b(x)}}{\sqrt[3]{x-1}}dx
 
 

Studiare la convergenza di un integrale improprio con parametro #77378

avt
Omega
Amministratore
Eccoci emt

\int_{1}^{+\infty}\frac{e^{-2\log^b(x)}}{\sqrt[3]{x-1}}dx

Per studiare la convergenza dell'integrale improprio parametrico dobbiamo studiare il comportamento dell'integranda nell'intorno destro di x=1 e nell'intorno di +\infty. Nient'altro: infatti è facile vedere che l'integranda non presenta alcun altro punto problematico nell'intervallo (1,+\infty).

Per effettuare uno studio separato, riscriviamo l'integrale nella seguente forma

\int_{1}^{+\infty}\frac{e^{-2\log^b(x)}}{\sqrt[3]{x-1}}dx=\int_{1}^{K}\frac{e^{-2\log^b(x)}}{\sqrt[3]{x-1}}dx+\int_{K}^{+\infty}\frac{e^{-2\log^b(x)}}{\sqrt[3]{x-1}}dx

dove K è un numero arbitrario in (1,+\infty). In questo modo possiamo concentrarci da un lato sul primo addendo, che è un integrale improprio di seconda specie, e sul secondo, che è un integrale improprio di prima specie.


Studiamo la convergenza dell'integrale improprio parametrico

\int_{1}^{K}\frac{e^{-2\log^b(x)}}{\sqrt[3]{x-1}}dx

e ragioniamo sui possibili valori del parametro b.

Se b>0, per x\to 1^{+} il termine [\log(x)]^b dà luogo ad un infinitesimo, quindi per equivalenza asintotica

\frac{e^{-2\log^b(x)}}{\sqrt[3]{x-1}}\sim_{x\to 1^+}\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}=

e grazie alla definizione di radicale, possiamo riscrivere

\frac{1}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}

Il criterio del confronto asintotico per integrali impropri di seconda specie ci permette di concludere che il primo addendo converge se b>0, ed in particolare per confronto asintotico con gli integrali impropri notevoli.

Nel caso b=0 non ci sono particolari problemi perché l'integranda si riscrive direttamente nella forma

\frac{e^{-2\cdot 1}}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}

e dunque abbiamo convergenza (il coefficiente non influisce in alcun modo).

Nel caso b<0 il termine [\log^b(x)] dà luogo ad un infinito per x\to 1^{+}, infatti grazie ad una nota proprietà delle potenze

[\log^b(x)]=\frac{1}{[\log(x)]^{-b}}

dove -b>0, quindi [\log(x)]^{-b}\to_{x\to 1^{+}}0^{+} e dunque

[\log^b(x)]=\frac{1}{[\log(x)]^{-b}}\to_{x\to 1^{+}}+\infty.

In particolare, il numeratore genera un infinitesimo. Per vederlo è sufficiente appellarsi all'algebra di infiniti e infinitesimi

e^{-2\cdot +\infty}\ ''=''\ e^{-\infty}\ ''=''\ 0^{+}

dove ''='' denota una pseudo-uguaglianza (che ha senso solamente nel contesto degli infiniti e degli infinitesimi), e in particolare e^{-\infty}\ ''=''\ 0^+ per il comportamento dell'esponenziale a meno infinito.

In definitiva, se b<0, in un intorno destro di x=1 possiamo tranquillamente maggiorare l'integranda come segue

\frac{e^{-2\log^b(x)}}{\sqrt[3]{x-1}}\leq \frac{1}{(x-1)^{\frac{1}{3}}}

e per confronto con un integrale improprio convergente ne deduciamo che abbiamo convergenza.


Il primo addendo converge per ogni valore del parametro b.


Passiamo al secondo addendo:

\int_{K}^{+\infty}\frac{e^{-2\log^b(x)}}{\sqrt[3]{x-1}}dx

ci interessa il comportamento dell'integranda nell'intorno di +\infty.

Qui è richiesto un piccolo sforzo algebrico prima di distinguere i diversi casi sul valore di b. In primo luogo, osserviamo che a prescindere dal valore del parametro vale la seguente stima asintotica

\frac{e^{-2\log^b(x)}}{\sqrt[3]{x-1}}\sim_{x\to +\infty}\frac{e^{-2\log^b(x)}}{x^{\frac{1}{3}}}

perché ovviamente le costanti additive non influiscono sull'ordine di infinito.

Con tale premessa, riscriviamo

\frac{e^{-2\log^b(x)}}{x^{\frac{1}{3}}}=\frac{e^{-2\log(x)\cdot \log^{b-1}(x)}}{x^{\frac{1}{3}}}=

e grazie alla proprietà delle potenze relativa al prodotto tra gli esponenti

=\frac{[e^{\log(x)}]^{-2\log^{b-1}(x)}}{x^{\frac{1}{3}}}=

Ora applichiamo una nota identità: e^{\log(x)}=x, per cui

=\frac{x^{-2\log^{b-1}(x)}}{x^{\frac{1}{3}}}=

e portiamo tutto al denominatore

=\frac{1}{x^{\frac{1}{3}+2\log^{b-1}(x)}}=

Benone! emt Siamo pronti per distinguere tra tre possibili range di valori del parametro b, ricordando che stiamo ragionando nell'intorno di +\infty e tenendo a mente i risultati di convergenza degli integrali impropri notevoli.

Se b\geq 1, vale la maggiorazione

\frac{1}{3}+2\log^{b-1}(x)>1

quindi abbiamo convergenza.

Se b<1, il termine 2\log^{b-1}(x) dà luogo ad un infinitesimo per x\to +\infty, quindi possiamo maggiorare

\frac{1}{3}+2\log^{b-1}(x)<1

e di conseguenza abbiamo divergenza (sempre per confronto con gli integrali impropri notevoli).
Ringraziano: CarFaby

Studiare la convergenza di un integrale improprio con parametro #77387

avt
lawrence10
Punto
Perfetto, grazie mille davvero!
Ringraziano: Omega
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Os