Come studiare una funzione integrale

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Come studiare una funzione integrale #77229

avt
Liucbomix
Punto
Buon pomeriggio, vorrei fugare tutti i miei dubbi sullo studio di una funzione integrale.

Lunedì ho l'esame di Analisi 1 non nascondo che sto cercando di dare il massimo per ottenere un'ottima valutazione e mi sento fortemente vulnerabile in questo tipo di esercizi, in particolare oltre a delle indicazioni per lo studio delle funzioni integrali, ho i seguenti dubbi:

- Il dominio della funzione integrale va tirato fuori da quello della funzione o meglio dall'insieme di definizione di quest'ultima?

- I passi che devo eseguire in linee generali quando devo fare uno studio della funzione integrale quali sono?

- Sono un paio di giorni che, sarà forse la stanchezza per lo studio più che prolungato, che ho uno spillo in testa riguardo la definizione e la continuità di una funzione. Mi sembravano concetti assodati ma arrivato alla funzione integrale leggo che se la funzione è definita in un intervallo la funzione integrale è continua in esso (avendo un grado di regolarità sempre superiore alla funzione integrando) e se la funzione integranda è continua allora è derivabile, ma una funzione definita su un intervallo non è continua?

Grazie in anticipo
 
 

Come studiare una funzione integrale #77246

avt
Omega
Amministratore
Eccoci!

Premetto che qui su YM c'è una lunga guida, estremamente completa, riguardante lo studio della funzione integrale.


Divido la risposta in due blocchi:

Liucbomix ha scritto:
- Il dominio della funzione integrale va "tirato fuori" da quello della funzione o meglio dall'insieme di definizione di quest'ultima;

- I passi che che devo eseguire in linee generali quando devo fare uno studio della funzione integrale

Supponiamo di avere una funzione continua:

f:\mbox{dom}(f)\to \mathbb{R}

Il nostro obiettivo è studiare la funzione:

F(x)=\int_{x_0}^{x}f(t)dt

detta funzione integrale.

Lo studio di tale funzione consiste di diversi punti, gli stessi dello studio di funzione canonico:

1- dominio;
2- parità e disparità;
3- segno e intersezioni con gli assi;
4- limiti agli estremi del dominio;
5- derivata prima e monotonia;
6- derivata seconda e convessità.

Gli unici punti cui prestare particolare attenzione sono 1, 3, 4. Perché?

Perché nel calcolo della derivata prima si applica il teorema fondamentale del calcolo integrale ed in particolare si ha che

F'(x)=f(x)

Quindi, dalla derivata prima in poi, lo studio rientra a pieno titolo nel classico studio di funzioni e la presenza dell'integrale non influisce sul modus operandi.

Nello studio della parità e della disparità, invece, si applica niente più e niente meno che la definizione di funzione pari e si considera

F(-x)=\int_{x_0}^{-x}f(t)dt

Non ci sono particolari indicazioni generali: tutto dipende da caso a caso ed in particolare dal valore di x_0 e dal particolare tipo di funzione integranda f(t).


Ora vediamo le indicazioni generali per il dominio.

Stando alla definizione, il dominio di una funzione integrale è il più grande insieme a cui appartiene x_0 per cui esiste finito l'integrale:

\int_{x_0}^{x}f(t)dt

In soldoni:

\mbox{dom}(F)=\left\{x: \int_{x_0}^{x}f(t)dt\ \mbox{ e' finito}\right\}

Attenzione: se il domino della funzione f è del tipo (a,b)\mbox{ con }x_0\in (a,b) allora dobbiamo controllare se la funzione integrale è definita anche in a o in b, e per farlo dobbiamo studiare gli integrali impropri di seconda specie:

\bullet\,\,\int_{x_0}^{a}f(t)dt

\bullet\,\, \int_{x_0}^{b}f(t)dt

Se esiste finito il primo, ma non il secondo allora il dominio della funzione integrale sarà

\mbox{dom}(F)=[a, b)

] Se esiste finito il secondo ma non il primo allora il dominio della funzione integrale sarà

\mbox{dom}(F)=(a,b]

Se entrambi esistono finiti allora il dominio della funzione integrale sarà ovviamente:

[a,b].

quindi come puoi vedere il dominio della funzione integrale può tranquillamente estendere il dominio della funzione integranda.

Se entrambi non esistono o non sono finiti allora il dominio della funzione integrale è:

(a,b)

Supponiamo ora che il dominio della funzione integranda sia del seguente tipo

\mbox{dom}(f)=(-\infty, a)\cup (a, +\infty)

e supponiamo senza perdita di generalità che x_0\in (-\infty, a).

In tal caso la funzione integrale sarà sicuramente definita per ogni x\in (a, +\infty), mentre dovremo controllare cosa succede in a considerando l'integrale:

\int_{x_0}^{a}f(t)dt

Dal punto di vista matematico quello che abbiamo di fronte è un integrale improprio di seconda specie. Se esso converge allora la funzione integrale è definita anche in x=a e per incollamento anche in tutto l'intervallo:

(-\infty, \infty)

se invece l'integrale improprio non esiste finito, allora ne consegue che il dominio della funzione integrale è dato da (-\infty,a).


Una volta individuato il dominio, si può procedere con lo studio del segno e con i limiti agli estremi.

Nel caso del segno dobbiamo considerare la disequazione

F(x)\geq 0

vale a dire

\int_{x_0}^{x}f(t)dt\geq 0

A tal proposito, esprimersi in termini generali è pressoché impossibile, tranne che per due aspetti ricorrenti:

- il segno della funzione integrale è strettamente correlato al significato geometrico dell'integrale di Riemann (area sottesa dal grafico della funzione con segno). In buona sostanza

\int_{x_0}^{x}f(t)dt

ha un segno regolato dal valore dell'area sottesa dal grafico di f(t) sull'intervallo (x_0,x). Va da sé che per determinare il segno di F(x) è necessario avere un'idea sul segno della funzione integranda, e nondimeno un'idea anche rozza del comportamento dell'integranda.

- Quando si considerano ascisse x<x_0, viene in nostro soccorso un'importante proprietà degli integrali

\int_{x_0}^{x}f(t)dt=-\int_{x}^{x_0}f(t)dx

Grazie a tale osservazione, puoi continuare a ragionare sulla funzione integranda e sull'area che essa sottende nell'intervallo (x,x_0).


Per ultimo, in merito ai limiti agli estremi, non ci sono particolari considerazioni da fare. Ovviamente non dovrai preoccuparti degli eventuali estremi finiti inclusi nel dominio della funzione integrale, ma solo degli estremi finiti esclusi e di quelli illimitati.
In entrambi i casi il calcolo del limite ad un estremo si tradurrà in un integrale improprio di prima o di seconda specie:

Per fare un esempio, supponendo che il dominio di F(x) sia (a,+\infty), dovrai considerare

\lim_{x\to a^+}F(x)=\int_{x_0}^{a}f(t)dt=-\int_{a}^{x_0}f(t)dt

e

\lim_{x\to +\infty}F(x)=\int_{x_0}^{+\infty}f(t)dt

Come puoi vedere i limiti agli estremi finiti ed esclusi si traducono in integrali impropri di seconda specie; i limiti agli estremi infiniti si traducono in integrali impropri di prima specie.


In ogni caso (com'è facilmente deducibile) lo studio delle funzioni integrali è prepotentemente vincolato allo studio della convergenza degli integrali impropri. emt


Come consiglio finale per la preparazione del tuo esame, ti suggerisco di dare un'occhiata ai nostri esercizi svolti sulle funzioni integrali e agli esercizi risolti sullo studio della funzione integrale.


- Sono un paio di giorni che, sarà forse la stanchezza per lo studio più che prolungato, che ho uno spillo in testa riguardo la definizione e la continuità di una funzione. Mi sembravano concetti assodati ma arrivato alla funzione integrale leggo che se la funzione è definita in un intervallo la funzione integrale è continua in esso (avendo un grado di regolarità sempre superiore alla funzione integranda) e se la funzione integranda è continua allora è derivabile, ma una funzione definita su un intervallo non è continua?

Le tue considerazioni sono quasi corrette e a questo proposito ti rimando ad una lettura attenta dei teoremi presenti nella lezione sul teorema fondamentale del calcolo integrale (occhio in particolare alle ipotesi: dire definita non basta!).

Oltre a questo, in termini generali:

una funzione definita su un intervallo non è continua

Assolutamente no: in generale una funzione è continua su un intervallo, per definizione, se essa è continua in ogni punto dell'intervallo.

Un ovvio controesempio di funzione definita su un intervallo ma non ivi continua: la funzione segno, che è definita su tutto \mathbb{R} ma che non è continua in x=0.

Di controesempi comunque ne puoi inventare a miliardi. emt
Ringraziano: CarFaby, Liucbomix, Paperin

Come studiare una funzione integrale #77248

avt
Liucbomix
Punto
Grazie mille!

Allora in linea generale ci sono, ora faccio gli esercizi e scrivo anche una sorta di promemoria.

Innanzitutto quando determiniamo se la funzione integrale è definita nei punti esclusi dal dominio della funzione integranda, non è già come fare il limite agli estremi dell'intervallo?

A questo punto mi sovviene una domanda, il dominio della funzione integrale è mai più piccolo di quello della funzione integranda?

Come studiare una funzione integrale #77250

avt
Omega
Amministratore
Nell'ordine:

- in linea di massima sì, ma solo per gli estremi limitati ed esclusi dal dominio della funzione integrale;

- può capitare, come evidenziato dall'esempio proposto con \mbox{dom}(f)=(-\infty, a)\cup (a, +\infty) e \int_{x_0}^{a}f(t)dt divergente. In questo caso avremmo Dom(F)=(-\infty,a)).
Ringraziano: CarFaby

Come studiare una funzione integrale #77251

avt
Liucbomix
Punto
Per quanto riguarda invece la positività o comunque il segno posso affermare che se l'intervallo di definizione dell'integrale è un intorno destro e sinistro di x_0 per le x<x_0 l'integrale sarà negativo e per le x>x_0 l'integrale sarà positivo? (rifacendosi alle proprietà dell'integrale che lei stesso ha esposto)

Come studiare una funzione integrale #77252

avt
Omega
Amministratore
In generale, no: considera ad esempio

F(x)=\int_0^x(-t)dt

Però ti prego di darmi del tu. emt
Ringraziano: CarFaby

Come studiare una funzione integrale #77255

avt
Liucbomix
Punto
Posso farti una domanda trasversale?

Quando studio la convergenza dell'integrale e ho una funzione esponenziale con esponente minore di 0, supponendo che stia studiando la convergenza per un intervallo illimitato (x_0,+\infty) facendo un confronto con l'infinitesimo campione, è corretto supporre che l'esponenziale sia un infinitesimo di ordine sicuramente superiore al primo (o al secondo, etc) e quindi convergente?

Ultima questione: per l'asintoto obliquo c'è qualche cosa da considerare in più?

Come studiare una funzione integrale #77258

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao emt

Purtroppo questa domanda è mal posta, o meglio non è perfettamente chiaro cosa intendi.

Se intendessi che dato un integrale improprio di prima specie:

\int_{a}^{\infty}f(t)dt

dove f è una funzione continua in tutto il semiasse [a, +\infty)

Se f(t) è asintoticamente equivalente a e^{-t} per t che tende a infinito allora:

\int_{a}^{\infty}f(t)dt converge.

In realtà quello che affermi è corretto la funzione h(t)=e^{-t} è un infinitesimo ordine superiore a qualsiasi potenza dell'infinitesimo campione \frac{1}{t}, infatti si ha che:

\lim_{t\to+\infty}\frac{e^{-t}}{\frac{1}{t^{\alpha}}}=0\quad\forall\alpha


In particolare vale per tutti gli \alpha>1, e dunque

\int_{a}^{\infty}e^{-t}dt è integrabile.

Questa proprietà segue dal criterio del confronto asintotico.


___________________________

]Per quanto riguarda l'asintoto obliquo di una funzione integrale, Procederai in modo classico, impostando il limite:

m=\lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}{x}= \lim_{x\to +\infty}\frac{\int_{x_0}^{x}f(t)dt}{x}

(purché +\infty sia un punto di accumulazione per il dominio della funzione integrale.)

Se almeno uno dei limiti esiste finito e diverso da zero allora con molta probabilità la funzione ammette asintoto obliquo e tale limite fornisce il coefficiente angolare dell'asintoto di equazione:

y=m x + q

Per risolvere il limite

\lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}{x}= \lim_{x\to +\infty}\frac{\int_{x_0}^{x}f(t)dt}{x}

Solitamente si fa uso del teorema di De l'Hopital, in tal modo ti ricondurrai al limite:

\lim_{x\to+\infty}f(x).

Per determinare q, dovrai impostare il limite:

\lim_{x\to +\infty}F(x)-mx

Se tale limite esiste finito allora è certo che la funzione integrale ammette asintoto obliquo.

Per questo limite purtroppo non esiste una vera e propria strada maestra, bisognerà ingegnarsi un bel po'.

Puoi ovviamente ripetere il ragionamento per - infinito.
Ringraziano: CarFaby

Come studiare una funzione integrale #77259

avt
Liucbomix
Punto
Buonasera,
si in realtà mi viene proprio difficile esprimere i miei dubbi in un topic, essendo anche la prima volta, comunque si quello che intendevo è proprio quello che hai scritto tu.

Quindi per l'asintoto obliquo procedo in quel modo, però ciò che non comprendo: se so che l'integrale converge ma non so trovare il valore di tale integrale, come faccio a fare quella divisione per x. Quello che riesco ad immaginare è il caso in cui l'integrale diverga a più infinito e quindi mi permetta di usa de l'Hopital e così anche il teorema fondamentale del calcolo integrale ecc.

Come studiare una funzione integrale #77260

avt
Ifrit
Ambasciatore
Attenzione:

Condizione necessaria ma non sufficiente per avere un asintoto obliquo (destro) è che il limite:

\lim_{x\to +\infty}F(x)=\infty

e questo si traduce in

\int_{x_0}^{+\infty}f(t)dt

deve divergere. Se ciò avviene allora devi studiare il limite:

m=\lim_{x\to +\infty}\frac{\int_{x_0}^{x}f(t)dt}{x}

Per risolverlo puoi utilizzare De l'Hopital, così da ricondurti al limite più facile:

\lim_{x\to +\infty}f(x)

(Osserva che qui l'integrale è sparito!)

Se tale limite esiste finito e diverso da zero allora puoi impostare il secondo limite, ovvero:


q=\lim_{x\to+\infty}\int_{x_0}^{x}f(t)dt- m x


dove m è il valore del limite trovato in precedenza. Come ti avevo annunciato, determinare q è più complicato e non esiste un metodo generale che valga per tutti i casi.
Ringraziano: CarFaby, PhysicScenze
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