Ok, iniziamo
Abbiamo la funzione di due variabili
definita sul
triangolo di vertici

:
Il nostro obiettivo è determinare il massimo che la funzione assume nell'insieme dato, dopodiché calcoleremo l'integrale doppio:

.
Risoluzione:
Partiamo dall'analisi preliminare. Abbiamo una funzione continua di due variabili
perché composizione di funzioni continue. Inoltre il dominio T è chiuso e limitato e il teorema di Weierstrass ci assicura l'esistenza del massimo assoluto.
Analisi del dominio:
Hai determinato correttamente il dominio T, in effetti è la parte di piano limitata dalle
rette di equazione:
In particolare la prima retta si determina utilizzando la formula per l'equazione della retta passante per i punti

.
Il dominio, espresso come insieme per caratteristica è:
Ricerca dei punti stazionari interni al triangolo Andremo alla ricerca dei
punti stazionari interni al triangolo, ovvero di quei punti che annullano il gradiente della funzione data. A tal proposito
calcoliamo le derivate parziali:
Derivata parziale rispetto ad x.
Attenzione al segno, purtroppo hai riportato la funzione sbagliata nel calcolo della derivata parziale rispetto ad x.
Derivata parziale rispetto ad y
Anche qui, hai modificato il segno della funzione di partenza, quindi hai sbagliato un segno.
Affinché ci siano punti stazionari interni al triangolo dobbiamo richiedere che il gradiente sia nullo, e questo ci permette di impostare il sistema di equazioni:
Ovvero:
dove la coppia (x,y) è obbligata a vivere in
Il sistema si riscrive come:
Naturalmente possiamo procedere come hai fatto tu, ovvero per confronto:
Consideriamo ora la prima equazione e portiamo tutto al primo membro:
Per la formula della
sottrazione del seno potremo scrivere:
Da cui otteniamo che
In sostanza ho risolto l'
equazione goniometrica elementare
Dobbiamo controllare se esiste qualche punto trovato che soddisfa la seconda disequazione:
Attenzione:
Se k è pari allora:

, dunque l'equazione:

diventa:
L'equazione non ammette soluzioni perché la funzione coseno è limitata tra -1 e 1 e non può assumere il valore -2.
Se k è dispari allora:
dunque l'equazione:

diventa:
Come prima l'equazione non ammette soluzioni. Questo ci assicura che non ci sono punti stazionari interni al triangolo. Ce lo dice il teorema di Fermat sui punti stazionari.
Il massimo della funzione deve essere necessariamente sul bordo del triangolo che può essere decomposto in tre parti. Mi adeguo alle tue notazioni:

dal punto

a

dal punto

al punto

dal punto

al punto
Parametrizziamo i lati del triangolo:
è il segmento che congiunge i punti

e

, con A e B inclusi. Tu invece li hai esclusi.
Studiamo la funzione ristretta a tale lato:
Fortunatamente

è una funzione mansueta, è crescente nell'intervallo
![[0,π]](data:image/gif;base64,R0lGODlhJAASAOMAAP///wAAACIiIjAwMIqKimJiYnR0dJ6enhYWFra2tgQEBMzMzObm5lBQUEBAQAwMDCH5BAEAAAAALAAAAAAkABIAAASeEAAxiLw46w3MGBJ4EYVRHFyqiSJwCBeSqDTAXoIlebV6S4GZ5KDopX6LwOKSCDBSC0RgSi2GroDmUqJNOZYFAGF7+XW5So5wYWmssEmhy0lrPB1v2yWAkhCsKjATeS0CBhcFLRwEbgABhBcvMVsLA08ZCH1BGT9+BYx9WQGHGAwPOKFYiio6RnqvNa1GnSoHl660KbKzEhS7rhweAxEAOw==)
quindi avrà massimo assoluto nel secondo estremo, e minimo assoluto nel primo estremo:
Teniamo a mente questi valori.
Consideriamo il secondo lato:
è il segmento che congiunge i punti

e
La funzione ristretta a questo punto è:
Ancora una volta abbiamo una funzione mansueta. Il minimo assoluto per la funzione

si ha quando

, mentre il massimo assoluto si ha per
Consideriamo ora l'ultimo lato:
è il segmento che congiunge

con

.
La funzione f ristretta a questo lato è:
Ricorda ora la relazione:
otteniamo:
Prima di tutto calcoliamo la funzione

agli estremi dell'intervallo
![[0, π]](data:image/gif;base64,R0lGODlhJAASAOMAAP///wAAACIiIjAwMIqKimJiYnR0dJ6enhYWFra2tgQEBMzMzObm5lBQUEBAQAwMDCH5BAEAAAAALAAAAAAkABIAAASeEAAxiLw46w3MGBJ4EYVRHFyqiSJwCBeSqDTAXoIlebV6S4GZ5KDopX6LwOKSCDBSC0RgSi2GroDmUqJNOZYFAGF7+XW5So5wYWmssEmhy0lrPB1v2yWAkhCsKjATeS0CBhcFLRwEbgABhBcvMVsLA08ZCH1BGT9+BYx9WQGHGAwPOKFYiio6RnqvNa1GnSoHl660KbKzEhS7rhweAxEAOw==)
.
Studiamo la funzione nell'insieme

. Calcoliamo la derivata prima della funzione rispetto a t:
Determiniamo i punti stazionari:
Per la legge di annullamento del prodotto si ha che:
risolvendo l'equazione si ha che:

, ricordati che le altre soluzioni devono essere escludere.
Risolvendo l'equazione scopri che non ha soluzione in
L'unico punto stazionario è

.
Studiando il segno della derivata prima si ha che
Possiamo asserire che la derivata prima della funzione è:
- positiva se
- negativa se
dunque la funzione

è
- crescente se
- decrescente se
Il punto

è punto di massimo assoluto della funzione

nell'intervallo
![t∈ [0, π]](data:image/gif;base64,R0lGODlhQQASAOMAAP///wAAANzc3MzMzERERJiYmBAQELq6unZ2djIyMiIiIlRUVO7u7oiIiKqqqmZmZiH5BAEAAAAALAAAAABBABIAAATyEMhJq72TLIe7B8WyTMLwndM4OU3RHKinAkQRn/NBTIl5W7OA4CNAEI6EBmZG4EhCP6BkYPgUCL5PMHuoRimLAyKhQNguh8dNJRBOBgFGR5AI2O9egKrmSfxUcENTbhgPQ0oOgikShBdFf4OKgRg+AhwIUl0eBwpInkoXbAFccR8IcmoVIwgzjqkxQTASDnkdOzRSfAyyFn5rGWcADa0XDpgAAVIKJqAXA8QyEzo8ggILchUJsqOqAMYFisVN4UsULMa8cMESDAoZvBLQHgwFD0jN3ShOv184Mfuw+vk7cQAbP4Ed5FkAGBChrQ0OLYRYEAEAOw==)
. Il massimo vale:

.
Confrontando i massimi, e prendendo quello maggiore è:

.
Ecco il grafico della funzione sul triangolo
A conferma del fatto che il massimo assoluto si trova sul lato del triangolo (ipotenusa). E per completare l'analisi ecco le curve di livello:
.