Ricerca del massimo e integrale doppio di una funzione a due variabili

Ciao a tutti, devo svolgere questo esercizio e ammetto di avere delle grosse lacune...
Premetto che è il tipico esercizio d'esame ma pur sapendo come deve essere svolto ho delle grosse mancanze in teoria oppure mi capita di sapere una cosa ma quando è ora di applicarla, elettroencefalogramma piatto!!!!
Testo:
Si determini il valore massimo e l'integrale doppio della funzione:
sul triangolo T di vertici (0,0),(π,0),(0,π)
Svolgimento:
-A questo punto procedo col disegnare il banalissimo triangolo
Dominio:
Calcolo la retta passante tra i punti (π,0),(0,π) mettendo a sistema i valori di x e y e sostituendoli nell'equazione y=mx+q.
Così trovo il valore della retta obliqua che è y=π−x
Quindi il dominio di T è
Ricerca dei punti stazionari nei tratti lisci:
Considero i lati del triangolo e li chiamo:
α dal punto (0,0) a (π,0)
β dal punto (0,0) a (0,π)
γ dal punto (0,π) a (π,0)
Il valore di x varia lungo l'asse, quindi
Il valore di y varia lungo l'asse, quindi
Il valore di x varia, ma allo stesso tempo varia anche y secondo l'equazione della retta trovata prima, quindi
Ricerca dei punti stazionari interni a T
Calcolo le derivate parziali della funzione:
(Ho portato fuori sen(y) perchè in questo caso viene considerata come costante, giusto?)
Ora calcolo per y:
I risultati che ho ottenuto li metto a sistema e son sincera, per me era un sistema indeterminato, mentre un mio amico mi ha fatto notare che non era cosi... ma sinceramente non ho capito, me lo potete spiegare?
Danno entrambi come risultato 1, quindi li posso eguagliare
cos(x)sen(y)=cos(y)sen(x)
cos(x)sen(y)−cos(y)sen(x)=0
e in teoria dovrei vedere (non l'avevo proprio visto!) che è la formula di sottrazione del sen!!
Quindi ottengo sen(x−y)=0
Solo che ora non riesco a capire qual'è il mio punto stazionario................. e qui mi blocco
Passiamo oltre......
Studio della funzione sui tratti lisci
Studio il lato
F(t,0)=t+0−sen(t)sen(0)
Il sen di 0 è 0, quindi F(t,0)=t
che è una retta, ed essendo continua esce dal dominio
(è corretto?)
quindi nessun punto stazionario.
Studio il lato
F(0,t)=0+t−sen(t)sen(0)
Il sen di 0 è 0, quindi F(t,0)=t
Stessa pappardella scritta sopra... nessun punto stazionario.
Studio il lato
Non so proprio andare avanti in questo calcolo...
Quindi non riesco a trovare qual'è il mio punto di massimo perché ho delle lacune in trigonometria... Abbandono tristemente questa parte dell'esercizio e passo all'integrale doppio!
Integrale doppio
Calcolo prima in dy e porto già fuori le costanti (come sen(x) in questo caso... o sbaglio?)
e ottengo
Panico e mi blocco... Mi potreste aiutare a completare l'esercizio? Vi ringrazio immensamente!!

Caspiterina... non mi ha preso i sistemi per la ricerca dei punti stazionari nei tratti lisci...

Ciao Monimela
Tranquilla, aggiusto il latex, appena ho fatto, ti chiedo di dare un'occhiata per dirmi se è tutto ok

Ok, fatto! Dimmi se è tutto ok, dopodiché partirò con la risoluzione.

Tutto ok, grazie!

Ok, il tempo di scrivere tutto per bene e arrivo!

Ok, iniziamo
Abbiamo la funzione di due variabili
definita sul triangolo di vertici :
Il nostro obiettivo è determinare il massimo che la funzione assume nell'insieme dato, dopodiché calcoleremo l'integrale doppio:
.
Risoluzione:
Partiamo dall'analisi preliminare. Abbiamo una funzione continua di due variabili
perché composizione di funzioni continue. Inoltre il dominio T è chiuso e limitato e il teorema di Weierstrass ci assicura l'esistenza del massimo assoluto.
Analisi del dominio:
Hai determinato correttamente il dominio T, in effetti è la parte di piano limitata dalle rette di equazione:
In particolare la prima retta si determina utilizzando la formula per l'equazione della retta passante per i punti .

Il dominio, espresso come insieme per caratteristica è:
Ricerca dei punti stazionari interni al triangolo
Andremo alla ricerca dei punti stazionari interni al triangolo, ovvero di quei punti che annullano il gradiente della funzione data. A tal proposito calcoliamo le derivate parziali:
Derivata parziale rispetto ad x.
Attenzione al segno, purtroppo hai riportato la funzione sbagliata nel calcolo della derivata parziale rispetto ad x.
Derivata parziale rispetto ad y
Anche qui, hai modificato il segno della funzione di partenza, quindi hai sbagliato un segno.
Affinché ci siano punti stazionari interni al triangolo dobbiamo richiedere che il gradiente sia nullo, e questo ci permette di impostare il sistema di equazioni:
Ovvero:
dove la coppia (x,y) è obbligata a vivere in
Il sistema si riscrive come:
Naturalmente possiamo procedere come hai fatto tu, ovvero per confronto:
Consideriamo ora la prima equazione e portiamo tutto al primo membro:
Per la formula della sottrazione del seno potremo scrivere:
Da cui otteniamo che
In sostanza ho risolto l'equazione goniometrica elementare
Dobbiamo controllare se esiste qualche punto trovato che soddisfa la seconda disequazione:
Attenzione:
Se k è pari allora:
, dunque l'equazione:
diventa:
L'equazione non ammette soluzioni perché la funzione coseno è limitata tra -1 e 1 e non può assumere il valore -2.
Se k è dispari allora:
dunque l'equazione:
diventa:
Come prima l'equazione non ammette soluzioni. Questo ci assicura che non ci sono punti stazionari interni al triangolo. Ce lo dice il teorema di Fermat sui punti stazionari.
Il massimo della funzione deve essere necessariamente sul bordo del triangolo che può essere decomposto in tre parti. Mi adeguo alle tue notazioni:
dal punto
a
dal punto
al punto
dal punto
al punto
Parametrizziamo i lati del triangolo:
è il segmento che congiunge i punti e
, con A e B inclusi. Tu invece li hai esclusi.
Studiamo la funzione ristretta a tale lato:
Fortunatamente è una funzione mansueta, è crescente nell'intervallo
quindi avrà massimo assoluto nel secondo estremo, e minimo assoluto nel primo estremo:
Teniamo a mente questi valori.
Consideriamo il secondo lato:
è il segmento che congiunge i punti e
La funzione ristretta a questo punto è:
Ancora una volta abbiamo una funzione mansueta. Il minimo assoluto per la funzione si ha quando
, mentre il massimo assoluto si ha per
Consideriamo ora l'ultimo lato:
è il segmento che congiunge con
.
La funzione f ristretta a questo lato è:
Ricorda ora la relazione:
otteniamo:
Prima di tutto calcoliamo la funzione agli estremi dell'intervallo
.
Studiamo la funzione nell'insieme . Calcoliamo la derivata prima della funzione rispetto a t:
Determiniamo i punti stazionari:
Per la legge di annullamento del prodotto si ha che:
risolvendo l'equazione si ha che: , ricordati che le altre soluzioni devono essere escludere.
Risolvendo l'equazione scopri che non ha soluzione in
L'unico punto stazionario è .
Studiando il segno della derivata prima si ha che
Possiamo asserire che la derivata prima della funzione è:
- positiva se
- negativa se
dunque la funzione è
- crescente se
- decrescente se
Il punto è punto di massimo assoluto della funzione
nell'intervallo
. Il massimo vale:
.
Confrontando i massimi, e prendendo quello maggiore è:
.
Ecco il grafico della funzione sul triangolo

A conferma del fatto che il massimo assoluto si trova sul lato del triangolo (ipotenusa). E per completare l'analisi ecco le curve di livello:


Calcoliamo ora l'integrale doppio della funzione:
sull'insieme:
Il dominio di integrazione è normale sia rispetto ad x che rispetto ad y, in particolare lo abbiamo espresso in modo che sia normale rispetto ad x.
Per risolvere l'integrale doppio possiamo utilizzare quindi le relative formule di riduzione:
Risolviamo quindi l'integrale più interno ovvero quello rispetto ad y:
Ora ricorda che
Si ha che:
Dunque l'integrale diventerà:
Per la linearità dell'integrale diventa:
Mi auguro che non ci siano dubbi

Sei stato precisissimo!!! Grazie mille!!!!
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