Integrale definito fratto con radici

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Integrale definito fratto con radici #77024

edo906 Punto	Vi chiedo gentilmente se potreste spiegarmi come risolvere questo integrale definito fratto con radici! $\int_{4}^{16}\frac{1-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-1}dx$ Grazie mille

Integrale definito fratto con radici #77029

Ifrit

Amministratore

Allora abbiamo l'integrale definito:

$\int_{4}^{16}\frac{1-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-1}dx=(\bullet)$

Il primo passo consiste nel procedere integrando per sostituzione, ponendo:

$\sqrt{x}=t$

Eleviamo al quadrato membro a membro così da esprimere la variabile

in funzione di t:

deriviamo membro a membro rispetto alle proprie variabili così da ottenere il nuovo differenziale:

Come si trasformano gli estremi? Semplicissimo, basta sostituire ad x in $\sqrt{x}$ sia il primo che il secondo estremo, in modo ordinato:

$\bullet\,\, \mbox{Se }x_1=4\implies t_1=\sqrt{4}=\color{red}2$

$\bullet\,\, \mbox{Se }x_2= 16\implies t_2=\sqrt{16}=\color{blue}4$

L'integrale di partenza si riscrive come:

$(\bullet)=\int_{{\color{red}2}}^{{\color{blue}4}}\frac{1-t}{2t-1}\cdot 2t dt=$

Eseguiamo la moltiplicazione polinomiale al numeratore:

$=\int_{2}^{4}\frac{2t-2t^2}{2t-1} dt=$

Ci troviamo di fronte un integrale di funzioni razionali in cui il grado del polinomio al numeratore è maggiore del grado del polinomio al denominatore. Eseguiamo quindi la divisione polinomiale tra numeratore e denominatore

$\begin{array}{c|c}-2t^2+2t&2t-1\\ \cline{2-2}+2t^2-t&-t+\frac{1}{2}\\ \cline{1-1}\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-t+\frac{1}{2} \\ \cline{1-1} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\frac{1}{2}\end{array}$

Ora, il polinomio dividendo è:

il polinomio divisore è:

il quoziente è:

$Q(t)=-t+\frac{1}{2}$

mentre il resto è:

$R(t)=\frac{1}{2}$

Grazie a questi possiamo scrivere il numeratore in modo diverso:

dunque:

$-2t^2+2t=\left(-t+\frac{1}{2}\right)\left(2t-1\right) +\frac{1}{2}$

Sostituiamo al numeratore dell'integrale quello che abbiamo ottenuto:

$\\ \int_{2}^{4}\frac{\left(-t+\frac{1}{2}\right)\left(2t-1\right) +\frac{1}{2}}{2t-1} dt= \\ \\ \\ =\int_{2}^{4} \frac{\left(-t+\frac{1}{2}\right)\left(2t-1\right)}{2t-1}dt+\int_{2}^{4}\frac{\frac{1}{2}}{2t-1}dt=$

Semplifichiamo

nel primo integrale:

$=\int_{2}^{4} -t+\frac{1}{2}dt+\int_{2}^{4}\frac{\frac{1}{2}}{2t-1}dt$

Risolviamo singolarmente i due integrali, infine sommeremo i due risultati:

$\bullet\,\, \int_{2}^{4}-t+\frac{1}{2}dt=$

Scriviamo l'integrale della somma come somma di integrali:

$\\ = \int_{2}^{4}-tdt+\frac{1}{2}\int_{2}^{4}dt= \\ \\ \\ =-\int_{2}^{4}tdt+ \frac{1}{2}[t]_{2}^{4}= \\ \\ \\ = -\left[\frac{t^2}{2}\right]_{2}^{4}+\frac{1}{2}(4-2)= \\ \\ \\ =-\left(\frac{16}{2}- \frac{4}{2}\right)+1= \\ \\ \\ =-6+1=-5$

Ora risolviamo l'integrale

$\bullet\,\,\int_{2}^{4}\frac{\frac{1}{2}}{2t-1}dt=$

Portiamo la costante moltiplicativa fuori dall'integrale:

$=\frac{1}{2}\int_{2}^{4}\frac{1}{2t-1}dt=$

Al numeratore abbiamo quasi la derivata del denominatore, ci manca solo un due, poco male possiamo moltiplicare e dividere per 2, così da ottenere:

$\\ =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int_{2}^{4}\frac{2}{2t-1}dt= \\ \\ \\ =\frac{1}{4}\int_{2}^{4}\frac{2}{2t-1}dt=(\bullet \bullet)$

Siamo riusciti a scrivere l'integrale nella forma notevole:

$\int\frac{f'(t)}{f(t)}dt= \ln |f(t)|+c$

dove

Potremo scrivere che:

$\\ (\bullet \bullet) =\frac{1}{4}\int_{2}^{4}\frac{2}{2t-1}dt= \frac{1}{4}\left[\ln|2t-1|\right]_{2}^{4}= \\ \\ \\ =\frac{1}{4}\left[\ln|2\cdot 4-1|- \ln|2\cdot 2-1|\right]= \\ \\ \\ =\frac{1}{4}\left[\ln(7)-\ln(3)\right]$

Per la proprietà dei logaritmi:

$\ln(A)-\ln(B)=\ln\left(\frac{A}{B}\right)\mbox{ per }A>0,B>0$

Possiamo scrivere:

$=\frac{1}{4}\overbrace{\left[\ln(7)-\ln(3)]}^{\ln\left(\frac{7}{3}\right)}=\frac{1}{4}\ln\left(\frac{7}{3}\right)$

Ora ricostruiamo tutto quanto

$\\ \int_{4}^{16}\frac{1-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-1}dx= \overbrace{\int_{2}^{4} -t+\frac{1}{2}dt}^{=-5}+\overbrace{\int_{2}^{4}\frac{\frac{1}{2}}{2t-1}dt}^{\frac{1}{4}\ln\left(\frac{7}{3}\right)}= \\ \\ \\ =-5+\frac{1}{4}\ln\left(\frac{7}{3}\right)$

Fine. emt

Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby, Pira

Pagina:
1