Integrale definito fratto con radici

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Integrale definito fratto con radici #77024

avt
edo906
Punto
Vi chiedo gentilmente se potreste spiegarmi come risolvere questo integrale definito fratto con radici!

\int_{4}^{16}\frac{1-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-1}dx

Grazie mille
 
 

Integrale definito fratto con radici #77029

avt
Ifrit
Amministratore
Allora abbiamo l'integrale definito:

\int_{4}^{16}\frac{1-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-1}dx=(\bullet)

Il primo passo consiste nel procedere integrando per sostituzione, ponendo:

\sqrt{x}=t

Eleviamo al quadrato membro a membro così da esprimere la variabile x in funzione di t:

x=t^2

deriviamo membro a membro rispetto alle proprie variabili così da ottenere il nuovo differenziale:

dx= 2t dt

Come si trasformano gli estremi? Semplicissimo, basta sostituire ad x in \sqrt{x} sia il primo che il secondo estremo, in modo ordinato:

\bullet\,\, \mbox{Se }x_1=4\implies t_1=\sqrt{4}=\color{red}2

\bullet\,\, \mbox{Se }x_2= 16\implies t_2=\sqrt{16}=\color{blue}4

L'integrale di partenza si riscrive come:

(\bullet)=\int_{{\color{red}2}}^{{\color{blue}4}}\frac{1-t}{2t-1}\cdot 2t dt=

Eseguiamo la moltiplicazione polinomiale al numeratore:

=\int_{2}^{4}\frac{2t-2t^2}{2t-1} dt=

Ci troviamo di fronte un integrale di funzioni razionali in cui il grado del polinomio al numeratore è maggiore del grado del polinomio al denominatore. Eseguiamo quindi la divisione polinomiale tra numeratore e denominatore

\begin{array}{c|c}-2t^2+2t&2t-1\\ \cline{2-2}+2t^2-t&-t+\frac{1}{2}\\ \cline{1-1}\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-t+\frac{1}{2} \\ \cline{1-1} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\frac{1}{2}\end{array}

Ora, il polinomio dividendo è:

N(t)=-2t^2+2t

il polinomio divisore è:

D(t)=2t-1

il quoziente è:

Q(t)=-t+\frac{1}{2}

mentre il resto è:

R(t)=\frac{1}{2}

Grazie a questi possiamo scrivere il numeratore in modo diverso:

N(t)=Q(t)D(t)+R(t)

dunque:

-2t^2+2t=\left(-t+\frac{1}{2}\right)\left(2t-1\right) +\frac{1}{2}

Sostituiamo al numeratore dell'integrale quello che abbiamo ottenuto:

\\ \int_{2}^{4}\frac{\left(-t+\frac{1}{2}\right)\left(2t-1\right) +\frac{1}{2}}{2t-1} dt= \\ \\ \\ =\int_{2}^{4} \frac{\left(-t+\frac{1}{2}\right)\left(2t-1\right)}{2t-1}dt+\int_{2}^{4}\frac{\frac{1}{2}}{2t-1}dt=

Semplifichiamo 2t-1 nel primo integrale:

=\int_{2}^{4} -t+\frac{1}{2}dt+\int_{2}^{4}\frac{\frac{1}{2}}{2t-1}dt

Risolviamo singolarmente i due integrali, infine sommeremo i due risultati:

\bullet\,\, \int_{2}^{4}-t+\frac{1}{2}dt=

Scriviamo l'integrale della somma come somma di integrali:

\\ = \int_{2}^{4}-tdt+\frac{1}{2}\int_{2}^{4}dt= \\ \\ \\ =-\int_{2}^{4}tdt+ \frac{1}{2}[t]_{2}^{4}= \\ \\ \\ = -\left[\frac{t^2}{2}\right]_{2}^{4}+\frac{1}{2}(4-2)= \\ \\ \\ =-\left(\frac{16}{2}- \frac{4}{2}\right)+1= \\ \\ \\ =-6+1=-5


Ora risolviamo l'integrale

\bullet\,\,\int_{2}^{4}\frac{\frac{1}{2}}{2t-1}dt=

Portiamo la costante moltiplicativa fuori dall'integrale:

=\frac{1}{2}\int_{2}^{4}\frac{1}{2t-1}dt=

Al numeratore abbiamo quasi la derivata del denominatore, ci manca solo un due, poco male possiamo moltiplicare e dividere per 2, così da ottenere:

\\ =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int_{2}^{4}\frac{2}{2t-1}dt= \\ \\ \\ =\frac{1}{4}\int_{2}^{4}\frac{2}{2t-1}dt=(\bullet \bullet)

Siamo riusciti a scrivere l'integrale nella forma notevole:

\int\frac{f'(t)}{f(t)}dt= \ln |f(t)|+c

dove f(t)=2t-1

Potremo scrivere che:

\\ (\bullet \bullet) =\frac{1}{4}\int_{2}^{4}\frac{2}{2t-1}dt= \frac{1}{4}\left[\ln|2t-1|\right]_{2}^{4}= \\ \\ \\ =\frac{1}{4}\left[\ln|2\cdot 4-1|- \ln|2\cdot 2-1|\right]= \\ \\ \\ =\frac{1}{4}\left[\ln(7)-\ln(3)\right]

Per la proprietà dei logaritmi:

\ln(A)-\ln(B)=\ln\left(\frac{A}{B}\right)\mbox{ per }A>0,B>0

Possiamo scrivere:

=\frac{1}{4}\overbrace{\left[\ln(7)-\ln(3)]}^{\ln\left(\frac{7}{3}\right)}=\frac{1}{4}\ln\left(\frac{7}{3}\right)

Ora ricostruiamo tutto quanto

\\ \int_{4}^{16}\frac{1-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-1}dx= \overbrace{\int_{2}^{4} -t+\frac{1}{2}dt}^{=-5}+\overbrace{\int_{2}^{4}\frac{\frac{1}{2}}{2t-1}dt}^{\frac{1}{4}\ln\left(\frac{7}{3}\right)}= \\ \\ \\ =-5+\frac{1}{4}\ln\left(\frac{7}{3}\right)

Fine. emt
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby, Pira
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Os