Tipi di convergenza di una successione di funzioni

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Tipi di convergenza di una successione di funzioni #77016

avt
FrenkyCT
Punto
Ciao! Ho un quesito teorico in cui mi si richiedono le definizioni di convergenza puntuale assoluta e uniforme di una successione di funzioni.

In più mi si chiede di enunciare e dimostrare almeno un teorema di passaggio al limite.

Grazie come sempre!
 
 

Tipi di convergenza di una successione di funzioni #77017

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Frenky emt Ecco le definizioni che ti servono!

Definizione di convergenza puntuale

Consideriamo un insieme I contenuto in \mathbb{R} e sia

s_{k}: I\to \mathbb{R} una successione di funzioni reali definite in I. Diremo che

s_{k} converge puntualmente in I verso la funzione s:I\to \mathbb{R} se risulta che:

\lim_{k\to \infty}s_{k}(x)=s(x)\quad\forall x\in I

Ciò vuol dire che

Per ogni \varepsilon>0 e per ogni x\in I esiste un indice n_{\varepsilon, x}\in \mathbb{N} tale che:

s(x)-\varepsilon<s_k(x)<s(x)+\varepsilon\quad\forall k>n_{\varepsilon, x}

o equivalentemente:

|s_{k}(x)-s(x)|<\varepsilon\quad\forall k>n_{\varepsilon, x}.


Convergenza assoluta

Sia I\subset\mathbb{R} un sottoinsieme di numeri reali, e sia

s_{k}:I\to \mathbb{R}\mbox{ con }k\in\mathbb{N}

una successione di funzioni reali. Diremo che s_k converge assolutamente ad una funzione s:I\to \mathbb{R} se e solo se:

\lim_{k\to \infty}|s_k(x)|=s(x)\quad\forall x\in I.



Esistono successioni di funzioni che sono assolutamente convergenti ma non semplicemente convergenti.

Esempio:

La successione di funzioni s_k(x)= (-1)^k x è assolutamente convergente in I=\mathbb{R} e converge a s(x)=|x|\quad\forall x\in \mathbb{R}.


\lim_{k\to \infty}|(-1)^{k}x|=\lim_{k\to \infty}|x|= |x|

ma non converge semplicemente in I, infatti per x diverso da zero:

\lim_{k\to \infty}(-1)^{k}x non esiste.

Definizione di convergenza uniforme

Una successione di funzioni s_{k}:I\to \mathbb{R} converge uniformemente in I verso la funzione s se per ogni \varepsilon>0 riesci a determinare un numero naturale n_{\varepsilon}, dipendente solo da \varepsilon, tale che:

|s_{k}(x)-s(x)|<\varepsilon\quad\forall k>n_{\varepsilon}\,\,\,\forall x\in I,

La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale, ma non vale il viceversa.

Successione di funzioni convergente puntualmente ma non uniformemente.

Un classico esempio di successione di funzioni convergente puntualmente ma non uniformemente in un I=[0,1] è:

s_{k}(x)=x^{k}

Essa converge puntualmente a:


s(x)=\begin{cases}0&\mbox{ se }x\in [0, 1)\\ 1&\mbox{ se }x=1\end{cases}

]
successione di funzioni x k


La convergenza non è uniforme. Fissiamo \varepsilon=\frac{1}{2}, se esistesse un indice n_{\varepsilon} tale che:

|s_k(x)-s(x)|<\varepsilon\quad\forall k>n_{\varepsilon}

si avrebbe in particolare per il valore x=\frac{1}{\sqrt[k]{2}}

ma:

\left|s_{k}\left(\frac{1}{\sqrt[k]{2}}\right)-s\left(\frac{1}{\sqrt[k]{2}}\right)\right|=\left|\frac{1}{2}-0\right|=\frac{1}{2}<\varepsilon

Nota infatti che abbiamo ottenuto:

\frac{1}{2}<\frac{1}{2}.


Ecco graficamente come si presenta la differenza tra convergenza puntuale e uniforme:

Convergenza puntuale
convergenza puntuale di una serie di funzioni


Convergenza uniforme

convergenza uniforme di una serie di funzioni


________________________

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale.

Ho scelto questo teorema perché è quello più facile da ricordare e la dimostrazione non è tecnica. Richiede ovviamente dei risultati precedenti, come tutti i teoremi degni di questo nome. emt


Sia s_{k}:[a,b]\to \mathbb{R} una successione di funzioni continue che converge uniformemente verso una funzione s in [a,b] allora:

\lim_{k\to \infty}\int_{a}^{b}s_k(x)dx= \int_{a}^{b}\overbrace{\lim_{k\to \infty}s_k(x)}^{=s(x)}dx=\int_{a}^{b}s(x)dx


Dimostrazione:

Poiché per ogni k\in\mathbb{N} la funzione s_k è continua e poiché la convergenza è uniforme allora la funzione limite s(x) è continua in [a,b].

s(x) è continua in un chiuso e limitato di conseguenza è certamente integrabile.

Inoltre:

\left|\int_{a}^{b}s_k(x)dx- \int_{a}^{b}s(x)dx\right|=\left|\int_{a}^{b}s_k(x)-s(x)dx\right|

Qui abbiamo utilizzato la linearità dell'operatore integrale

Inoltre per la proprietà generale degli integrali:

\left|\int_{a}^{b}h(x)dx\right|\le \int_{a}^{b}|h(x)|dx

sussiste la seguente disuguaglianza:

\left|\int_{a}^{b}s_k(x)dx- \int_{a}^{b}s(x)dx\right|=\left|\int_{a}^{b}s_k(x)-s(x)dx\right|\le

\le \int_{a}^{b}|s_{k}(x)-s(x)|dx\le \int_{a}^{b}\max_{a\le x\le b}|s_k(x)-s(x)|dx=

Osserva che \max_{a\le x\le b}|s_k(x)-s(x)|dx è un numero e rappresenta il massimo della differenza tra il k-esimo termine della successione di funzioni e s(x). Essendo una costante possiamo tirarla fuori dal simbolo di integrale.

=\max_{a\le x \le b}|s_k(x)-s(x)|\int_{a}^{b}dx= (b-a)\max_{a\le x \le b}|s_{k}(x)-s(x)|

Poiché per ipotesi la successione s_{k}(x) converge uniformemente a s(x) si ha che passando al limite k, otteniamo che:

\lim_{k\to \infty}(b-a)\max_{a\le x \le b}|s_{k}(x)-s(x)|=0

e questo prova la tesi.
Ringraziano: Galois, CarFaby
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