Calcolo del flusso di un campo vettoriale

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Calcolo del flusso di un campo vettoriale #77001

avt
FrenkyCT
Punto
Ecco un altro esercizio, questa volta devo calcolare il flusso di un campo vettoriale. Ringrazio in anticipo per il vostro aiuto.

Sia D il sottoinsieme di \mathbb{R}^3 definito da

D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+ y^2-4 x \le 0, 0\le z\le 1\}

Dopo aver disegnato D, calcolare il flusso del campo vettoriale:

F(x,y,z)=(y^2, x^2, z^3\sqrt{x^2+y^2})
 
 

Re: Calcolo del flusso di un campo vettoriale #77002

avt
Omega
Amministratore
Ciao FrenkCT! emt

Cominciamo con il rappresentare l'insieme D. Esso è sostanzialmente un cilindro con cerchio di base limitato da una circonferenza di equazione:

x^2+y^2-4x=0

Completiamo il quadrato rispetto alla variabile x così da determinare il centro della circonferenza e raggio. Per completare il quadrato sommiamo membro a membro per 4

x^2-4x+4+y^2=4

Ovviamente x^2-4x+4 è un quadrato di binomio e si può riscrivere come:

x^2-4x+4= (x-2)^2

di conseguenza l'equazione

x^2-4x+4+y^2=4

diventerà

(x-2)^2+y^2=4

Possiamo asserire che il centro della circonferenza è C(2,0) mentre il raggio è R=\sqrt{4}=2.

Il cilindro ha asse di simmetria \begin{cases}x=2\\ y=0\end{cases}, e la sua altezza è 1.

cilindro retto flusso di un campo vettoriale


Il teorema della divergenza ci assicura che il flusso del campo vettoriale

F(x,y,z)=(y^2, x^2, z^3\sqrt{x^2+y^2})

attraverso il cilindro coincide con l'integrale triplo su D della divergenza del campo vettoriale:

\iint_{\partial D}F(x,y,z)\cdot n dS=\iiint_{D}\mbox{div}(F)dx dy dz

dove

\mbox{div}(F)={f_{1}}_{x}(x,y,z)+{f_{2}}_{y}(x,y,z)+ {f_{3}}_{z}(x,y,z)

è la somma delle derivate parziali delle componenti del campo lungo le direzioni degli assi.

Calcoliamo le derivate parziali delle componenti, in particolare.

La derivata parziale della prima componente rispetto ad x è:

{f_{1}}_{x}(x,y,z)=0

La derivata parziale della seconda componente rispetto ad y è:

{f_{2}}_{y}(x,y,z)=0

La derivata parziale della terza componente rispetto a z è:

{f_{3}}_{z}(x,y,z)=3z^2\sqrt{x^2+y^2}

La divergenza è:

\mbox{div}(F)= 0+0+3z^2\sqrt{x^2+y^2}= 3 z^2\sqrt{x^2+y^2}

L'integrale triplo da risolvere è:

\iiint_{D}3z^2\sqrt{x^2+y^2}dxdydz

La presenza del termine x^2+y^2 ci suggerisce un cambiamento di coordinate e a passare alle coordinate cilindriche. Porremo:

x=\rho\cos(\theta)

y=\rho\sin(\theta)

z=h

dove \rho\ge 0\quad \theta\in [-\pi, \pi) e infine h\in (-\infty, \infty).

]Ora sostituiamo le coordinate cilindriche nelle condizioni che definiscono l'insieme D:

x^2+y^2-4x\le 0\implies \rho^2\cos^2(\theta)+\rho^2\sin^2(\theta)-4\rho\cos(\theta)\le 0

Utilizzando la relazione fondamentale della goniometria:

\rho^2\cos^2(\theta)+ \rho^2\sin^2(\theta)=\rho^2

 \rho^2\cos^2(\theta)+\rho^2\sin^2(\theta)-4\rho\cos(\theta)\le 0\iff \rho^2-4\rho\cos(\theta)\le 0

Raccogliamo \rho:

\rho (\rho-4\cos(\theta))\le 0

Poiché il fattore \rho\ge 0 allora il prodotto al primo membro è non positivo se e solo se:

\rho-4\cos(\theta)\le 0\implies 0\le \rho\le 4\cos(\theta)

Per la transitività della relazione d'ordine si ha che:

4\cos(\theta)\ge 0\implies \cos(\theta)\ge 0\implies \theta\in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

Abbiamo quindi un vincolo su \theta così come abbiamo un vincolo sulla variabile h:\quad 0\le h\le 1

Il dominio di integrazione, espresso in coordinate cilindriche, è:

D'=\left\{(\rho, \theta, h): 0\le \rho\le 4\cos(\theta), \theta\in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], h\in [0,1]\right\}


Lo Jacobiano associato alla trasformazione è:

|J|=\rho

Inoltre la funzione integranda si scriverà:

f(\rho, \theta, h)=3h^2\sqrt{\rho^2\cos^2(\theta)+\rho^2\sin^2(\theta)}=3h^2\rho

dunque l'integrale triplo diventerà:

\int_{0}^{1}\int_{-\frac{pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{4\cos(\theta)}3h^2\rho\cdot \rho d\rho d\theta dh=

\int_{0}^{1}3h^2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{\rho^3}{3}\right]_{0}^{4\cos(\theta)}d\theta dh=

=\int_{0}^{1}3h^2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(4\cos(\theta))^3}{3}d\theta dh=

=\int_{0}^{1}3h^2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(4\cos(\theta))^3}{3}d\theta dh

=\int_{0}^{1}3h^2\cdot\frac{256}{9}dh=\frac{256}{9}

_________________________________________________

Risolvo a parte l'integrale

\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(4\cos(\theta))^3}{3}d\theta=

Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere:

(4\cos(\theta))^3= 4^3\cos^3(\theta)=64\cos^3(\theta)

Inoltre possiamo esprimere il cubo del coseno come:

\cos^3(\theta)=\cos(\theta)\cos^2(\theta)

E per la relazione fondamentale della goniometria:

\cos^2(\theta)=1-\sin^2(\theta)

di conseguenza:

\cos^3(\theta)=\cos(\theta)(1-\sin^2(\theta))=\cos(\theta)-\cos(\theta)\sin^2(\theta)

L'integrale diventerà:

\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{64}{3}(\cos(\theta)-\cos(\theta)\sin^2(\theta))d\theta=

=\frac{64}{3}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(\theta)-\cos(\theta)\sin^2(\theta)d\theta=

=\frac{64}{3}\left(\left[\sin(\theta)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(\theta)\sin^2(\theta)d\theta\right)=

=\frac{64}{3}\left(2-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(\theta)\sin^2(\theta)d\theta\right)

L'integrale rimasto è nella forma:

\int f'(\theta)[f(\theta)]^{\alpha}d\theta= \frac{[f(\theta)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}\mbox{ con }\alpha\ne -1

Pertanto:

\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(\theta)\sin^2(\theta)d\theta=\left[\frac{\sin^{3}(\theta)}{3}\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{3}.

Perfetto! Abbiamo tutti gli ingredienti per portare a termine i conti:

\frac{64}{3}\left(2-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(\theta)\sin^2(\theta)d\theta\right)=

\frac{64}{3}\left(2-\frac{2}{3}\right)=\frac{256}{9}.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby, FrenkyCT
  • Pagina:
  • 1
Os