Calcolo del flusso di un campo vettoriale

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#77001
avt
FrenkyCT
Punto

Ecco un altro esercizio, questa volta devo calcolare il flusso di un campo vettoriale. Ringrazio in anticipo per il vostro aiuto.

Sia D il sottoinsieme di R^3 definito da

D = (x,y,z)∈R^3: x^2+y^2−4 x ≤ 0, 0 ≤ z ≤ 1

Dopo aver disegnato D, calcolare il flusso del campo vettoriale:

F(x,y,z) = (y^2, x^2, z^3√(x^2+y^2))

#77002
avt
Omega
Amministratore

Ciao FrenkCT! emt

Cominciamo con il rappresentare l'insieme D. Esso è sostanzialmente un cilindro con cerchio di base limitato da una circonferenza di equazione:

x^2+y^2−4x = 0

Completiamo il quadrato rispetto alla variabile x così da determinare il centro della circonferenza e raggio. Per completare il quadrato sommiamo membro a membro per 4

x^2−4x+4+y^2 = 4

Ovviamente x^2−4x+4 è un quadrato di binomio e si può riscrivere come:

x^2−4x+4 = (x−2)^2

di conseguenza l'equazione

x^2−4x+4+y^2 = 4

diventerà

(x−2)^2+y^2 = 4

Possiamo asserire che il centro della circonferenza è C(2,0) mentre il raggio è R = √(4) = 2.

Il cilindro ha asse di simmetria x = 2 ; y = 0, e la sua altezza è 1.

cilindro retto flusso di un campo vettoriale

Il teorema della divergenza ci assicura che il flusso del campo vettoriale

F(x,y,z) = (y^2, x^2, z^3√(x^2+y^2))

attraverso il cilindro coincide con l'integrale triplo su D della divergenza del campo vettoriale:

iint_(∂ D)F(x,y,z)·n dS = iiint_(D)div(F)dx dy dz

dove

div(F) = f_(1)_(x)(x,y,z)+f_(2)_(y)(x,y,z)+f_(3)_(z)(x,y,z)

è la somma delle derivate parziali delle componenti del campo lungo le direzioni degli assi.

Calcoliamo le derivate parziali delle componenti, in particolare.

La derivata parziale della prima componente rispetto ad x è:

f_(1)_(x)(x,y,z) = 0

La derivata parziale della seconda componente rispetto ad y è:

f_(2)_(y)(x,y,z) = 0

La derivata parziale della terza componente rispetto a z è:

f_(3)_(z)(x,y,z) = 3z^2√(x^2+y^2)

La divergenza è:

div(F) = 0+0+3z^2√(x^2+y^2) = 3 z^2√(x^2+y^2)

L'integrale triplo da risolvere è:

iiint_(D)3z^2√(x^2+y^2)dxdydz

La presenza del termine x^2+y^2 ci suggerisce un cambiamento di coordinate e a passare alle coordinate cilindriche. Porremo:

x = ρcos(θ)

y = ρsin(θ)

z = h

dove ρ ≥ 0 θ∈ [−π, π) e infine h∈ (−∞, ∞).

]Ora sostituiamo le coordinate cilindriche nelle condizioni che definiscono l'insieme D:

x^2+y^2−4x ≤ 0 ⇒ ρ^2cos^2(θ)+ρ^2sin^2(θ)−4ρcos(θ) ≤ 0

Utilizzando la relazione fondamentale della goniometria:

ρ^2cos^2(θ)+ρ^2sin^2(θ) = ρ^2

ρ^2cos^2(θ)+ρ^2sin^2(θ)−4ρcos(θ) ≤ 0 ⇔ ρ^2−4ρcos(θ) ≤ 0

Raccogliamo ρ:

ρ (ρ−4cos(θ)) ≤ 0

Poiché il fattore ρ ≥ 0 allora il prodotto al primo membro è non positivo se e solo se:

ρ−4cos(θ) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ ρ ≤ 4cos(θ)

Per la transitività della relazione d'ordine si ha che:

4cos(θ) ≥ 0 ⇒ cos(θ) ≥ 0 ⇒ θ∈ [−(π)/(2), (π)/(2)]

Abbiamo quindi un vincolo su θ così come abbiamo un vincolo sulla variabile h: 0 ≤ h ≤ 1

Il dominio di integrazione, espresso in coordinate cilindriche, è:

D'= (ρ, θ, h): 0 ≤ ρ ≤ 4cos(θ), θ∈ [−(π)/(2), (π)/(2)], h∈ [0,1]

Lo Jacobiano associato alla trasformazione è:

|J| = ρ

Inoltre la funzione integranda si scriverà:

f(ρ, θ, h) = 3h^2√(ρ^2cos^2(θ)+ρ^2sin^2(θ)) = 3h^2ρ

dunque l'integrale triplo diventerà:

∫_(0)^(1)∫_(−(pi)/(2))^((π)/(2))∫_(0)^(4cos(θ))3h^2ρ·ρ dρ dθ dh =

∫_(0)^(1)3h^2∫_(−(π)/(2))^((π)/(2))[(ρ^3)/(3)]_(0)^(4cos(θ))dθ dh =

= ∫_(0)^(1)3h^2∫_(−(π)/(2))^((π)/(2))((4cos(θ))^3)/(3)dθ dh =

= ∫_(0)^(1)3h^2∫_(−(π)/(2))^((π)/(2))((4cos(θ))^3)/(3)dθ dh

= ∫_(0)^(1)3h^2·(256)/(9)dh = (256)/(9)

_________________________________________________

Risolvo a parte l'integrale

∫_(−(π)/(2))^((π)/(2))((4cos(θ))^3)/(3)dθ =

Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere:

(4cos(θ))^3 = 4^3cos^3(θ) = 64cos^3(θ)

Inoltre possiamo esprimere il cubo del coseno come:

cos^3(θ) = cos(θ)cos^2(θ)

E per la relazione fondamentale della goniometria:

cos^2(θ) = 1−sin^2(θ)

di conseguenza:

cos^3(θ) = cos(θ)(1−sin^2(θ)) = cos(θ)−cos(θ)sin^2(θ)

L'integrale diventerà:

∫_(−(π)/(2))^((π)/(2))(64)/(3)(cos(θ)−cos(θ)sin^2(θ))dθ =

= (64)/(3)∫_(−(π)/(2))^((π)/(2))cos(θ)−cos(θ)sin^2(θ)dθ =

= (64)/(3)([sin(θ)]_(−(π)/(2))^((π)/(2))−∫_(−(π)/(2))^((π)/(2))cos(θ)sin^2(θ)dθ) =

= (64)/(3)(2−∫_(−(π)/(2))^((π)/(2))cos(θ)sin^2(θ)dθ)

L'integrale rimasto è nella forma:

∫ f'(θ)[f(θ)]^(α)dθ = ([f(θ)]^(α+1))/(α+1) con α ne−1

Pertanto:

∫_(−(π)/(2))^((π)/(2))cos(θ)sin^2(θ)dθ = [(sin^(3)(θ))/(3)]_(−(π)/(2))^((π)/(2)) = (2)/(3).

Perfetto! Abbiamo tutti gli ingredienti per portare a termine i conti:

(64)/(3)(2−∫_(−(π)/(2))^((π)/(2))cos(θ)sin^2(θ)dθ) =

(64)/(3)(2−(2)/(3)) = (256)/(9).

Ringraziano: Ifrit, CarFaby, FrenkyCT
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