Equazione differenziale del terzo ordine con cos^2(x)

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Equazione differenziale del terzo ordine con cos^2(x) #77000

avt
FrenkyCT
Punto
Ciao! Vi chiedo come vada risolta questa equazione differenziale del terzo ordine a coefficienti costanti e non omogenea, dove il termine noto è cos^2(x).

Riporto la traccia dell'esercizio:

calcolare l'integrale generale dell'equazione differenziale:

y'''+y'=\cos^2(x)

Grazie in anticipo!
 
 

Re: Equazione differenziale del terzo ordine con cos^2(x) #77003

avt
Galois
Amministratore
Ciao a te Frenky emt

Abbiamo un'equazione differenziale lineare del terzo ordine non omogenea in cui la funzione termine noto è f(x)=\cos^2(x). Utilizzare la strada standard è alquanto laborioso, un modo per abbassare l'ordine dell'equazione differenziale consiste nel porre:

z= y'\implies z'= y''\implies z''= y'''

In questo modo l'equazione differenziale diventa:

z''+z=\cos^2(x)

inoltre per le formule di bisezione si ha:

\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)

quindi l'equazione differenziale si riscrive come:

z''+z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)

Ci siamo ricondotti ad una equazione differenziale del secondo ordine, lineare, a coefficienti costanti non omogenea.

Studio dell'omogenea associata

Consideriamo l'equazione omogenea associata:

z''+z= 0

Associamo ad essa l'equazione caratteristica:

\lambda^2+1=0

che ha per soluzioni i numeri complessi:

\lambda_1= -i\quad \lambda_2=i

La famiglia di funzioni che soddisfa l'equazione omogenea associata:

z_o(x)=c_1\cos(x)+c_2\sin(x)\mbox{ con }c_1, c_2\in\mathbb{R}

Il prossimo passaggio consiste nel determinare la soluzione particolare z_p(x) che soddisfa l'equazione differenziale. C'è un piccolo problema, sembrerebbe proprio che non potremmo utilizzare il metodo di somiglianza, almeno non subito, dobbiamo dapprima usare il principio di sovrapposizione.

In soldoni andremo alla ricerca di due soluzioni particolari dell'equazione.

\bullet\,\,z_{p_{1}}(x) tale che:

\bullet\,\,z_{p_{1}}''+ z_{p_{1}}= \frac{1}{2}

e

\bullet\,\, z_{p_2}(x) tale che:

\bullet\,\, z_{p_{2}}''+z_{p_{1}}=\frac{1}{2}\cos(2x)

La funzione z_{p_1}(x)+z_{p_2}(x) sarà la soluzione particolare dell'equazione differenziale del secondo ordine di partenza. Iniziamo quindi col determinare z_{p_1}:

z_{p_1}''+z_{p_1}= \frac{1}{2}\quad (\heartsuit)

La funzione termine noto è un polinomio di grado zero, possiamo pensare di prendere come soluzione particolare

z_{p_1}=A\implies z_{p_1}'= 0\implies z_{p_1}''=0

Sostituiamo nell'equazione (\heartsuit) così da ottenere:

A= \frac{1}{2}

Be' abbiamo trovato la prima soluzione particolare:

z_{p_1}(x)=\frac{1}{2}

Andiamo alla ricerca della soluzione particolare dell'equazione differenziale:

z_{p_2}''+z_{p_2}=\frac{1}{2}\cos(2 x)

La funzione termine noto si presenta nella forma:

P_{n}(x)\cos(\beta x)

dove P_{n}(x)=\frac{1}{2} è un polinomio di grado 0 e \beta=2. Ora poiché

\beta i=2i non è soluzione dell'equazione caratteristica allora la soluzione particolare sarà della forma:

z_{p_2}(x)=Q_{n}(x)\cos(\beta x)+R_n(x)\sin(\beta x)=

dove

Q_{n}(x)\mbox{ e }R_n(x) sono due polinomi dello stesso grado di P_n(x).

La soluzione particolare sarà quindi:

z_{p_2}(x)= A\cos(2x)+ B\sin(2 x)

dove A, B sono costanti da determinare. E per farlo calcoleremo la derivata prima e la derivata seconda:

z_{p_2}'(x)=2B\cos(2x)-2A\sin(2x)

z_{p_2}''(x)=-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)

Sostituiamo nell'equazione differenziale

z_{p_2}''+z_{p_2}=\frac{1}{2}\cos(2 x)

-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)+A\cos(2x)+ B\sin(2 x)=\frac{1}{2}\cos(2x)

Sommando i termini simili:

-3A\cos(2x)-3B\sin(2x)=\frac{1}{2}\cos(2x)

Uguagliando il coefficiente del coseno al primo membro con quello del secondo, e il coefficiente del seno del primo membro con quello del secondo (che non c'è quindi il coefficiente è zero) otteniamo il sistema:

\begin{cases}-3A= \frac{1}{2}\\ -3B=0\end{cases}\iff \begin{cases}A=-\frac{1}{6}\\ B=0\end{cases}

Dunque:

z_{p_2}(x)=-\frac{1}{6}\cos(2x)

Per il principio di sovrapposizione avremo che la soluzione particolare dell'equazione differenziale di partenza è:

z_{p}(x)=z_{p_1}(x)+ z_{p_2}(x)=\frac{1}{2}- \frac{1}{6}\cos(2x)

Benissimo! L'integrale generale dell'equazione differenziale è dato dalla somma tra la soluzione particolare e la famiglia di soluzioni dell'equazione omogenea associata:

z(x)=z_o(x)+z_{p}(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\cos(2x)+c_1\cos(x)+c_2\sin(x)

Attenzione non abbiamo finito, abbiamo determinato z, ma noi siamo interessati alla funzione y che obbedisce alla relazione:

y'(x)=z(x)

Per ottenerla sarà sufficiente integrare z(x) rispetto alla variabile x:

y(x)= \int z(x)dx=

= \int \frac{1}{2}-\frac{1}{6}\cos(2x)+c_1\cos(x)+c_2\sin(x)dx=

=\int \frac{1}{2}dx- \frac{1}{6}\int\cos(2x)dx+c_1\int \cos(x)dx+c_2\int\sin(x)dx=

= \frac{1}{2}x- \frac{1}{12}\sin(2x)+c_1\sin(x)-c_2\cos(x)

Ora abbiamo finito! emt
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby, FrenkyCT
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