Studio di una forma differenziale e integrale curvilineo

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Studio di una forma differenziale e integrale curvilineo #76980

avt
FrenkyCT
Punto
Ciao ragazzi! Avrei bisogno di una mano nello studio di una forma differenziale e per il calcolo di un integrale curvilineo:

\omega(x,y)=\frac{3x^2 y + y^3}{2\sqrt{x^3 y+ x y^3}}dx+ \frac{3x y^2+ x^3}{2\sqrt{x^3 y+ x y^3}}dy

Calcolare inoltre l'integrale curvilineo \int_{\gamma}\omega dove \gamma è il segmento congiungente i punti (1,1) e (2,2) orientato nel verso delle x crescenti.

Grazie.
 
 

Studio di una forma differenziale e integrale curvilineo #76981

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao FrenkyCT emt

Il tempo di scrivere il procedimento e arrivo. emt

Studio di una forma differenziale e integrale curvilineo #76983

avt
Ifrit
Amministratore
Il primo passo, nello studio della forma differenziale, consiste nel calcolare il suo dominio. Vediamo come fare.

Dominio della forma differenziale

Chiamo

\bullet\,\,a(x,y)=\frac{3x^2 y + y^3}{2\sqrt{x^3 y+ x y^3}}

\bullet\,\,b(x,y)=\frac{3x y^2+ x^3}{2\sqrt{x^3 y+ x y^3}}

Le condizioni che definiscono il dominio della forma differenziale sono essenzialmente 2. Dobbiamo richiedere che:


a) x^3y+x y^3\ge 0 perché il radicando di una radice di indice pari deve essere maggiore o uguale a zero.

b) \sqrt{x^3 y+ x y^3}\ne 0 perché i denominatori devono essere diversi da zero.

In questo caso le due condizioni si possono riassumere nella sola condizione:

x^3 y+ x y^3>0

Raccogliamo totalmente x e y così da ottenere:

x y (x^2+y^2)>0

Il primo membro è composto da tre fattori, potremmo studiare il segno dei tre fattori dopodiché rappresentarli nel piano:

dominio di una forma differenziale 1


Il dominio della forma differenziale è dunque:

\mbox{dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x<0\mbox{ e }y<0\vee x>0\mbox{ e }y>0\}

In soldoni, il dominio della forma differenziale sono il primo e il terzo quadrante del piano a cui escludiamo le rette x=0 e y=0.



Studio della chiusura

Una forma differenziale è chiusa in un insieme A se e solo se le derivate parziali incrociate coincidono:

a_{y}(x,y)=b_{x}(x,y)\quad\forall (x,y)\in A

Nel nostro caso, la derivata parziale rispetto ad y della funzione a(x,y) è

a_{y}(x,y)=D_{y}\left[\frac{3x^2 y + y^3}{2\sqrt{x^3 y+ x y^3}}\right]=

Utilizziamo la regola di derivazione del quoziente considerando x costante.

=\frac{D_{y}[3x^2 y+ y^3]\cdot 2\sqrt{x^3 y+x y}- (3x^2 y+ y^3)D_{y}[2\sqrt{x^3 y+ x y^3}]}{(2\sqrt{x^3 y+x y^3})^2}

Ora

D_{y}[3x^2 y + y^3]= D_{y}[3x^2 y]+D_{y}[y^3]= 3x^2+ 3 y^2

Mentre:

D_{y}[2\sqrt{x^3 y+ x y^3}]= 2\cdot\frac{D_{y}[x^3 y+ x y^3]}{2\sqrt{x^3 y+ x y^3}}=

=\frac{x^3+ 3x y^2}{\sqrt{x^3 y+ x y^3}}

A parole: la derivata di una radice è uguale alla derivata del radicando fratto 2 volte la radice.


Mettendo tutto assieme:

=\frac{(3x^2+ 3 y^2)\cdot 2\sqrt{x^3 y+x y^3}- (3x^2 y+ y^3)\frac{x^3+ 3x y^2}{\sqrt{x^3 y+ x y^3}}}{(2\sqrt{x^3 y+x y^3})^2}

Minimo comune denominatore:

=\frac{\frac{3 x^5 y + 2 x^3 y^3+ 3 x y^5}{\sqrt{x^3 y+ x y^3}}}{4(x^3 y+x y^3)}=

=\frac{3 x^5 y + 2 x^3 y^3+ 3 x y^5}{4(x^3 y+ x y^3)\sqrt{x^3 y+ x y^3}}

Calcoliamo ora la derivata parziale rispetto ad x della funzione b, utilizzando lo stesso procedimento precedente, stando attenti che questa volta dobbiamo considerare y costante.

Avremo:

b_{x}(x,y)=\frac{3 x^5 y + 2 x^3 y^3+ 3 x y^5}{4(x^3 y+ x y^3)\sqrt{x^3 y+ x y^3}}

Le derivate parziali incrociate coincidono nel dominio della forma differenziale e dunque essa è chiusa. Non possiamo dire nulla sull'esattezza perché il dominio della forma non è un insieme semplicemente connesso.

Studio dell'esattezza della forma differenziale nel dominio

Proviamo a determinare una primitiva della forma differenziale, cioè una funzione

U:\mbox{dom}(\omega)\to \mathbb{R} tale che:

la sua derivata parziale rispetto ad x coincide con a(x,y) e la sua derivata parziale rispetto ad y coincide con b(x,y).

Ovvero:

U_{x}(x,y)= a(x,y)\quad\forall (x,y)\in \mbox{dom}(\omega)\quad (\heartsuit)

U_{y}(x,y)=b(x,y)\quad\forall (x,y)\in\mbox{dom}(\omega)

Determiniamo la primitiva della forma differenziale:

Integriamo membro a membro (\heartsuit) rispetto alla variabile x:

U(x,y)=\int a(x,y)dx= \int \frac{3x^2 y + y^3}{2\sqrt{x^3 y+ x y^3}}dx

Sembra un integrale difficile, ma ti assicuro che non è così. Osserva che stiamo integrando rispetto alla variabile x quindi vedremo la variabile y come se fosse una costante. emt

Procediamo per sostituzione, ponendo:

t=x^3 y+x y^3

di conseguenza:

dt= 3x^2 y + y^3 dx

L'integrale diventa:

 \int \frac{1}{2\sqrt{t}}dt

Una sua primitiva è \sqrt{t}.

Dunque tornando nelle variabili x,y:

U(x,y)=\int a(x,y)dx= \sqrt{x^3 y+x y^3}+c(y)

dove c(y) è una funzione che dipende dalla sola variabile y.

Se deriviamo rispetto ad y:

U_{y}(x,y)=\frac{x^3+3x y^2}{2\sqrt{x^3 y+ x y^3}}+c_{y}(y)

Questa funzione deve coincidere con b(x,y), per definizione di primitiva. Imponiamo quindi l'uguaglianza:

U_{y}(x,y)= b(x,y) da cui:

\frac{x^3+3x y^2}{2\sqrt{x^3 y+ x y^3}}+c_{y}(y)=\frac{x^3+3x y^2}{2\sqrt{x^3 y+ x y^3}}

Da cui segue che:

c_{y}(y)=0\implies c(y)=k

La funzione c(y) è in realtà una funzione costante. Possiamo asserire che:

U(x,y)= \sqrt{x^3 y+x y^3}+k\quad\forall (x,y)\in\mbox{dom}(\omega)

La forma differenziale ammette primitiva nel dominio di conseguenza è esatta!

Ora dobbiamo calcolare l'integrale di linea:


\int_{\gamma}\omega

dove \gamma è il segmento che congiunge (1,1) in (2,2) orientato verso le x positive.

Possiamo procedere in due modi diversi.

1. Utilizzando la definizione di integrale di linea di seconda specie

2. Utilizzando una caratteristica della forme differenziali esatte.

Iniziamo con 1.

Per utilizzare la definizione di integrale di linea di seconda specie, dobbiamo parametrizzare in qualche modo la curva dell'esercizio, un modo furbo è:

\gamma(t)=\begin{cases}x(t)=t\\ y(t)=t\end{cases}\mbox{ con }t\in [1,2]

Dopodiché deriviamo \gamma(t) rispetto a t:

\gamma'(t)=\begin{cases}x'(t)=1\\ y'(t)=1\end{cases}

Per definizione di integrale di linea scriveremo:

\int_{\gamma}\omega= \int_{1}^{2}a(x(t),y(t))x'(t)+ b(x(t),y(t))y'(t)dt=

Ora:

a(x(t),y(t))= a(t,t)=\frac{\sqrt{2}t^3}{t^2}=\sqrt{2}t

b(x(t),y(t))= b(t,t)=\frac{\sqrt{2}t^3}{t^2}=\sqrt{2}t

Pertanto l'integrale diventa:

\int_{1}^{2}\sqrt{2}t+\sqrt{2}tdt= 2\sqrt{2}\int_{1}^{2}tdt=

=2\sqrt{2}\frac{3}{2}= 3\sqrt{2}

Vediamo il procedimento due.

Ricorda che, nel caso in cui la forma differenziale ammette primitiva e la curva è interamente contenuta nel dominio allora l'integrale di linea:

\int_{\gamma}\omega= U(P_2)-U(P_1)

dove P_1, P_2 sono rispettivamente il primo e il secondo estremo della curva e U è una primitiva della forma differenziale.

Nel nostro caso:

U(x,y)=\sqrt{x^3 y+ x y^3 }

P_1=(1,1)

e

P_2=(2,2)

Utilizzando quindi la caratterizzazione delle forme differenziali esatte si ha che:

\int_{\gamma}\omega= U(2,2)- U(1,1)=4\sqrt{2}-\sqrt{2}= 3\sqrt{2}

che come puoi vedere è lo stesso risultato ottenuto in precedenza. emt
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby
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Os