Applicazione lineare con parametro suriettiva

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Applicazione lineare con parametro suriettiva #76566

avt
Shade
MINIMAL
Ciao a tutti! Le applicazioni lineari con parametro sono una cosa allucinante, non mi entrano in testa: qui ho un esercizio che chiede di stabilire per quali valori del parametro una data applicazione lineare è suriettiva:

L:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2

L\left(\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x+(h-1)y \\ (h-1)x+y+hz \end{matrix}\right)

Sia h appartenente a \mathbb{R} e siano \{e_1,e_2,e_3\} i vettori della base standard di \mathbb{R}^3.

Calcolare L(e_1),\ L(e_2),\ L(e_3).

Scrivere la matrice A_L rappresentativa di L nelle basi standard di \mathbb{R}^3,\ \mathbb{R}^3 e dire per quali valori del parametro h l'applicazione è suriettiva.

Grazie mille!
 
 

Applicazione lineare con parametro suriettiva #76580

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Shade emt

Abbiamo l'applicazione lineare

L:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2

tale che

L\left(\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x+(h-1)y \\ (h-1)x+y+hz \end{matrix}\right)

Detti

e_1=(1, \ 0, \ 0)

e_2=(0, \ 1, \ 0)

e_3=(0, \ 0, \ 1)

i vettori della base canonica di \mathbb{R}^3

per trovare L(e_1), \ L(e_2), \ L(e_3), ovvero l'immagine dei vettori della base canonica di \mathbb{R}^3 tramite l'applicazione lineare, basta sostituire, di volta in volta, al posto di x, y, z le componenti dei vettori e_1, \ e_2, \ e_3.

Abbiamo allora

L(e_1)=L\left(\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1+(h-1) \cdot 0 \\ (h-1)\cdot 1+0+h \cdot 0 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1 \\ h-1\end{matrix}\right)

L(e_2)=L\left(\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0+(h-1) \cdot 1 \\ (h-1) \cdot 0+1+h \cdot 0 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}h-1 \\ 1 \end{matrix}\right)

L(e_3)=L\left(\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0+(h-1) \cdot 0 \\ (h-1) \cdot 0+0+h \cdot 1 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0 \\ h \end{matrix}\right)

----------------

Troviamo ora la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio.

Tale matrice è data da

A_L=\left[\begin{matrix} 1 & h-1 & 0 \\ h-1 & 1 & h \end{matrix}\right]

ottenuta disponendo per colonne le componenti dei vettori

L(e_1), \ L(e_2), \ L(e_3)

appena trovati.

Ora, dobbiamo vedere per quali valori di h \in \mathbb{R} l'applicazione lineare è suriettiva.

Ricordando che, un'applicazione lineare è suriettiva se e solo se la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare coincide con la dimensione dell'insieme di arrivo, abbiamo:

L \ \mbox{suriettiva} \iff \mbox{dim}[\mbox{Im}(f)] = \mbox{dim}(\mathbb{R}^2)=2

Dunque, poiché la dimensione dell'immagine di un'applicazione lineare è data dal massimo numero di vettori colonna della matrice associata linearmente indipendenti, affinché la dimensione sia 2 dobbiamo imporre che il rango della matrice

A_L=\left[\begin{matrix} 1 & h-1 & 0 \\ h-1 & 1 & h \end{matrix}\right]

sia uguale a 2.

Come fare?

Ci basta trovare il determinante di tutti e tre i minori di ordine due della matrice e vedere se esiste un valore di h che li annulla contemporaneamente.

Se esistono uno o più valori di h che annullano tutti e tre determinanti, allora per h diverso da tali valori il rango è massimo e di conseguenza l'applicazione è suriettiva.

Se non esiste alcun valore di h che annulla tutti e tre i determinanti dei minori di ordine 2, allora il rango è sempre massimo e l'applicazione è suriettiva per ogni valore di h.

Chiarito quello che dobbiamo fare procediamo con i conti emt

\mbox{det}\left[\begin{matrix} 1 & h-1 \\ h-1 & 1 \end{matrix}\right]=1-(h-1)^2=h(2-h)

Tale determinante (del minore che si ottiene eliminando la terza colonna) si annulla per

h=0 \ \vee \ h=2

Procediamo ora con il calcolo del determinante del minore che si ottiene eliminando la seconda colonna

\mbox{det}\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ h-1 & h \end{matrix}\right]=h

che si annulla solo per h=0

Infine

\mbox{det}\left[\begin{matrix} h-1 & 0 \\ 1 & h \end{matrix}\right]=h(h-1)

che si annulla per h=0 \ \vee \ h=1

-------------

Poiché per h=0 tutti e tre i minori hanno determinante nullo, il rango di A_L non è massimo e di conseguenza l'applicazione non è suriettiva.

Ne consegue che

\forall h \in \mathbb{R}-\{0\}

l'applicazione è suriettiva, ovvero è tale per ogni valore di h \in \mathbb{R} ad eccezione di h=0.

emt
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby, Iusbe

Applicazione lineare con parametro suriettiva #76627

avt
Shade
MINIMAL
Sempre chiari e soddisfacenti! Grandi!
Un piccolo piacere ... Mi consiglieresti un po' di esercizi con Rouche capelli e un po' di applicazioni con parametri!?
Premetto che quelli sulle lezioni di algebra li ho svolti quasi tutti ma non mi sento ancora molto sicuro su ( autovettori/valori, Rouche capelli e parametri in matrice /APL)

Veramente grazie emt
Ringraziano: Omega, Galois

Applicazione lineare con parametro suriettiva #76651

avt
Omega
Amministratore
Ehi Shade emt

Se hai già esaurito gli esercizi risolti sui sistemi lineari con parametri (3 schede) e gli esercizi svolti sulle applicazioni lineari, vai di barra di ricerca interna.

Tieni conto che gli esercizi presenti in quelle schede costituiscono solo una piccola selezione del materiale presente su YouMath. emt
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os