Studio di una funzione prodotto con logaritmo

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Studio di una funzione prodotto con logaritmo #74795

avt
giacomo.giacomo
Punto
Ciao, potreste aiutarmi con lo studio di una funzione con un prodotto e un logaritmo?

Sia f(x)=(x + 1)^{4}\log(x+1):

- Calcolare i limiti della funzione agli estremi del dominio.

- Determinare gli intervalli in cui f risulta strettamente crescente e quelli in cui risulta strettamente decrescente.

- Determinare il punto di minimo assoluto della funzione.

- Determinare gli intervalli in cui f è convessa o concava.

- Disegnare un grafico approssimativo di f.

Grazie in anticipo!
 
 

Studio di una funzione prodotto con logaritmo #74839

avt
Ifrit
Ambasciatore
Dobbiamo effettuare lo studio di funzione:

f(x)=(x+1)^{4}\log(x+1)

Per prima cosa dobbiamo pensare al dominio della funzione.

Dominio

Calcoliamo il dominio della funzione.

Il logaritmo pretende che il suo argomento sia maggiore di zero, dobbiamo richiedere che:

x+1>0\implies x>-1

Il dominio è esattamente questo, le altre funzioni non presentano patologie.

Scriveremo quindi che

\mbox{dom}(f)=(-1,+\infty)

Calcoliamo i limiti agli estremi:

\lim_{x\to -1}f(x)= \lim_{x\to -1} (x+1)^4 \log(x+1)

Siamo di fronte ad una forma indeterminata [0\cdot -\infty]

Possiamo risolverla con un trucchetto, riscrivo la funzione in questo modo:

f(x)=\frac{\log(x+1)}{\frac{1}{(x+1)^{4}}}

cosa ho fatto? Ho semplicemente ribaltato il fattore (x+1)^{4}. In questo modo mi sono riportato alla forma indeterminata:

\left[\frac{\infty}{\infty}\right]

che può essere risolta con il teorema di De l'Hopital.

 \lim_{x\to -1} \frac{ \log(x+1)}{\frac{1}{(x+1)^4}}=


Derivo separatamente il numeratore e il denominatore.

D[\log(x+1)]=\frac{1}{x+1}

D\left[\frac{1}{(x+1)^{4}}\right]= D[(x+1)^{-4}]= -4 (x+1)^{-4-1}= \frac{-4}{(x+1)^{-5}}

Qui ho utilizzato la regola di derivazione delle potenze

D[f(x)^{\alpha}]= \alpha f(x)^{\alpha-1}\cdot f'(x).

Vedi la tabella sulle derivate fondamentali.

Per il teorema di De l'Hopital, le cui ipotesi sono ovviamente soddisfatte, si ha che:

 \lim_{x\to -1} \frac{ \log(x+1)}{\frac{1}{(x+1)^4}}=^{H}

=\lim_{x\to -1}\frac{\frac{1}{x+1}}{-\frac{4}{(x+1)^{5}}}

semplifichiamo:

= \lim_{x\to -1}-\frac{1}{4}(x+1)^{4}=0

Studiamo l'altro limite


Limite per x che tende a più infinito

\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}(x+1)^{4}\log(1+x)= +\infty

qui non è presente nessuna forma indeterminata fortunatamente.

Nota importante: poiché il limite è + infinito, la funzione non può avere massimi assoluti.

Studio degli intervalli di monotonia:

Per studiare la monotonia della funzione sarà necessario calcolare la derivata prima della stessa. Poiché abbiamo un prodotto, interverrà la regola di derivazione del prodotto di funzioni

f'(x)=D[(x+1)^4\log(x+1)]=

D[(x+1)^4]\log(x+1)+(x+1)^4 D[\log(x+1)]

Osserva che:

D[(x+1)^4]= 4 (x+1)

mentre:

D[\log(x+1)]=\frac{1}{x+1}

Sostituiamo:

f'(x)=4(x+1)^3\log(x+1)+ (x+1)^4\cdot \frac{1}{x+1}=

Semplifichiamo (x+1)^4 e \frac{1}{x+1} così da ottenere:

= 4(x+1)^3\log(x+1)+ (x+1)^3

Effettuiamo un raccoglimento totale:

=(x+1)^3 (4\log(x+1)+1)

Ecco fatto! emt

Ora dobbiamo determinare gli intervalli di monotonia, ricordandoci che la derivata prima della funzione è definita per x>-1.

Studiamo il segno della derivata:

f'(x)>0\iff (x+1)^3 (4\log(x+1)+1)>0

Studiamo il segno di ciascun fattore:

(x+1)^3>0\iff x+1>0\iff x>-1

mentre

4\log(x+1)+1>0\iff \log(x+1)>-\frac{1}{4}


Abbiamo ottenuto una disequazione logaritmica che è equivalente al sistema di disequazioni:


\begin{cases}x+1>0\\ x+1>e^{-\frac{1}{4}}\end{cases}


Da cui si evince che:


\begin{cases}x>-1\\ x>e^{-\frac{1}{4}}-1\end{cases}


Intersecando, otterrai facilmente che x>e^{-\frac{1}{4}}-1


Ora tabuliamo i segni del primo fattore, ovvero (x+1)^3 e del secondo 4\log(x+1)+1:


\begin{matrix}(x+1)^{3}:& (-1)&+++&[e^{-\frac{1}{4}}-1]&+++\\ 4\log(1+x)+1:&(-1)&---&[e^{-\frac{1}{4}}-1]&+++\\ \mbox{tot}:&(-1)&---&[e^{-\frac{1}{4}}-1]&+++\end{matrix}


Conclusioni:

La derivata prima f'(x) è positiva in \left(e^{-\frac{1}{4}}-1, +\infty\right)

di conseguenza la funzione di partenza è strettamente crescente in tale intervallo.

La derivata prima è negativa in (-1, e^{-\frac{1}{4}}-1).

Pertanto la funzione di partenza è decrescente in tale intervallo.

Il punto x=e^{-\frac{1}{4}}-1 è un punto di minimo relativo ed anche assoluto,

il minimo vale:

m=f(e^{-\frac{1}{4}}-1)=\left(e^{-\frac{1}{4}}-1+1\right)^4\log\left(e^{-\frac{1}{4}}-1+1\right)=

=(e^{-\frac{1}{4}})^4\log(e^{-\frac{1}{4}})=-\frac{1}{4}e^{-1}

Studio della concavità e convessità della funzione.

Per studiare la concavità e la convessità abbiamo bisogno della derivata seconda.

Calcoliamola

f''(x)=D[(x+1)^3 (4\log(x+1)+1)]=

=D[(x+1)^3] (4\log(x+1)+1)+ (x+1)^3 D[4\log(x+1)+1]

=3 (x+1)^2 (4\log(x+1)+1)+ (x+1)^3 \cdot \frac{4}{x+1}

Ho semplicemente derivato la derivata prima, utilizzando nuovamente la regola di derivazione del prodotto. Scriviamo meglio la derivata prima, semplificando (x+1)^3 con \frac{4}{x+1}

=3 (x+1)^2 (4\log(x+1)+1)+ 4(x+1)^2

Raccogliamo (x+1)^2

= (x+1)^2[3\cdot (4\log(x+1)+1)+4]=(x+1)^2 (12\log(x+1)+7)

Ora possiamo studiare il segno della derivata seconda così da determinare gli intervalli di concavità e convessità:

f''(x)>0\iff (x+1)^2 (12\log(x+1)+7)>0

Studiamo il segno di ciascun fattore:

(x+1)^2>0\iff x\ne -1

12\log(x+1)+7>0\iff \log(x+1)>-\frac{7}{12}

Procedendo come prima, otterrai che

x>e^{-\frac{7}{12}}-1

Tabuliamo i segni di ciascun fattore:

\begin{matrix}(x+1)^2:&(-1)&+++&[e^{-\frac{7}{12}}-1]&+++\\ 12\log(x+1)+7:&(-1)&---&[e^{-\frac{7}{12}}-1]&+++\\ \mbox{tot}:&(-1)&---&[e^{-\frac{7}{12}}-1]&+++ \end{matrix}

Traiamo le somme:

La derivata seconda è:

positiva in (e^{-\frac{7}{12}}-1, +\infty)

negativa in (-1, e^{-\frac{7}{12}}-1)

di conseguenza la funzione di partenza è:

convessa nell'intervallo (e^{-\frac{7}{12}}-1, +\infty)

concava nell'intervallo (-1, e^{-\frac{7}{12}}-1)

In x=e^{-\frac{7}{12}}-1 avviene un cambio di concavità ed è dunque punto di flesso a tangente obliqua.

Ecco il grafico della funzione

grafico funzione logaritmica
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os