Autovalori autovettori e autospazi di una matrice 3x3

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Autovalori autovettori e autospazi di una matrice 3x3 #74601

avt
Shade
MINIMAL
Ehilà! emt Ho notato che in una prova d'esame viene chiesto di calcolare gli autovalori, gli autovettori e gli autospazi di una matrice 3x3. Precisamente, la traccia dice...

Calcola autovalori autovettori autospazi della matrice

A=\left[\begin{matrix} 2 & 0 & 3 \\ 1 & 5 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{matrix}\right]

Infine determina una base per ogni autospazio della matrice data.

Il problema è capire passo passo (da idiota) i conti da fare perché sono a 24h prima dell'esame e fino a ieri queste cose erano facili da fare, oggi non mi viene nulla!
Attendo con ansia una vostra risposta!
 
 

Autovalori autovettori e autospazi di una matrice 3x3 #74645

avt
Galois
Coamministratore
Eccoci qua emt

Abbiamo la matrice

A=\left[\begin{matrix} 2 & 0 & 3 \\ 1 & 5 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{matrix}\right]

di cui dobbiamo determinare autovalori ed autovettori -> lettura altamente consigliata.

Gli autovalori sono gli zeri del polinomio caratteristico il quale è definito come:

P(\lambda)=\mbox{det}[A-\lambda Id]

Dove A- Id \lambda è la matrice che si ottiene sottraendo alla matrice A la matrice \lambda Id che indica il prodotto tra uno scalare e la matrice identità di ordine 3, ovvero:

\lambda Id = \left[\begin{matrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{matrix}\right]

Chiarito questo abbiamo

A-\lambda Id = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 3 \\ 1 & 5 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{matrix}\right] - \left[\begin{matrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 2-\lambda & 0 & 3 \\ 1 & 5-\lambda & -1 \\ 3 & 0 & 2-\lambda \end{matrix}\right]

Per trovare il polinomio caratteristico non ci rimane altro da fare se non calcolare il determinante di questa matrice.

Poiché la seconda colonna presenta due zeri conviene procedere con la regola di Laplace e sviluppare i conti rispetto a tale colonna. Abbiamo allora:

\mbox{det}\left[\begin{matrix} 2-\lambda & 0 & 3 \\ 1 & 5-\lambda & -1 \\ 3 & 0 & 2-\lambda \end{matrix}\right] = (-1)^{2+2} \cdot (5-\lambda) \cdot \mbox{det}\left[\begin{matrix} 2-\lambda & 3 \\ 3 & 2-\lambda \end{matrix}\right]=

=1 \cdot (5-\lambda) \cdot [(2-1\lambda)^2-9]=

(sviluppando il quadrato di binomio e facendo qualche conticino all'interno della coppia di quadre)

=(5-\lambda)(\lambda^2-4\lambda-5)

Il polinomio caratteristico associato alla matrice è quindi:

P(\lambda)=(5-\lambda)(\lambda^2-4\lambda-5)

Dobbiamo trovare i suoi zeri, ovvero vedere dove si annulla. Per farlo ci basta porre:

(5-\lambda)(\lambda^2-4\lambda-5)=0

da cui

5-\lambda=0 \iff \lambda=5

\lambda^2-4\lambda-5=0

che è un'equazione di secondo grado nella variabile \lambda che ha come soluzioni:

\lambda_1=5, \ \lambda_2=-1

Gli autovalori della matrice A sono quindi:

\lambda_1=5

con molteplicità algebrica uguale a 2 e

\lambda_2=-1

--------------

Passiamo ora a trovare autovettori ed autospazi

Per trovare l'autospazio relativo all'autovalore \lambda_2=-1 ci basta risolvere il sistema lineare (omogeneo)

(A-(\lambda_2)Id)\left[\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]

Ovvero

(A+Id)\left[\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]

da cui

\left[\begin{matrix} 3 & 0 & 3 \\ 1 & 6 & -1 \\ 3 & 0 & 3 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]

Procedendo con il prodotto riga per colonna vien fuori il sistema:

\begin{cases}3x+3z=0 \\ x+6y-z=0 \\ 3x+3z=0 \end{cases}

Possiamo subito osservare che la prima e l'ultima equazione sono identiche. Possiamo allora tralasciarne una e scrivere:

\begin{cases}3x+3z=0 \\ x+6y-z=0 \end{cases}

Dalla prima equazione si ha

x=-z

Sostituendo nella terza:

\begin{cases}x=-z \\ -z+6y-z=0 \end{cases}

\begin{cases}x=-z \\ 6y=2z \end{cases}

\begin{cases}x=-z \\ y=\frac{z}{3} \end{cases}

Assegnando ad una delle tre incognite, ad esempio a z, il ruolo di parametro libero (z=a, \ a \in \mathbb{R})

Abbiamo che, la generica soluzione del sistema è data da:

(x,y,z)=\left(-a, \frac{a}{3}, a\right)

che si scrive, in forma di combinazione lineare, come

(x,y,z)=a\left(-1, \frac{1}{3}, 1\right)

Possiamo allora concludere che l'autospazio relativo all'autovalore \lambda_2=-1 è generato dal vettore

\left(-1, \frac{1}{3}, 1\right)

che è l'autovettore relativo all'autovalore considerato ed, essendo un solo vettore non nullo, ne costituisce una base.

Osserva che, una volta scritto il sistema

\begin{cases}3x+3z=0 \\ x+6y-z=0 \\ 3x+3z=0 \end{cases}

se, prima di risolverlo, avessimo applicato il teorema di Rouché Capelli avremmo avuto:

Matrice incompleta associata al sistema:

\left[\begin{matrix} 3 & 0 & 3 \\ 1 & 6 & -1 \\ 3 & 0 & 3 \end{matrix}\right]

il cui rango (avendo due righe uguali) non può essere massimo. Avendo poi la sua sottomatrice di ordine 2:

\left[\begin{matrix} 3 & 0 \\ 1 & 6 \end{matrix}\right]

determinante non nullo, possiamo concludere che il rango di tale matrice è 2 e tale sarà anche il rango della matrice completa. (Non serve fare alcun conto! La matrice completa si ottiene infatti dall'incompleta aggiungendo una colonna nulla, quindi non abbiamo conseguenze sul calcolo del rango emt )

Per il teorema di Rouché possiamo allora concludere che il sistema ha:

\infty^{\mbox{numero incognite - rango}} = \infty^{3-2} = \infty^1 \ \mbox{soluzioni}

e questo ci conferma quanto ottenuto come i conti. Le soluzioni del sistema erano, infatti, \infty^1, ovvero dipendenti da un parametro emt

----------

Stesso discorso per il secondo autovalore \lambda_1=5

In questo caso il sistema da risolvere sarà

(A-5Id)\left[\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]

da cui

\left[\begin{matrix} -3 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & -3 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]

Ovvero

\begin{cases}-3x+3z=0 \\ x-z=0 \\ 3x-3z=0 \end{cases}

che possiamo riscrivere come

\begin{cases}x-z=0 \\ x-z=0 \\ x-z=0 \end{cases}

Procedendo con Rouché Capelli vediamo subito che il rango della matrice incompleta, così come quello della completa, è pari a 1 in quanto abbiamo 3 righe identiche.

Il sistema ammetterà quindi \infty^2 soluzioni, ovvero dipendenti da due parametri. Assegnando ad x ed y il ruolo di parametri liberi si ha:

\begin{cases}x=a \\ y=b \\ z=x=a \end{cases}

Ovvero le infinite soluzioni

(x,y,z)=(a,b,a)

che possiamo scrivere, come combinazione lineare, come:

(x,y,z)=(a,b,a)=a(1,0,1)+b(0,1,0)

Ragion per cui l'autospazio relativo all'autovalore \lambda_1=5 sarà generato dai due autovettori (1,0,1) \ \mbox{e} \ (0,1,0) i quali, essendo linearmente indipendenti ne formano una base.

Finito emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, Shade
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Os