Derivabilità e derivata in un punto di una funzione a tratti

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Derivabilità e derivata in un punto di una funzione a tratti #74535

avt
giacomo.giacomo
Punto
In questo esercizio devo studiare la derivabilità di una funzione definita a tratti e successivamente calcolarne la derivata in un punto. Mi potete mostrare come si fa?

Sia f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definita da :

f(x)=\begin{cases}\frac{1-\cos(x-2)}{x-2}&\mbox{ se }x\ne 2\\ 0&\mbox{ se }x=2\end{cases}

Usando la definizione di derivata, mostrare che la funzione f è derivabile nel punto x=2 e calcolare f'(2). La funzione è derivabile anche nei punti diversi da 2? Giustificare la risposta.

Grazie!
 
 

Derivabilità e derivata in un punto di una funzione a tratti #74537

avt
Ifrit
Amministratore
Abbiamo la funzione definita per casi

f(x)=\begin{cases}\frac{1-\cos(x-2)}{x-2}&\mbox{ se }x\ne 2\\ 0&\mbox{ se }x=2\end{cases}

Dobbiamo controllare con la definizione di derivata la derivabilità nel punto x=2

Ricordiamo che una funzione f è derivabile in un punto x_0\in\mbox{dom}(f) se e solo se esiste finito il limite del rapporto incrementale centrato in x_0.

Ovvero:

\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Se tale valore esiste finito allora si pone per definizione:

f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

cioè la derivata prima valutata nel punto x_0 coincide con il valore del limite del rapporto incrementale.


Per prima cosa costruiamoci il rapporto incrementale:

Nel nostro caso:

\bullet\,\,x_0=2

pertanto


\bullet\,\,f(x_0+h)=f(2+h)= \frac{1-\cos(2+h-2)}{2+h-2}= \frac{1-\cos(h)}{h}

\bullet\,\, f(2)= 0 segue proprio dalla definizione della funzione in questione.

Il rapporto incrementale centrato in x_0=2 sarà quindi:

\frac{f(2+h)-f(2)}{h}= \frac{\frac{1-\cos(h)}{h}}{h}= \frac{1-\cos(h)}{h^2}

Alla fine della fiera dobbiamo risolvere il limite:

\lim_{h\to 0}\frac{1-\cos(h)}{h^2}

ma questo non è altro che il limite notevole del coseno (leggimi)

di cui sappiamo già il risultato:

\lim_{h\to 0}\frac{1-\cos(h)}{h^2}= \frac{1}{2}

Poiché il limite del rapporto incrementale esiste ed è finito allora possiamo concludere che:

la funzione è derivabile in x_0=2 ed inoltre il valore della derivata prima coincide con il valore del limite ottenuto:

f'(2)=\frac{1}{2}.

Rispondiamo alla seconda domanda:

La funzione data, per x\ne 2 coincide con la funzione:

f(x)=\frac{1-\cos(x-2)}{x-2}

Osserviamo che essa è una frazione in cui il numeratore è:

N(x)=1-\cos(x-2)

mentre il denominatore è:

D(x)=x-2

Facciamo intervenire il teorema secondo cui il quoziente di funzioni derivabili, la seconda delle quali è diversa da zero, è derivabile.

Il numeratore è sicuramente derivabile perché è differenza di funzioni derivabili;

Il denominatore, per x\ne 2, è sicuramente derivabile perché di tipo polinomiale. Per il teorema sulla derivabilità di un quoziente possiamo concludere la funzione data è certamente derivabile in tutti i punti diversi da x=2.

Non è necessario fare nessun conto. L'importante è ricordare i teoremi sulla derivabilità. emt
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby
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Os