Operatore lineare diagonalizzabile e matrice diagonalizzabile

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Operatore lineare diagonalizzabile e matrice diagonalizzabile #74520

avt
Shade
MINIMAL
Ciao! Non riesco a reperire delle spiegazione semplici sulla nozione di operatore lineare diagonalizzabile e di matrice diagonalizzabile...con condizioni e relazione di diagonalizzazione annesse.

So che ho chiesto una cosa lunghissima ma spero che una buon'anima possa aiutarmi emt
 
 

Operatore lineare diagonalizzabile e matrice diagonalizzabile #74529

avt
Galois
Amministratore
Ciao Shade emt

In realtà gli argomenti a cui fai riferimento sono abbondantemente trattati su YouMath, dobbiamo quindi solo fare chiarezza nella tua mente e dovrai leggere le lezioni giuste (che man mano ti linkerò) al momento giusto emt

Partiamo! Innanzitutto chiediamoci: cosa si intende, in Algebra Lineare con il termine operatore lineare?

Un'operatore lineare altro non è se non un'applicazione lineare di uno spazio vettoriale in sé, altrimenti detto endomorfismo.

Ti basta quindi sapere quando un'applicazione si dice lineare (leggi la lezione a riguardo) per avere ben chiaro il concetto di operatore lineare.

In ogni caso, per non lasciare spazio a dubbi, facciamo qualche esempio.

\bullet \ 1) \ f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2

tale che

f(x,y,z)=(x+y+z, \ 2x+y)

Può essere un'operatore lineare? La risposta è no. Perché? Perché pur essendo un'applicazione lineare non è un endomorfismo, ovvero perché dominio e condominio non coincidono.

\bullet \ 2) \ f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3

tale che

f(x,y,z)=(x+y+z, \ 2x+y, \ x^2+z)

È un'operatore lineare? La risposta è, ancora una volta, no. Perché? In questo caso è vero sì che dominio e codominio dell'applicazione coincidono, ma l'applicazione f non è lineare e ce lo conferma la presenza del termine x^2 emt

\bullet \ 3) \ f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3

tale che

f(x,y,z)=(x+y+z, \ 2x+y, \ x+z)

È un'operatore lineare? Certo che sì! Infatti dominio e codominio dell'applicazione coincidono, ed essa è un'applicazione lineare.

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Adesso che dovrebbe essere chiaro come stabilire se siamo di fronte ad un operatore lineare passiamo a vedere quando esso è diagonalizzabile.

Facciamo un piccolo passo indietro. Come ben saprai un'applicazione lineare (e quindi in particolare un endomorfismo, ovvero un'operatore lineare) è definita, univocamente, da una matrice, la quale si dice matrice associata all'applicazione lineare. Cosa vuol dire? Che tutte le proprietà ( tra cui quella di diagonalizzabilità) riferite all'operatore lineare si possono ricavare dalla matrice ad esso associata.

Ragion per cui dobbiamo anzitutto sapere come si ricava la matrice associata ad un'applicazione lineare ed è spiegato nella lezione dell'ultimo link.


Una volta trovata tale matrice, ne studieremo la diagonalizzabilità così come visto nella lezione sulle matrici diagonalizzabili - click!


Possiamo poi concludere che:

se la matrice associata all'operatore lineare è diagonalizzabile allora tale sarà anche l'operatore lineare;

se la matrice associata non è diagonalizzabile allora l'operatore lineare non è diagonalizzabile.

Tutto qui emt

Quindi ricapitolando, dato un'operatore lineare (ovvero un endomorfismo, cioè un'applicazione lineare in cui dominio e codominio coincidono) la prima cosa da fare, per studiarne la diagonalizzabilità, è scrivere la matrice ad esso associata.

Una volta scritta tale matrice vedremo se essa è meno diagonalizzabile ed il gioco è fatto emt

Tutte le proprietà, le condizioni e le relazioni utili a studiare la diagonalizzabilità di una matrice le trovi nella lezione corrispondente, con annessi esempi emt

È davvero tutto! Non ti rimane altro da fare se non leggere con estrema attenzione quello qui scritto e le lezioni che ti ho linkato.

Fatto questo passa a fare qualche esercizio che, in caso di dubbi, possiamo vedere insieme in una nuova discussione emt
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby, uni_strowic

Operatore lineare diagonalizzabile e matrice diagonalizzabile #74533

avt
Shade
MINIMAL
Grandioso!!!!! Grazie mille
Ringraziano: Galois
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Os