Studio di funzione definita a tratti

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Studio di funzione definita a tratti #74344

avt
giacomo.giacomo
Punto
Ciao, come faccio a studiare questa funzione definita a tratti? Sia f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} definita da:

f(x)=\begin{cases}-\ln(-x-3)&\mbox{ se }x<-4\\ \sqrt{x+4}&\mbox{ se }-4\le x<0\\ 2e^{x}-1&\mbox{ se }x\ge 0\end{cases}

- Disegnare il grafico di f
- Determinare inf(f) e sup(f) e dire se si tratta di minimo e di massimo rispettivamente.
- Determinare i punti in cui f risulta essere continua e quelli in cui è discontinua. giustificando la risposta.
- La funzione è derivabile nel punto x=-4 ? Giustificare la risposta.

Grazie anticipatamente!
 
 

Studio di funzione definita a tratti #74436

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao giacomo.giacomo emt

Abbiamo la funzione definita a tratti:

f(x)=\begin{cases}-\ln(-x-3)&\mbox{ se }x<-4\\ \sqrt{x+4}&\mbox{ se }-4\le x<0\\ 2e^{x}-1&\mbox{ se }x\ge 0\end{cases}

La prima cosa che bisogna fare è disegnare il grafico della funzione, effettuando lo studio della funzione stessa.

Il dominio della funzione è \mbox{dom}(f)=\mathbb{R} e questa informazione ci è data dalla traccia stessa.


Intersezione con gli assi.


Per l'intersezione con gli assi procederemo in questo modo:

Asse x

Dobbiamo risolvere il sistema:

\begin{cases}y=f(x)\\ y=0\end{cases} che conduce all'equazione risolvente:

f(x)=0

La funzione data presenta tre rami, dovremo quindi risolvere l'equazione per ciascun ramo, stando attenti all'insieme su cui esso è definito.

Per x<-4 l'equazione f(x)=0 diventa banalmente:

-\ln(-x-3)=0\implies \ln(-x-3)=0

che è un'equazione logaritmica elementare.

-x-3=1\implies -x=4\implies x=-4

La soluzione non è accettabile perché non rispetta la condizione dettata dal sottodominio: x<-4.


Concentriamoci sul secondo ramo che vale quando 4\le x<0. L'equazione risolvente diventa:

f(x)=0\iff \sqrt{x+4}=0\iff x+4=0\implies x=-4

Questa soluzione è accettabile perché soddisfa la condizione x=-4, abbiamo determinato il primo punto di intersezione con l'asse x.

Verifichiamo ora l'ultimo ramo definito su x\ge 0

f(x)=0\iff 2e^{x}-1=0\implies e^{x}=\frac{1}{2}\implies x=\ln\left(\frac{1}{2}\right)


La soluzione non è accettabile perché non soddisfa la condizione x\ge 0

Possiamo concludere che la funzione ha un'unico punto di intersezione con l'asse x ed è x=-4, y=0.


Asse y

Dobbiamo sostanzialmente risolvere il sistemino:

\begin{cases}x=0\\ y=f(x)\end{cases}\iff y=f(0)

Ora dobbiamo comprendere quale ramo della funzione prendere. Osserva che x=0 soddisfa la condizione x\ge 0 dunque il ramo da considerare è il terzo. È sufficiente quindi valutare il terzo ramo in 0:

f(0)= 2 e^{0}-1= 2-1=1

La funzione interseca l'asse y nel punto x=0, y= 1.

Limiti agli estremi del dominio.

Dobbiamo essenzialmente risolvere due limiti:

\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}-\ln(-x-3)= -\infty

In questo caso abbiamo preso il primo ramo della funzione perché quando x tende a meno infinito prima o poi sarà minore di -4.

e

\lim_{x\to +\infty}f(x)= \lim_{x\to +\infty}2e^{x}-1= +\infty

Abbiamo preso il terzo ramo della funzione perché x tende a più infinito di conseguenza, prima o poi x sarà maggiore di 0, ricadiamo quindi nella terza condizione.

Osserviamo che poiché i limiti sono infinito, possiamo già asserire che la funzione ha per estremo inferiore - infinito e per estremo superiore +infinito.

Essi inoltre non possono essere né massimi né minimi, quindi abbiamo risposto al secondo punto.


Studio della continuità della funzione:

Dobbiamo controllare la continuità della funzione. Come si fa? È semplicissimo, prima di tutto ragioniamo per rami.

Osserviamo che

- per x<-4 la funzione si riduce a f(x)=-\ln(-3-x) che è continua perché composizione di funzioni continue.

- per -4< x<0 (nota che ho escluso il -4) la funzione è f(x)=\sqrt{4+x} che è continua perché composizione di funzioni continue.

- per x>0 (nota che ho escluso lo zero) la funzione è f(x)=2e^{x}-1, ed è continua perché composizione di funzioni continue.

Rimane da controllare la continuità in x=-4 e in x=0, i cosiddetti punti di raccordo, punti in cui la funzione cambia la sua espressione analitica.

Per controllare la continuità dobbiamo far uso del concetto di limite destro e di limite sinistro. Iniziamo con lo studio della continuità in x=-4

Osserviamo innanzitutto che f(-4)=0

Calcoliamo il limite destro ovvero:

\lim_{x\to -4^{+}}f(x)= \lim_{x\to -4^{+}}\sqrt{4+x}=0

Abbiamo preso il secondo ramo della funzione perché x tende a -4 per valori poco più grandi di -4. Nota che il limite destro coincide con il valore che la funzione assume in x=-4.

Calcoliamo il limite sinistro. Se coincide con 0 abbiamo continuità altrimenti nisba.

\lim_{x\to -4^{-}}f(x)=\lim_{x\to -4^{-}}-\ln(-3+4)=\ln(1)=0

Il limite destro e il limite sinistro della funzione per x che tende a -4 coincidono e sono uguali al valore che la funzione assume per x=-4. Questo ci permette di concludere che in x=-4 la funzione è continua.

Controlliamo l'altro punto, seguendo lo stesso ragionamento. Per x=0 la funzione vale

f(0)=1

Calcoliamo il limite destro e il limite sinistro:

\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}\sqrt{x+4}=\sqrt{4}=2

Nota che il limite sinistro non coincide con il valore che la funzione assume in x=0 questo ci permette di concludere che la funzione non è continua in x=0.

Il limite destro si può calcolare ma sarebbe inutile.

Ricapitolando:

x=-4 è un punto in cui la funzione è continua, mentre x=0 no. La funzione sarà continua in (-\infty, 0)\cup (0, +\infty). Non è continua in x=0.

Osservazione: poiché in x=0 la funzione non è continua allora non può nemmeno essere derivabile, ricorda la relazione che lega la continuità con la derivabilità.

Segno della funzione:

Per studiare il segno della funzione possiamo risolvere la disequazione:

f(x)\ge 0

stando attenti alla condizione dei rami.

Per x< -4 la disequazione diventa:

-\ln(-3-x)\ge 0\implies \ln(-3-x)\le 0\implies -3-x\le 1

Risolvendo la disequazione di primo grado:

x\ge -4

Questo significa che il primo ramo è negativo per x<-4.

Il secondo ramo è certamente non negativo nel suo sottodominio perché devi ricordare che la radice quadrata è sempre maggiore o uguale a zero nel suo dominio. Conseguentemente la funzione è non negativa in -4\le x<0

Possiamo dedicarci all'ultimo ramo. Per x\ge 0

f(x)\ge 0\iff -1+2e^{x}\ge 0\implies x\ge \ln\left(\frac{1}{2}\right)

Grazie a questa disequazione scopriamo che per x\ge 0 la funzione è certamente maggiore di zero.


Derivata:


Calcoliamo al derivata prima della funzione, ragionando sempre per rami:

f'(x)=\begin{cases}-\frac{1}{x+3}&\mbox{ se }x<-4\\ \frac{1}{2\sqrt{x+4}}&\mbox{ se }-4<x<0\\ 2e^{x}&\mbox{ se }x>0\end{cases}

Nota importante: ho escluso i punti di raccordo. Ricordiamo intanto che in x=0 la funzione non è continua, non ha senso chiedersi se è derivabile. L'altro punto di raccordo è invece più interessante:

x=-4 infatti si candida come punto di non derivabilità.

Per controllare se la funzione è derivabile oppure no, dobbiamo semplicemente studiare i limiti della derivata prima. Se esistono entrambi e sono finiti e coincidono allora il punto in questione NON è un punto di non derivabilità. Se invece esistono ma non sono finiti o non coincidono allora esso è un punto di non derivabilità.

Controlliamo:

\lim_{x\to -4^{-}}f'(x)= \lim_{x\to -4^{-}}-\frac{1}{3+x}=-1

\lim_{x\to -4^{+}}f'(x)=\lim_{x\to -4^{+}}\frac{1}{2\sqrt{x+4}}=+\infty

I due limiti esistono ma non coincidono. x=-4 è un punto di non derivabilità, e ad essere più precisi, esso è un punto angoloso.

Segno della derivata prima:

Dobbiamo studiare in quali intervalli la funzione derivata prima è positiva, in tal caso la funzione è strettamente crescente, e in quali intervalli la derivata prima è negativa, in tal caso la funzione di partenza sarà decrescente. Ragioniamo per rami, ricordandoci come sempre le condizioni:

Per x<-4

f'(x)\ge 0\iff -\frac{1}{x+3}\ge 0\iff \frac{1}{x+3}\le 0\iff x\ge -3

La funzione derivata prima è positiva per x<-4, di conseguenza, la funzione di partenza è crescente.

Per -4<x<0, la derivata prima è f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{4+x}} che è una funzione positiva di conseguenza sarà sempre maggiore di zero. La funzione di partenza sarà crescente in -4<x<0.

Infine per x>0 la derivata prima è

f'(x)= 2e^{x}

che è ovviamente positiva, la funzione di partenza crescerà anche per x>0.

Infine studiamo la derivata seconda:

f''(x)=\begin{cases}\frac{1}{(3+x)^2}&\mbox{ se }x<-4\\ -\frac{1}{(4+x)\sqrt{4+x}}&\mbox{ se }-4<x<0\\ 2e^{x}&\mbox{ se }x>0\end{cases}

nei punti di raccordo non ha senso calcolare la derivata seconda perché la derivata prima non è definita in tali punti.

Osserviamo che:

- il primo ramo è sicuramente positivo, quindi la funzione di partenza è convessa per x<-4

- il secondo ramo è certamente positivo nell'insieme -4<x<0, dunque la funzione è convessa.

- il terzo ramo è una funzione esponenziale, quindi sicuramente positiva nell'intervallo x>0

Possiamo concludere quindi che la funzione di partenza è convessa negli intervalli:

(-\infty, -4), (-4, 0) e in (0, +\infty)

Ora possiamo rappresentare il grafico della funzione:

funzione definita a tratti vera
Ringraziano: Galois, CarFaby, giacomo.giacomo

Studio di funzione definita a tratti #74534

avt
giacomo.giacomo
Punto
Perfetto grazie, tutto chiaro
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Os