Teorema di Kronecker

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Teorema di Kronecker #74201

avt
Shade
MINIMAL
Vorrei capire il teorema di Kronecker, e in particolare l'enunciato, la dimostrazione, ma soprattutto la sua applicazione pratica.

L'enunciato l'ho imparato a memoria, ma proprio non riesco a capire come si applica. Potreste riportare un esempio spiegato in cui si usa il teorema di Kronecker per il calcolo del rango di una matrice?
 
 

Teorema di Kronecker #74213

avt
Ifrit
Amministratore
Il teorema di Kronecker, detto anche teorema degli orlati, fornisce un metodo per determinare il rango di una matrice, quadrata o rettangolare che sia, attraverso il calcolo del determinante di alcune particolari sottomatrici, dette sottomatrici orlate.

Partiamo dall'enunciato: sia A una matrice con m righe e n colonne. Il rango di A è uguale a p se e solo se esiste un minore non nullo di ordine p e tutti i minori di ordine p+1 ottenuti orlando il minore di ordine p sono uguali a zero.

A una prima lettura il teorema può sembrare complicato perché forse non si ha ben chiaro il significato dei termini che vi compaiono.

Cominciamo ricordando la definizione di minore: si definisce minore di ordine p di una matrice A il determinante di una sottomatrice quadrata di A di ordine p.

In altri termini, data una qualsiasi matrice A con m righe e n colonne, e fissato un numero p \le \mbox{min}(m,n) si considera l'intersezione tra p righe e p colonne di A. Quella così ottenuta è una sottomatrice di ordine p.

Il determinante di questa sottomatrice prende il nome di minore di ordine p; se tale determinante è diverso da zero, il minore è detto non nullo.

Possiamo poi introdurre il concetto di minore orlato: dato un qualsiasi minore di ordine p, si definisce minore orlato il determinante di ogni sottomatrice di ordine p+1 ottenuta accostando una riga e una colonna alla sottomatrice che definisce il minore di ordine p.

Esempio di applicazione del teorema di Kronecker

Proponiamoci di calcolare il rango della seguente matrice col teorema di Kronecker

A=\begin{pmatrix} 0&3&3 \\ 3&-5&1 \\ 2&0&4 \\ 2&-1&3 \end{pmatrix}

A è una matrice rettangolare con 4 righe e 3 colonne. Il suo rango può quindi essere al massimo 3.

Senza conoscere il teorema di Kronecker e volendo procedere col criterio dei minori, dovremmo calcolare i minori di ordine di 3: se almeno uno fosse non nullo il rango sarebbe 3, altrimenti dovremmo passare in rassegna i minori di ordine 2.

Procedendo col criterio dei minori, nell'ipotesi di rango pari a 2, dovremmo quindi calcolare i quattro determinanti delle sottomatrici di ordine 3.

Se però sfruttiamo il Teorema di Kronecker la mole di conti diminuisce.

Per cominciare consideriamo un minore di ordine p=2 non nullo, ad esempio:

M_2=\mbox{det} \begin{pmatrix} 0&3 \\ 3&-5 \end{pmatrix} = -9 \neq 0

Soffermiamoci quindi sui suoi minori orlati di ordine p+1=2+1=3, che sono solo due dei quattro minori di ordine 3 di A, ossia:

\\ M_3=\mbox{det}\begin{pmatrix} 0 & 3 & 3\\ 3 & -5 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}=0\\ \\ \\ M_4=\mbox{det}\begin{pmatrix} 0 & 3 & 3\\ 3 & -5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}=0

Le sottomatrici che definiscono i minori M_3 \mbox{ e } M_4 si ottengono, rispettivamente, accostando la terza riga e la parte corrispondente della terza colonna di A, e la quarta riga e la parte corrispondente della terza colonna di A alla sottomatrice che definisce M_2.

Per il calcolo del determinante conviene in questo caso usare la regola di Sarrus.

Dal momento che ogni minore orlato di ordine p+1=3 è nullo, per il teorema di Kronecker possiamo subito concludere che il rango di A è 2.

Ora che dovrebbe essere chiara l'utilità del teorema vediamone la dimostrazione.

Dimostrazione del teorema di Kronecker

La dimostrazione del teorema di Kronecker è molto discorsiva e ruota attorno alla definizione di rango di una matrice.

Sia A una matrice con m righe e n colonne e supponiamo che il rango di A sia uguale a p.

Dalla definizione di rango segue che p è l'ordine massimo dei minori non nulli che si possono estrarre da A, cioè esiste almeno un minore non nullo di ordine p e tutti i minori di ordine maggiore di p sono nulli. Di conseguenza sono nulli anche i minori orlati di ordine p+1.

Viceversa, supponiamo che esista un minore non nullo di ordine p tale che tutti i minori orlati siano nulli. Stiamo cioè supponendo che esista una sottomatrice A' \mbox{ di } A di ordine p con determinante diverso da zero e che tutte le sottomatrici orlate di A' abbiano determinante uguale a zero.

Dobbiamo dimostrare che il rango di A è p. Procediamo con una dimostrazione per assurdo e supponiamo che il rango di A non sia p.

Avendo supposto che esiste un minore di ordine p non nullo, siamo sicuri dell'esistenza di almeno p colonne di A linearmente indipendenti, dunque il rango di A non può essere minore di p. Dovendo essere diverso da p è per lo meno uguale a p+1, ossia \mbox{rk}(A)\ge p+1.

Possiamo allora trovare una (p+1)-esima colonna e una (p+1)-esima riga da aggiungere alle p colonne e alle p righe della sottomatrice A' in modo da ottenere un minore non nullo di ordine p+1.

In questo modo abbiamo ottenuto un minore orlato non nullo di ordine p+1 e ciò va contro l'ipotesi. Essendo giunti a un assurdo abbiamo la tesi.

Per concludere, è bene precisare che l'eliminazione gaussiana consente di calcolare più velocemente il rango di una matrice rispetto all'applicazione del teorema di Kronecker, soprattutto quando l'ordine della matrice è grande.
Ringraziano: Galois, CarFaby, Shade, dany4president, Fedro93, 3²+4²=5²
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Os