Problema di Cauchy con edo del primo ordine

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Problema di Cauchy con edo del primo ordine #72843

avt
albydella
Cerchio
Ciao a tutti! Dovrei studiare questo problema di Cauchy con un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine

y'= -2xy ; y(0) = a

con a ≠ 0. Posso usare il teorema delle equazioni a variabili separate? Come devo agire?
 
 

Problema di Cauchy con edo del primo ordine #72844

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao albydella emt

Il tempo di scrivere la risposta e sono da te.

emt

Problema di Cauchy con edo del primo ordine #72845

avt
albydella
Cerchio
grazie mille ifrit gentilissimo come sempre!!!

Problema di Cauchy con edo del primo ordine #72846

avt
Ifrit
Amministratore
Cominciamo col dire che qui ci troviamo di fronte ad una famiglia di problemi di Cauchy

(PC):y'= -2 x y ; y(0) = a con a ne 0

In esso compare un'equazione differenziale a variabili separabili, ovvero un'equazione differenziale del tipo:

y'= a(x) b(y)

In spoiler riporto il teorema sulle equazioni differenziali a variabili separabili.

Consideriamo l'equazione differenziale:

y'(x) = a(x)b(y)

dove

• , ,a:I → R è una funzione continua, I intervallo aperto e non vuoto di R.

• , , b:J → R è una funzione continua con derivata prima continua con J è un intervallo aperto non vuoto di R.

Sotto queste condizioni il problema di Cauchy:

y'= a(x) b(y) ; y(x_0) = y_0

ammette un'unica soluzione in piccolo, comunque sia dato (x_0, y_0)∈ I×J.


Ok, dopo questa premessa, passiamo al nostro esercizio. Nel nostro caso:

a(x) = -2 x che è una funzione continua in I = R

b(y) = y che è una funzione continua e con derivata rispetto ad y continua in J = R

Quindi per ogni condizione iniziale y(x_0) = y_0 il problema di Cauchy ammetterà un'unica soluzione, almeno locale.

Nel nostro caso le condizioni iniziali sono y(0) = a, ovvero x_0 = 0, y_0 = a

Quando abbiamo una equazione differenziale a variabili separabili, dobbiamo prima di tutto determinare le soluzioni costanti. Esse si ottengono risolvendo l'equazione:

b(y) = 0 ⇔ y = 0

La funzione y = 0 è la soluzione costante dell'equazione differenziale, ma non del problema di Cauchy, visto che non rispetta la condizione iniziale.

Per y ne 0 possiamo dividere membro a membro per y.

Osservazione importante: poiché y non può essere mai zero allora y > 0 oppure y < 0 per ogni x, ovvero la funzione soluzione è sempre positiva o è sempre negativa, non può avere segno variabile. Come si sceglie se y<0 o y>0? Dipende dalla condizione iniziale emt, vedrai dopo come fare.

(y')/(y) = -2 x

Integrando membro a membro rispetto alla propria variabile:

∫ (1)/(y)dy = ∫-2 x dx

dove:

• , ,∫ (dy)/(y) = ln|y|+k

• , ,∫-2 x dx = -2·(x^2)/(2)+c = -x^2+c

Uguagliamo le due espressioni:

ln|y| = -x^2+C dove C = c-k,

ho semplicemente sommato tra loro le costanti e ho dato un nome diverso alla loro somma.

Il nostro obiettivo è sempre lo stesso, ottenere y, proprio per questo motivo, applico membro a membro l'esponenziale, così mi libero del logaritmo al primo membro.

|y| = e^(-x^2+C) ⇔ |y| = e^(-x^2)e^(C) (1)

Ora dobbiamo far intervenire la condizione iniziale:

• , ,Se a > 0 allora sostituiendo ad x 0 e ad y a:

|a| = e^(C)

Poiché a > 0 si ha che y(0) = a > 0, poiché in un punto la funzione y è positiva allora per quello che abbiamo detto nell'osservazione, essa sarà sempre positiva. Inoltre per definizione di valore assoluto,

|a| = a pertanto:

|a| = e^(C) ⇔ a = e^(C) ⇒ C = ln(a)

Quindi sostituendo in (1)

|y| = a e^(-x^2) ⇒ y = a e^(-x^2)

Ho tolto il valore assoluto perché la funzione y è positiva.

Cosa succede se a < 0? Per prima cosa y(0) = a < 0 di conseguenza:

y < 0

di conseguenza:

|y| = e^(-x^2+C) ⇔ |y| = e^(-x^2)e^(C)

Sostituiamo ad y il valore a ed ad x il valore zero:

|a| = e^(C)

da cui

-a = e^(C) ⇒ C = ln(-a)

Sostituendo:

|y| = -a e^(-x^2)

Poiché y è negativa allora |y| = -y (definizione di valore assoluto).

-y = -a e^(-x^2)

Pertanto:

y = ae^(-x^2)

L'analisi è conclusa. Se hai dubbi, chiedi emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, CarFaby, albydella

Problema di Cauchy con edo del primo ordine #72851

avt
albydella
Cerchio
Grazie mille Ifrid! Tutto chiaro!
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Os