Gradiente di una funzione integrale in due variabili
Ciao a tutti! Dovrei studiare dominio e segno di una funzione integrale in due variabili e dovrai anche calcolarne il gradiente:
Per trovarne il gradiente devo prima svolgere l'integrale?
Grazie mille!
Ciao Albydella, il tempo di scrivere la risposta e sono da te. 
Abbiamo a che fare con una funzione particolare:
Per analizzarla, dobbiamo guardare in faccia cos'è quel "coso" al secondo membro.
è un integrale definito in cui la funzione integranda dipende da tre variabili:
Dal punto di vista della teoria dell'integrazione le variabili 
e 
sono considerati parametri, noi infatti stiamo integrando rispetto alla variabile t.
Purtroppo l'integrale in questione non si può calcolare esplicitamente nel senso che non si può esprimere come composizione di funzioni elementari.
Dobbiamo cambiare proprio approccio. Tieni in considerazione che:
1. Fissati 
la funzione è una funzione continua.
2. L'integrale definito di una funzione continua esiste ed è finito.
Questo ci permette di asserire che l'integrale in questione esiste per ogni 
Il dominio della funzione 
è 
.
Segno della funzione
Per il segno della funzione dobbiamo fare ancora affidamento alla teoria dell'integrazione.
Ricorda: se hai una funzione continua e positiva ![h:[a,b] → R](data:image/gif;base64,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){kind=small}
e allora:
.
Nel nostro caso, la funzione integranda è
ed è continua e positiva in ![[1, 2]](data:image/gif;base64,R0lGODlhIQATAOMAAP///wAAANDQ0EBAQKCgoMDAwICAgGBgYODg4DAwMFBQUHBwcPDw8LCwsBAQEJCQkCH5BAEAAAAALAAAAAAhABMAAASZUIxBgL0467xmMVsoasOXCcmIPcaiCFgJWp8RqNbD0AFsyZnCDTdoXByHCxAjxAEciktioDQxhyrEzhJYVGeXpvNCcGwByzDWyUj4flb12LJ4w8G8OcF+D65HAm9gaXkYAgpnFgIGBY0Ng3EfCl0GCBYNDkYYCQGdnZpocSoFc4QiDHwjpiGkpQUHBZaniYAFCQgGjHMqBLkRADs=){kind=small}
indipendentemente dal valore di 
conseguentemente possiamo concludere che la funzione
.
Ti lascio la dimostrazione del teorema che ho utilizzato.
Sia una funzione continua in ![[a,b]](data:image/gif;base64,R0lGODlhIQASAOMAAP///wAAACIiIjAwMIqKimJiYnR0dBYWFgQEBMzMzLa2tp6enubm5lBQUEBAQAwMDCH5BAEAAAAALAAAAAAhABIAAAScEAAxiLw466KuGYMUaqSmCIE2jmUrLYIqunTTyABLk8eC64BCwUA4uBgBAqFgmeUwAoMImCEEEhIEw8kyGEXSluOW9T3PAEQ4jW09zMjOeZS4ShSIY2ALsF5WdykSBTFmGgl5EgJkcxdaAAwHN1IJA3wXDy9fXBcLDUqVBVsKAWsvnwUZgDt9rI2sTTurNAuXNLMusbKKFa40HwMRADs=){kind=small}
. Se 
allora:
Dimostrazione
La funzione 
soddisfa l'ipotesi del teorema della media integrale dunque esiste 
tale che:
Poiché per ipotesi è una funzione positiva allora 
così come è positiva la differenza (b-a), pertanto:
CVD
Calcolo delle derivate parziali.
Qui devo far intervenire un teorema molto particolare che prende il nome di teorema di passaggio della derivata sotto il segno di integrale. Prima di procedere però ho bisogno di sapere se tu lo hai affrontato a lezione e soprattutto se è chiaro quello che ho scritto fino ad ora.
In realtà esistono diversi teoremi che permettono il passaggio dell'operatore di derivata parziale sotto il segno di integrale.
Ti scrivo quello che andrò ad utilizzare.
Sia ![f(x,t):I×[a,b] → R](data:image/gif;base64,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){kind=small}
una funzione di due variabili continua in ![I×[a,b]](data:image/gif;base64,R0lGODlhQQASAOMAAP///wAAAO7u7nZ2diIiIlRUVKqqqjIyMpiYmLq6utzc3BAQEGZmZkRERIiIiMzMzCH5BAEAAAAALAAAAABBABIAAAT7EMhJq722FYP7dM+EFMUkDESweSxVttfTBNY7HTbM5vqUNLVKANFr8YqDQdAXUHQUDksigTn2DtRKbrBgDaITg1XCczgQhoNHEDAYHBwy5cBofSViT65BBJA8Bk0SCwJyEmxxXnBjEzYIamR9GAxKg1k2gYUwDQRGEwuSC04dBFlsIX4TDJ0wYkk7EgqCAA9dHWyagY0TBHUteQCvHS8PNBIOQFkWCrYADZWpALKJHcASwhc2hAACB0pECgWavBIJkGQnBwF8HuEWA8paPgNu4Q6FxZLl9GC7Rf+MKlDT8w+gjoHDChYJ6GMcLIU6GOLpIRGiBA0IFY4oEAEAOw==){kind=small}
Se 
, esiste 
ed è continua in 
allora vale la seguente relazione:
Questo teorema ci permetterà di calcolare le derivate parziali e dunque il gradiente della funzione:
![(partial)/(partial x)∫_(1)^(2)e^(x yt^2) dt = ∫_(1)^(2)(partial)/(partial x)[e^(x y t^2)]dt](/images/joomlatex/3/b/3baf33dd620492294f0beebfb9edd23b.gif)
La derivata parziale rispetto ad della funzione integranda è:
![(partial)/(partial x)[e^(x y t^2)] = e^(t^2 x y)t^2 y](/images/joomlatex/2/d/2d3cdef818cb0f5fcb5b1d303531456d.gif)
Dunque:
![(partial)/(partial x)∫_(1)^(2)e^(x yt^2) dt = ∫_(1)^(2)(partial)/(partial x)[e^(x y t^2)]dt = ∫_(1)^(2)e^(t^2 x y)t^2 ydt](/images/joomlatex/b/8/b8305f19af2ee147babbd1cc17f24b62.gif)
Procedendo allo stesso modo per la variabile y:
![(partial)/(partial y)∫_(1)^(2)e^(x yt^2) dt = ∫_(1)^(2)(partial)/(partial y)[e^(x y t^2)]dt = ∫_(1)^(2)e^(t^2 x y)t^2 xdt](/images/joomlatex/1/3/13fe341896bbae280ea205f9fa15f0db.gif)
Spero sia chiaro.
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