Gradiente di una funzione integrale in due variabili

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Gradiente di una funzione integrale in due variabili #72761

avt
albydella
Cerchio
Ciao a tutti! Dovrei studiare dominio e segno di una funzione integrale in due variabili e dovrai anche calcolarne il gradiente:

f(x,y)=\int_{1}^{2}e^{xyt^{2}} dt

Per trovarne il gradiente devo prima svolgere l'integrale?

Grazie mille!
 
 

Gradiente di una funzione integrale in due variabili #72762

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Albydella, il tempo di scrivere la risposta e sono da te. emt

Gradiente di una funzione integrale in due variabili #72764

avt
Ifrit
Amministratore
Abbiamo a che fare con una funzione particolare:

f(x,y)=\int_{1}^{2}e^{x y t^2}dt

Per analizzarla, dobbiamo guardare in faccia cos'è quel "coso" al secondo membro.

\bullet\,\,\int_{1}^{2}e^{xyt^2}dt è un integrale definito in cui la funzione integranda dipende da tre variabili:

h(t)=e^{x y t^2}

Dal punto di vista della teoria dell'integrazione le variabili x e y sono considerati parametri, noi infatti stiamo integrando rispetto alla variabile t.

Purtroppo l'integrale in questione non si può calcolare esplicitamente nel senso che non si può esprimere come composizione di funzioni elementari.

Dobbiamo cambiare proprio approccio. Tieni in considerazione che:

1. Fissati x,y\in\mathbb{R} la funzione h(t)=e^{x y t^2} è una funzione continua.

2. L'integrale definito di una funzione continua esiste ed è finito.

Questo ci permette di asserire che l'integrale in questione esiste per ogni (x,y)\in\mathbb{R}^2

Il dominio della funzione f(x,y) è \mathbb{R}^2.

Segno della funzione

Per il segno della funzione dobbiamo fare ancora affidamento alla teoria dell'integrazione.

Ricorda: se hai una funzione continua e positiva h:[a,b]\to \mathbb{R} e allora:

\int_{a}^{b}h(t)dt>0.


Nel nostro caso, la funzione integranda è

h(t)=e^{x y t^2}

ed è continua e positiva in [1, 2] indipendentemente dal valore di x,y

conseguentemente possiamo concludere che la funzione

f(x,y)=\int_{1}^{2}e^{x y t^2}dt>0\quad\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2.


Ti lascio la dimostrazione del teorema che ho utilizzato.

Sia h:[a,b]\to \mathbb{R} una funzione continua in [a,b]. Se h(t)>0\quad\forall t\in (a,b) allora:

\int_{a}^{b}h(t)dt>0

Dimostrazione

La funzione h(t) soddisfa l'ipotesi del teorema della media integrale dunque esiste t_0\in (a,b) tale che:

\int_{a}^{b}h(t)dt= h(t_0) (b-a)

Poiché per ipotesi h(t) è una funzione positiva allora h(t_0)>0 così come è positiva la differenza (b-a), pertanto:

\int_{a}^{b}h(t)dt= h(t_0) (b-a)>0

CVD


Calcolo delle derivate parziali.

Qui devo far intervenire un teorema molto particolare che prende il nome di teorema di passaggio della derivata sotto il segno di integrale. Prima di procedere però ho bisogno di sapere se tu lo hai affrontato a lezione e soprattutto se è chiaro quello che ho scritto fino ad ora.
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby

Gradiente di una funzione integrale in due variabili #72765

avt
albydella
Cerchio
Grazie mille Ifrit!
Ho capito, non dovevo perdermi nel calcolo dell'integrale e cercando dove si annullava/dove era positivo/negativo!
A volte non so fare un ragionamento "teorico" sulla funzione (prendi con le pinze quel teorico).
Ad ogni modo, non ho affrontato il teorema di passaggio della derivata sotto il segno di integrale. Forse è proprio per questo che avevo difficoltà nel calcolo del gradiente!
Grazie

Gradiente di una funzione integrale in due variabili #72766

avt
Ifrit
Amministratore
In realtà esistono diversi teoremi che permettono il passaggio dell'operatore di derivata parziale sotto il segno di integrale.

Ti scrivo quello che andrò ad utilizzare.

Sia f(x,t):I\times [a,b]\to \mathbb{R} una funzione di due variabili continua in I\times [a,b]

Se \forall (x,t)\in I\times (a,b), esiste f_{x}(x,t) ed è continua in I\times(a,b) allora vale la seguente relazione:

\frac{\partial}{\partial x}\int_{a}^{b}f(x,t)dt= \int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt

Questo teorema ci permetterà di calcolare le derivate parziali e dunque il gradiente della funzione:

\frac{\partial}{\partial x}\int_{1}^{2}e^{x yt^2} dt=\int_{1}^{2}\frac{\partial}{\partial x}[e^{x y t^2}]dt

La derivata parziale rispetto ad x della funzione integranda è:

\frac{\partial}{\partial x}[e^{x y t^2}]=e^{t^2 x y}t^2 y

Dunque:

\frac{\partial}{\partial x}\int_{1}^{2}e^{x yt^2} dt=\int_{1}^{2}\frac{\partial}{\partial x}[e^{x y t^2}]dt= \int_{1}^{2}e^{t^2 x y}t^2 ydt


Procedendo allo stesso modo per la variabile y:

\frac{\partial}{\partial y}\int_{1}^{2}e^{x yt^2} dt=\int_{1}^{2}\frac{\partial}{\partial y}[e^{x y t^2}]dt= \int_{1}^{2}e^{t^2 x y}t^2 xdt


Spero sia chiaro. emt
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby

Gradiente di una funzione integrale in due variabili #72841

avt
albydella
Cerchio
Grazie mille Ifrit!
Ho capito come procedere e ci proverò anche con le derivate seconde!
Grazie ancora!!
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Os