Integrale triplo per il volume dell'intersezione di due cilindri

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Integrale triplo per il volume dell'intersezione di due cilindri #72360

avt
albydella
Cerchio
Ciao a tutti, sto cercando di calcolare l'integrale triplo per il volume di un insieme dato dall'intersezione di due cilindri.

Si tratta di calcolare il volume dell'insieme E così composto:

E=\left\{(x,y,z)^T:x^2+z^2\leq 1, y^2+z^2\leq 1\right\}

il mio problema principale non sono i calcoli dell'integrale triplo, ma il capire (senza l'uso di Grapher emt ) che figura sia E e individuare gli estremi di integrazione!

In questo caso, ad esempio, l'intuito mi porta a pensare di integrare per sezioni ma...tra cosa?! emt

Grazie mille!
 
 

Integrale triplo per il volume dell'intersezione di due cilindri #72376

avt
Omega
Amministratore
La prima cosa da fare è interpretare geometricamente il dominio a occhio. In generale non è sempre possibile, in pratica in una buona parte degli esercizi assegnati in sede d'esame...lo è. emt

Osserviamo che le disequazioni

x^2+z^2\leq 1

y^2+z^2\leq 1

individuano rispettivamente il cilindro con asse di simmetria l'asse delle z ed il cilindro con asse di simmetria l'asse delle y.

Come possiamo capirlo? Bé, in realtà dovremmo sapere che in \mathbb{R}^3 un'equazione del tipo

x^2+z^2=1

individua un cilindro, infatti nel piano Oxz essa individua una circonferenza; al variare di y\in\mathbb{R} tale circonferenza genera la superficie del cilindro, costruita sezione per sezione.

Discorso analogo nel caso di y^2+z^2\leq 1.

Ok emt l'insieme di cui vogliamo calcolare il volume è dato dall'intersezione tra questi due cilindri

intersezione tra due cilindri


Scriverne gli estremi ad occhio purtroppo non è semplice, dunque non possiamo fare altro che procedere con una trascrizione puramente algebrica, e confrontare poi gli estremi di integrazione ottenuti con l'interpretazione grafica.

Scriviamo le due condizioni che individuano E

\begin{cases}x^2+z^2\leq 1\\ y^2+z^2\leq 1\end{cases}

nella forma

\begin{cases}z^2\leq 1-x^2\\ z^2\leq 1-y^2\end{cases}

Possiamo riassumere il tutto in un'unica disequazione facendo uso della funzione minimo, che è preziosissima quando si tratta di integrali doppi e tripli.

z^2\leq \min(1-x^2,1-y^2)

La funzione minimo è utilissima perché permette di disaccoppiare gli estremi di integrazione con estrema facilità. In pratica dobbiamo passare all'unione di due sistemi:

- nel primo riscriviamo la condizione scegliendo un valore minimo ed imponendo la condizione per cui esso sia effettivamente il minimo;

- nell'altro riscriviamo la condizione prendendo l'altro valore minimo ed imponendo la condizione per cui esso sia effettivamente minimo.

Forse è più facile in simboli emt

\begin{cases}z^2\leq 1-x^2\\ 1-x^2\leq 1-y^2\end{cases}\ \cup\ \begin{cases}z^2\leq 1-y^2\\ 1-y^2\leq 1-x^2\end{cases}

Digerito il precedente passaggio, siamo ad un passo dagli estremi di integrazione.

Lavoriamo sul primo sistema

\begin{cases}z^2\leq 1-x^2\\ 1-x^2\leq 1-y^2\end{cases}

La prima condizione si riscrive banalmente come segue

\begin{cases}-\sqrt{1-x^2}\leq z\leq +\sqrt{1-x^2}\\ 1-x^2\leq 1-y^2\end{cases}

al che scopriamo che essa sottintende una condizione di esistenza su x, quella che garantisce l'esistenza della radice. Scriviamola esplicitamente

\begin{cases}-\sqrt{1-x^2}\leq z\leq +\sqrt{1-x^2}\\ 1-x^2\geq 0 \\ 1-x^2\leq 1-y^2\end{cases}

Lavoriamo sulla terza condizione con semplici passaggi algebrici

\begin{cases}-\sqrt{1-x^2}\leq z\leq +\sqrt{1-x^2}\\ 1-x^2\geq 0 \\ y^2\leq x^2\end{cases}

In sintesi abbiamo

\begin{cases}-\sqrt{1-x^2}\leq z\leq +\sqrt{1-x^2}\\ -1\leq x\leq +1 \\ y^2\leq x^2\end{cases}

Che cosa individua l'ultima condizione? Senza diventare matti tra radici e passaggi algebrici, dovremmo sapere che l'equazione y^2=x^2 individua una coppia di rette nel piano cartesiano ed in particolare le due bisettrici dei quadranti

y^2=x^2\ \to\ y=\pm x

La disequazione y^2\leq x^2 individua la regione piana compresa tra le due bisettrici

y^2 minore o uguale a x^2


Tenendo conto della seconda condizione del sistema e ricordandoci quale equazione individua la rispettiva bisettrice, notiamo che

- se -1\leq x\leq 0, la disequazione y^2\leq x^2 si traduce in +x\leq y\leq -x

- se 0\leq x\leq +1, la disequazione y^2\leq x^2 si traduce in -x\leq y\leq +x

condizioni che in sede di integrazione andranno utilizzate per tradurre l'integrale in y nella somma di due integrali, ma che al momento per brevità possiamo scrivere in modo compatto sfruttando la definizione di valore assoluto

\begin{cases}-\sqrt{1-x^2}\leq z\leq +\sqrt{1-x^2}\\ -1\leq x\leq +1 \\ -|x|\leq y\leq +|x|\end{cases}


Secondo sistema

\begin{cases}z^2\leq 1-y^2\\ 1-y^2\leq 1-x^2\end{cases}

Ragionamenti del tutto analoghi ai precedenti permettono di scrivere

\begin{cases}-\sqrt{1-y^2}\leq z\leq +\sqrt{1-y^2}\\ -1\leq y\leq +1 \\ -|y|\leq x\leq +|y|\end{cases}

nota che in questo caso la disequazione coinvolta è x^2\leq y^2, che individua l'insieme

y^2 maggiore o uguale a x^2



Abbiamo finito: non resta che scrivere gli estremi di integrazione nell'integrale triplo per il volume di E

V(E)=\iiint_{E}dxdydz=

=\int_{-1}^{+1}\int_{-|x|}^{+|x|}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{+\sqrt{1-x^2}}dzdydx+ \int_{-1}^{+1}\int_{-|y|}^{+|y|}\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{+\sqrt{1-y^2}}dzdxdy

Ecco fatto! emt

_______________________
Ti lascio il link per una lettura di approfondimento che potrebbe tornarti utile per esercizi simili: come rappresentare le soluzioni di una disequazione nel piano.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby

Integrale triplo per il volume dell'intersezione di due cilindri #72477

avt
albydella
Cerchio
Grazie mille Omega!!
Speravo fosse molto più semplice la risoluzione! Specie il passaggio dello sdoppiamento in due sistemi utilizzando la funzione minimo.

Ad ogni modo, ora mi trovo in pratica con la somma di questi due integrali:

4\int_{-1}^{1}|x|*\sqrt{1-x^2} dx + 4\int_{-1}^{1}|y|*\sqrt{1-y^2} dy

Non ho mai lavorato con il valore assoluto nell'integrale e ho un po di difficoltà... Come posso farlo?
Grazie!

Integrale triplo per il volume dell'intersezione di due cilindri #72484

avt
Omega
Amministratore
In realtà non è difficile: la funzione minimo è solamente uno strumento molto comodo che permette di cavarsela egregiamente.

Ci sono dei metodi alternativi per il calcolo dell'integrale triplo, ma confesso che ho preferito seguire il precedente metodo proprio per allenarti sulla riscrittura degli estremi di integrazione - che poi è la parte più importante dell'esercizio. emt

Ora, arrivato a

4\int_{-1}^{1}|x|\sqrt{1-x^2} dx + 4\int_{-1}^{1}|y|\sqrt{1-y^2} dy=

ti faccio notare che, al di là della variabile di integrazione (variabile muta), i due integrali sono uguali. Quindi possiamo limitarci a calcolare

8\int_{-1}^{1}|x|\sqrt{1-x^2} dx=\bullet

Per sbarazzarci del valore assoluto è sufficiente ricordarne la definizione

|x|:=\begin{cases}+x\mbox{ se }x\geq 0\\ -x\mbox{ se }x<0\end{cases}

quindi se spezziamo opportunamente l'intervallo di integrazione

\bullet=8\left[\int_{-1}^{0}|x|\sqrt{1-x^2} dx+\int_{0}^{1}|x|\sqrt{1-x^2} dx\right]

possiamo sfruttare la definizione di cui sopra

\bullet=8\left[\int_{-1}^{0}(-x)\sqrt{1-x^2} dx+\int_{0}^{1}(+x)\sqrt{1-x^2} dx\right]=\bullet

e calcolare i due integrali. emt Io sono computazionalmente pigro e se posso evitare i calcoli, li evito emt quindi ti faccio osservare che nel primo addendo

\int_{-1}^{0}(-x)\sqrt{1-x^2} dx

se sostituiamo z=x, abbiamo come differenziale dz=-dx e come nuovi estremi x=-1\ \to\ z=1 e x=0\ \to\ z=0

\int_{+1}^{0}z\sqrt{1-z^2} (-dz)

per una nota proprietà degli integrali possiamo sfruttare il segno meno per invertire gli estremi di integrazione

\int_{0}^{+1}z\sqrt{1-z^2} dz

quindi tornando a \bullet

\bullet=8\left[\int_{0}^{+1}z\sqrt{1-z^2} dz+\int_{0}^{1}(+x)\sqrt{1-x^2} dx\right]=

e anche in questo caso, al netto della variabile muta, abbiamo la somma tra due integrali uguali

=16\int_{0}^{1}(+x)\sqrt{1-x^2} dx=

per calcolarlo scriviamo la radice come potenza con esponente fratto

=16\int_{0}^{1}(1-x^2)^{\frac{1}{2}}\cdot x dx=

e ci riconduciamo all'integrale fondamentale della potenza di una funzione. Dobbiamo solo "aggiustare" il secondo fattore in modo che sia la derivata della base

=16\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \int_{0}^{1}(1-x^2)^{\frac{1}{2}}\cdot (-2x) dx=

=-8\left[\frac{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^1=\frac{16}{3}

ecco fatto. emt
Ringraziano: Ifrit, CarFaby

Integrale triplo per il volume dell'intersezione di due cilindri #72548

avt
albydella
Cerchio
Grazie mille Omega!
Ho capito quasi tutto! emt emt
Grazie!
Ringraziano: Omega
  • Pagina:
  • 1
Os