Problema di massimizzazione di un'area

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Problema di massimizzazione di un'area #72300

avt
albydella
Cerchio
Ciao a tutti! Stavo risolvendo un problema di massimizzazione delle aree e ho qualche dubbio sul procedimento: si tratta di costruire un canale di scolo dell'acqua con un pezzo di lamiera largo L, e si vuole dare al canale una forma trapezoidale tale che permetta il massimo afflusso di acqua.

In pratica si chiede di massimizzare l'area di un trapezio privo di base maggiore.

Io ho proceduto chiamando x il lato obliquo del trapezio, e y la sua altezza.
Ne risulta quindi che L=2x + base minore e l'area è la nostra funzione in due variabili:

f(x,y)=(L-2x)y - y\sqrt{x^2-y^2}

La variabile x sarà compresa tra \left[0,L/2\right] e y sarà compresa tra \left[0,x\right]

Sono sulla strada giusta? Come posso svolgere l'esercizio?
 
 

Problema di massimizzazione di un'area #72302

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Albydella emt

Dammi il tempo di raccogliere le idee (sono sparse ovunque emt ) e di scrivere la risposta. emt
Ringraziano: albydella

Problema di massimizzazione di un'area #72304

avt
albydella
Cerchio
Ok Ifrit! Se mi sono espresso male dimmi pure!

Problema di massimizzazione di un'area #72318

avt
Ifrit
Amministratore
Nono, più che altro devo comprendere se il trapezio sia necessariamente isoscele. emt

Sappiamo che la lunghezza della lamiera è L di conseguenza la somma tra la base minore del trapezio isoscele e la lunghezza dei lati obliqui è costante e vale proprio L:

Detta x la lunghezza del lato obliquo, con y l'altezza e indicato con z la base minore del trapezio che

2x+z=L (implicitamente stiamo supponendo che il trapezio sia isoscele).

Da questo vincolo abbiamo che z=L-2x, ovvero che la base minore dipende essenzialmente dalla larghezza della lamiera, fissa, e dalla lunghezza dei lati obliqui. Per questioni geometriche dobbiamo pretendere che la lunghezza della base minore sia maggiore di zero (o al più uguale, in tal caso il trapezio degenera in un triangolo)

L-2x\ge 0 \implies 0\le x\le \frac{L}{2}

Abbiamo un vincolo sulla lunghezza dei lati obliqui. Nota inoltre che x\ge 0 sempre per questioni geometriche.

Abbiamo bisogno di trovare l'area del trapezio, e per farlo abbiamo bisogno di una proiezione del lato obliquo sulla base maggiore e per ottenerla possiamo applicare il teorema di Pitagora al triangolo che ha per cateti, la suddetta proiezione e l'altezza, e per ipotenusa il lato obliquo:

pr_{x}=\sqrt{x^2-y^2}

La base maggiore misura:

B=2pr_{x}+z= 2\sqrt{x^2-y^2}+L-2x

A questo punto possiamo calcolare l'area con la formula:

A=f(x,y)=\frac{(B+b)\times h}{2}= \frac{ (2\sqrt{x^2-y^2}+L-2x+L-2x) y}{2}=

=\frac{(2\sqrt{x^2-y^2}+2L-4x)y}{2}=

\frac{2(\sqrt{x^2-y^2}+L-2x)y}{2}=

=(\sqrt{x^2-y^2}+L-2x)y

Abbiamo ottenuto una funzione di due variabili f(x,y) con vincolo

0\le x\le \frac{L}{2}

0\le y\le x

Dobbiamo studiare i massimi e i minimi di tale funzione sul triangolo

T=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: 0\le x\le \frac{L}{2}, 0\le y\le x\right\}

Studiamo gli estremi liberi che vivono dentro il triangolo in questione:

A questo punto calcoliamo le derivate parziali del primo ordine:

f_{x}(x,y)=y\left(\frac{x-2\sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{x^2-y^2}}\right)

f_{y}(x,y)= \frac{x^2-2y^2+ L\sqrt{x^2-y^2}-2x\sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{x^2-y^2}}

Ovviamente le derivate parziali del primo ordine sono definite per x^2-y^2\ne 0. Nei punti interni al triangolo le derivate parziali esistono tranquillamente.


Imponiamo che le derivate parziali siano nulle, così da determinare i punti stazionari:

\begin{cases}f_{x}(x,y)=0\\ f_{y}(x,y)=0\end{cases}

Dalla prima equazione,

y\left(\frac{x-2\sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{x^2-y^2}}\right)=0

per la legge di annullamento del prodotto, otteniamo che o

y=0

oppure

x-2\sqrt{x^2-y^2}=0

Osserva che se y=0 l'altezza del trapezio sarebbe nulla, quindi possiamo già escluderlo.

Controlliamo la seconda equazione:

x-2\sqrt{x^2-y^2}=0\implies x=2\sqrt{x^2-y^2}

Elevando al quadrato membro a membro:

x^2= 4 (x^2-y^2)\implies -3x^2= -4y^2\implies

x^2= \frac{4}{3}y^2\implies x=\sqrt{\frac{4}{3}}y

Nota infatti che per questioni geometriche sia x che y sono quantità positive.

Teniamo a mente questa informazione.

Consideriamo ora l'equazione:

f_{y}(x,y)=0

\frac{x^2-2 y^2+L\sqrt{x^2-y^2}-2x \sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{x^2-y^2}}=0

Dal primo sistema abbiamo scoperto che:

x=\sqrt{\frac{4}{3}}y

Sostituiamo! emt

Arriverai a scrivere:

L-2\sqrt{3}y=0\implies y=\frac{L}{2\sqrt{3}}

Poiché

x=\sqrt{\frac{4}{3}}y

x=\sqrt{\frac{4}{3}}\frac{L}{2\sqrt{3}}= \frac{L}{3}

Il valore è accettabile perché vive nel triangolo T. Abbiamo quindi trovato il punto stazionario interno al triangolo:

(x,y)= \left(\frac{L}{3}, \frac{L}{2\sqrt{3}}\right)


Oddio ora dobbiamo calcolare l'Hessiano. Nota che:

f_{xx}(x,y)=-\left(\frac{y^3}{(x^2-y^2)\sqrt{x^2-y^2}}\right)

che nel punto considerato

(x,y)= \left(\frac{L}{3}, \frac{L}{2\sqrt{3}}\right)

vale:

f_{xx}\left(\frac{L}{3},\frac{L}{2\sqrt{3}}\right)=-3\sqrt{3}

La derivata del secondo ordine rispetto ad y è:

f_{yy}(x,y)= \frac{-3 x^2 y+2 y^3}{(x^2-y^2)\sqrt{x^2-y^2}}

che nel punto considerato vale:

f_{yy}\left(\frac{L}{3}, \frac{L}{2\sqrt{3}}\right)=-6\sqrt{3}

Infine:

f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=\frac{x^3-2(x^2-y^2)\sqrt{x^2-y^2}}{(x^2-y^2)\sqrt{x^2-y^2}}

Valutandola nel solito punto:

f_{xy}\left(\frac{L}{3}, \frac{L}{2\sqrt{3}}\right)=6

Alla fine della fiera costruendo la matrice Hessiana nel punto considerato e calcolandone il determinante:

\mbox{det}(H_{f})=\mbox{det}\begin{pmatrix}-3\sqrt{3}& 6\\ 6&-6\sqrt{3}\end{pmatrix}=

=18

Poiché il determinante Hessiano è positivo e la derivata parziale rispetto ad x del secondo ordine è negativa allora il punto

\left(\frac{L}{3}, \frac{L}{2\sqrt{3}}\right)

è punto di massimo, il massimo vale:

M=f\left(\frac{L}{3}, \frac{L}{2\sqrt{3}}\right)= \frac{L^2}{4\sqrt{3}}

NOTA IMPORTANTE:

Studiare i massimi e minimi sul bordo del triangolo T avrebbe senso dal punto di vista analitico, ma non dal punto di vista ingegneristico.
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby

Problema di massimizzazione di un'area #72319

avt
albydella
Cerchio
Perfetto Ifrit!! Ho capito tutto! Il mio procedimento era giusto, solo mi ero demoralizzato da tutti quei calcoli emt
Grazie mille!
P.S. In effetti, dal punto di vista ingegneristico, avrei visto meglio un canale a semicerchio emt

Problema di massimizzazione di un'area #72321

avt
Ifrit
Amministratore
In effetti, una valanga di conti emt emt emt, ma proprio tanti.

Ad ogni modo, un po' di disegni:

Per L=1

Il grafico della funzione f(x,y) sul vincolo T:

grafico funzione massimo minimo interno allinsieme t


Inoltre il triangolo T è

triangolo t su cui trovare massimi e minimi
.

Rimarco ancora una cosa:

Se x=0 allora vuol dire che il trapezio ha lato obliquo degenere.

Se y=0 allora vuol dire che il trapezio ha altezza degenere.

Se x=\frac{L}{2} allora z=0 di conseguenza il trapezio collasserebbe in un triangolo.

Ecco perché lo studio di funzione sul bordo del triangolo T non avrebbe molto senso.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os