Problema di massimizzazione di un'area

Ciao a tutti! Stavo risolvendo un problema di massimizzazione delle aree e ho qualche dubbio sul procedimento: si tratta di costruire un canale di scolo dell'acqua con un pezzo di lamiera largo L, e si vuole dare al canale una forma trapezoidale tale che permetta il massimo afflusso di acqua.

In pratica si chiede di massimizzare l'area di un trapezio privo di base maggiore.

Io ho proceduto chiamando x il lato obliquo del trapezio, e y la sua altezza.
Ne risulta quindi che L=2x + base minore e l'area è la nostra funzione in due variabili:



La variabile x sarà compresa tra e y sarà compresa tra

Sono sulla strada giusta? Come posso svolgere l'esercizio?

Ciao Albydella

Dammi il tempo di raccogliere le idee (sono sparse ovunque ) e di scrivere la risposta.

Ok Ifrit! Se mi sono espresso male dimmi pure!

Nono, più che altro devo comprendere se il trapezio sia necessariamente isoscele.

Sappiamo che la lunghezza della lamiera è L di conseguenza la somma tra la base minore del trapezio isoscele e la lunghezza dei lati obliqui è costante e vale proprio L:

Detta la lunghezza del lato obliquo, con l'altezza e indicato con la base minore del trapezio che

(implicitamente stiamo supponendo che il trapezio sia isoscele).

Da questo vincolo abbiamo che , ovvero che la base minore dipende essenzialmente dalla larghezza della lamiera, fissa, e dalla lunghezza dei lati obliqui. Per questioni geometriche dobbiamo pretendere che la lunghezza della base minore sia maggiore di zero (o al più uguale, in tal caso il trapezio degenera in un triangolo)



Abbiamo un vincolo sulla lunghezza dei lati obliqui. Nota inoltre che sempre per questioni geometriche.

Abbiamo bisogno di trovare l'area del trapezio, e per farlo abbiamo bisogno di una proiezione del lato obliquo sulla base maggiore e per ottenerla possiamo applicare il teorema di Pitagora al triangolo che ha per cateti, la suddetta proiezione e l'altezza, e per ipotenusa il lato obliquo:



La base maggiore misura:



A questo punto possiamo calcolare l'area con la formula:









Abbiamo ottenuto una funzione di due variabili con vincolo





Dobbiamo studiare i massimi e i minimi di tale funzione sul triangolo



Studiamo gli estremi liberi che vivono dentro il triangolo in questione:

A questo punto calcoliamo le derivate parziali del primo ordine:





Ovviamente le derivate parziali del primo ordine sono definite per . Nei punti interni al triangolo le derivate parziali esistono tranquillamente.


Imponiamo che le derivate parziali siano nulle, così da determinare i punti stazionari:



Dalla prima equazione,



per la legge di annullamento del prodotto, otteniamo che o



oppure



Osserva che se l'altezza del trapezio sarebbe nulla, quindi possiamo già escluderlo.

Controlliamo la seconda equazione:



Elevando al quadrato membro a membro:





Nota infatti che per questioni geometriche sia x che y sono quantità positive.

Teniamo a mente questa informazione.

Consideriamo ora l'equazione:





Dal primo sistema abbiamo scoperto che:



Sostituiamo!

Arriverai a scrivere:



Poiché





Il valore è accettabile perché vive nel triangolo T. Abbiamo quindi trovato il punto stazionario interno al triangolo:




Oddio ora dobbiamo calcolare l'Hessiano. Nota che:



che nel punto considerato



vale:



La derivata del secondo ordine rispetto ad y è:



che nel punto considerato vale:



Infine:



Valutandola nel solito punto:



Alla fine della fiera costruendo la matrice Hessiana nel punto considerato e calcolandone il determinante:





Poiché il determinante Hessiano è positivo e la derivata parziale rispetto ad x del secondo ordine è negativa allora il punto



è punto di massimo, il massimo vale:



NOTA IMPORTANTE:

Studiare i massimi e minimi sul bordo del triangolo T avrebbe senso dal punto di vista analitico, ma non dal punto di vista ingegneristico.

Perfetto Ifrit!! Ho capito tutto! Il mio procedimento era giusto, solo mi ero demoralizzato da tutti quei calcoli
Grazie mille!
P.S. In effetti, dal punto di vista ingegneristico, avrei visto meglio un canale a semicerchio

In effetti, una valanga di conti , ma proprio tanti.

Ad ogni modo, un po' di disegni:

Per L=1

Il grafico della funzione sul vincolo :



Inoltre il triangolo è

.

Rimarco ancora una cosa:

Se allora vuol dire che il trapezio ha lato obliquo degenere.

Se allora vuol dire che il trapezio ha altezza degenere.

Se allora di conseguenza il trapezio collasserebbe in un triangolo.

Ecco perché lo studio di funzione sul bordo del triangolo non avrebbe molto senso.