Integrazione tripla per il volume di un insieme

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Integrazione tripla per il volume di un insieme #72217

avt
albydella
Cerchio
Ciao! Vorrei sottoporvi un problema di integrazione tripla per calcolare il volume di un solido, definito dall'insieme

E= \left\{(x,y,z)^{T}\ :\ x^{2}+y^{2}-1\leq z^{2}\leq 1\right\}

Ora, so che si tratta di un iperboloide a due falde e due semplici piani, e credo sia più conveniente integrare per corde! Il problema è che non ci riesco emt
Mi date una mano?
Grazie!
 
 

Integrazione tripla per il volume di un insieme #72218

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Albydella emt

Il tempo di scrivere per bene la risposta e arrivo. emt

Integrazione tripla per il volume di un insieme #72228

avt
Ifrit
Amministratore
Dobbiamo determinare il volume dell'insieme:

E=\left\{(x,y,z)^{t}\in\mathbb{R}^{3}: x^2+y^2-1\le z^2\le 1\right\}

In effetti è la parte di piano limitata dalla superficie di equazione:

x^2+y^2-1=z^2

è un iperboloide ad una falda infatti l'equazione si riscrive in forma canonica come:

x^2+y^2-z^2=1

e dai piani z=-1 e z=1

In particolare la disequazione z^2\le 1 ci fornisce un vincolo su tale variabile:

z^2\le 1\implies -1\le z\le 1

Ecco l'immagine dell'insieme:

volume solido integrale triplo



Per determinare il volume dovremo quindi risolvere l'integrale triplo:

\iiint_{E}1 dxdydz


Questo disegno ci fa intuire che l'integrazione per fili non sia esattamente la strada migliore, sarebbe meglio procedere per integrando per strati, dunque dobbiamo riscrivere l'integrale nella forma:

\int_{z_0}^{z_1}\left[\iint_{E_{z}} 1 dxdy\right] dz

In particolare sappiamo già che z_0=-1 e z_1=1, dobbiamo capire che cos'è E_{z}.

Dal punto di vista geometrico E_{z} è la proiezione sul piano x y dell'intersezione tra E e il piano z=z_2 con z_2\in [-1,1]

E_{z}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2-1\le z^2 \right\}

Osserva che nel piano l'equazione:

x^2+y^2-1\le z^2\implies x^2+y^2\le z^2+1

è la parte di piano limitata dalla circonferenza di equazione:

x^2+y^2=1+z^2

ovvero una circonferenza di centro (0,0) e raggio R=\sqrt{1+z^2} con z\in [-1,1].

L'integrale dunque si riscrive come:

\int_{-1}^{1}\left[\iint_{E_{z}}1 dx dy\right] dz

Risolviamo prima di tutto l'integrale doppio interno:

\iint_{E_{z}}1dx dy

Per come è fatto E_{z} sarà utile passare alle coordinate polari.

Poniamo quindi:

x=r\cos(t)

y=r\sin(t)

dove il dominio naturale di r è [0, +\infty) mentre t varia in [0, 2\pi)

] Naturalmente dobbiamo riscrivere il dominio di integrazione trasformato. Basta sostituire ad x l'espressione r\cos(t) e ad y l'espressione r\sin(t) ma dove? Nella condizione che definisce E_{z}, ovvero:

x^2+y^2\le 1+z^2

Sostituiamo! emt

r^2\cos^2(t)+r^2\sin^2(t)\le 1+z^2

Mettiamo in evidenza r^2

r^{2}(\cos^2(t)+\sin^2(t))\le 1+z^2

Per la relazione fondamentale della trigonometria:

\cos^2(t)+\sin^2(t)=1\quad \forall t\in [0,2\pi)

]Quindi la disequazione si riscrive come:

r^2\le 1+z^2\implies 0\le r\le \sqrt{1+z^2}

Lo Jacobiano associato alla trasformazione è:

|J|=r

Pertanto l'integrale doppio si riscrive come:

\iint_{E_{z}}dxdy= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{z^2+1}}rdr dt=

=\int_{0}^{2\pi}\left[\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{\sqrt{z^2+1}}dt=

=\int_{0}^{2\pi}\frac{z^2+1}{2}dt= \pi (z^2+1)

Perfetto, non ci rimane altro che dare il colpo di grazia emt

\int_{-1}^{1}\overbrace{\left[\iint_{E_{z}}1 dx dy\right]}^{\pi(z^2+1)} dz

\int_{-1}^{1}\pi(z^2+1)dz= \pi \left[\frac{z^3}{3}+z\right]_{-1}^{1}= \frac{8}{3}\pi
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, CarFaby, albydella

Re: Integrazione tripla per il volume di un insieme #72293

avt
albydella
Cerchio
Grazie mille Ifrit!!
Probabilmente non ho ancora molta dimestichezza sulle coordinate polari, e mi perdevo in quel passaggio.
Tutto compreso a meraviglia comunque! Grazie ancora!
Ringraziano: Ifrit

Re: Integrazione tripla per il volume di un insieme #72296

avt
Ifrit
Amministratore
Grazie a te emt
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Os