Integrazione tripla per il volume di un insieme

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Integrazione tripla per il volume di un insieme #72217

avt
albydella
Cerchio
Ciao! Vorrei sottoporvi un problema di integrazione tripla per calcolare il volume di un solido, definito dall'insieme

E = (x,y,z)^(T) : x^(2)+y^(2)-1 ≤ z^(2) ≤ 1

Ora, so che si tratta di un iperboloide a due falde e due semplici piani, e credo sia più conveniente integrare per corde! Il problema è che non ci riesco emt
Mi date una mano?
Grazie!
 
 

Integrazione tripla per il volume di un insieme #72218

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Albydella emt

Il tempo di scrivere per bene la risposta e arrivo. emt

Integrazione tripla per il volume di un insieme #72228

avt
Ifrit
Amministratore
Dobbiamo determinare il volume dell'insieme:

E = (x,y,z)^(t)∈R^(3): x^2+y^2-1 ≤ z^2 ≤ 1

In effetti è la parte di piano limitata dalla superficie di equazione:

x^2+y^2-1 = z^2

è un iperboloide ad una falda infatti l'equazione si riscrive in forma canonica come:

x^2+y^2-z^2 = 1

e dai piani z = -1 e z = 1

In particolare la disequazione z^2 ≤ 1 ci fornisce un vincolo su tale variabile:

z^2 ≤ 1 ⇒-1 ≤ z ≤ 1

Ecco l'immagine dell'insieme:

volume solido integrale triplo



Per determinare il volume dovremo quindi risolvere l'integrale triplo:

iiint_(E)1 dxdydz


Questo disegno ci fa intuire che l'integrazione per fili non sia esattamente la strada migliore, sarebbe meglio procedere per integrando per strati, dunque dobbiamo riscrivere l'integrale nella forma:

∫_(z_0)^(z_1)[ iint_(E_(z)) 1 dxdy] dz

In particolare sappiamo già che z_0 = -1 e z_1 = 1, dobbiamo capire che cos'è E_(z).

Dal punto di vista geometrico E_(z) è la proiezione sul piano x y dell'intersezione tra E e il piano z = z_2 con z_2∈ [-1,1]

E_(z) = (x,y)∈R^2: x^2+y^2-1 ≤ z^2

Osserva che nel piano l'equazione:

x^2+y^2-1 ≤ z^2 ⇒ x^2+y^2 ≤ z^2+1

è la parte di piano limitata dalla circonferenza di equazione:

x^2+y^2 = 1+z^2

ovvero una circonferenza di centro (0,0) e raggio R = √(1+z^2) con z∈ [-1,1].

L'integrale dunque si riscrive come:

∫_(-1)^(1)[ iint_(E_(z))1 dx dy] dz

Risolviamo prima di tutto l'integrale doppio interno:

iint_(E_(z))1dx dy

Per come è fatto E_(z) sarà utile passare alle coordinate polari.

Poniamo quindi:

x = rcos(t)

y = rsin(t)

dove il dominio naturale di r è [0,+∞) mentre t varia in [0, 2π)

] Naturalmente dobbiamo riscrivere il dominio di integrazione trasformato. Basta sostituire ad x l'espressione rcos(t) e ad y l'espressione rsin(t) ma dove? Nella condizione che definisce E_(z), ovvero:

x^2+y^2 ≤ 1+z^2

Sostituiamo! emt

r^2cos^2(t)+r^2sin^2(t) ≤ 1+z^2

Mettiamo in evidenza r^2

r^(2)(cos^2(t)+sin^2(t)) ≤ 1+z^2

Per la relazione fondamentale della trigonometria:

cos^2(t)+sin^2(t) = 1 ∀ t∈ [0,2π)

]Quindi la disequazione si riscrive come:

r^2 ≤ 1+z^2 ⇒ 0 ≤ r ≤ √(1+z^2)

Lo Jacobiano associato alla trasformazione è:

|J| = r

Pertanto l'integrale doppio si riscrive come:

iint_(E_(z))dxdy = ∫_(0)^(2π)∫_(0)^(√(z^2+1))rdr dt =

= ∫_(0)^(2π)[(r^2)/(2)]_(0)^(√(z^2+1))dt =

= ∫_(0)^(2π)(z^2+1)/(2)dt = π (z^2+1)

Perfetto, non ci rimane altro che dare il colpo di grazia emt

∫_(-1)^(1)[ iint_(E_(z))1 dx dy] (π(z^2+1)) dz

∫_(-1)^(1)π(z^2+1)dz = π [(z^3)/(3)+z]_(-1)^(1) = (8)/(3)π
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, CarFaby, albydella

Re: Integrazione tripla per il volume di un insieme #72293

avt
albydella
Cerchio
Grazie mille Ifrit!!
Probabilmente non ho ancora molta dimestichezza sulle coordinate polari, e mi perdevo in quel passaggio.
Tutto compreso a meraviglia comunque! Grazie ancora!
Ringraziano: Ifrit

Re: Integrazione tripla per il volume di un insieme #72296

avt
Ifrit
Amministratore
Grazie a te emt
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Os