Problema con cerchi tangenti a una retta e iperbole

Ecco un altro problema che non so risolvere, riguarda i cerchi tangenti ad una retta ed un'iperbole.

Tra i cerchi tangenti alla retta , si determini l'equazione di quello con centro .
Sia tale cerchio, e sia il punto di ascissa maggiore tra quelli in cui interseca l'asse delle ascisse.
Si trovino le rette tangenti a passanti per l'origine. Infine, si determini l'equazione dell'iperbole (in forma canonica) avente per asintoti queste rette, e passante per .

Non so nemmeno da dove iniziare!

Grazie!

Ciao Elenae

Questa domanda riceverà risposta domani, in accordo con il pacchetto che hai sottoscritto

\Ciao elenae

Poiché conosciamo le coordinate del centro del cerchio



per determinare l'equazione del cerchio ci basta trovare la misura del raggio della circonferenza.

Sapendo che la retta r di equazione



deve essere tangente alla nostra circonferenza, la misura del raggio è data dalla distanza del centro dalla retta.

Poiché abbiamo l'equazione della retta in forma esplicita, possiamo ricavare immediatamente il suo coefficiente angolare



e la sua ordinata all'origine



per poi applicare la formula per la distanza punto retta e trovare la misura del raggio:







L'equazione della nostra circonferenza sarà quindi:



ovvero



Sviluppando il quadrato di binomio

e facendo qualche conticino abbiamo:



e questo conclude il primo punto dell'esercizio.

---------------------

Dobbiamo ora trovare il punto A di ascissa maggiore tra quelli in cui il nostro cerchio interseca l'asse delle ascisse.

Per trovare tale punto intersechiamo la nostra circonferenza con l'asse x, il quale ha equazione .



Sostituendo la prima relazione nella seconda ricadiamo nell'equazione di secondo grado



ovvero



Troviamone il delta quarti



e quindi le due soluzioni



di cui, quella di ascissa maggiore è



Il punto A cercato avrà quindi coordinate cartesiane





---------------------

Dobbiamo ora trovare le rette tangenti alla nostra circonferenza di equazione



e passanti per l'origine

Come puoi leggere nella lezione sulle posizioni reciproche tra retta e circonferenza, iniziamo con lo scriverci l'equazione generica del fascio di rette per l'origine:



e mettiamolo a sistema con la nostra circonferenza:



Sostituendo la prima relazione nella seconda abbiamo







di cui dobbiamo imporre che il discriminante sia uguale a zero (condizione di tangenza)



dove

.

Abbiamo allora:





da cui



Ne segue che le rette cercate saranno







----------------

Non ci rimane altro da fare se non trovare l'equazione dell'iperbole avente come asintoti queste due rette e passante per il punto



Poiché i due asintoti si intersecano nell'origine, esso sarà proprio il centro dell'iperbole, la quale, come si può intuire anche dall'immagine precedente, ha assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani. Inoltre, poiché il punto A vi appartiene, l'iperbole interseca l'asse x. La sua equazione sarà quindi del tipo:



Dobbiamo trovare il valore dei parametri a e b.

Ci servono due condizioni. La prima è data imponendo il passaggio per il punto A:



da cui



e la seconda ricordando che l'equazione degli asintoti dell'iperbole sono date da:



Nel nostro caso, avendo gli asintoti equazione



la seconda condizione si trova imponendo che sia



da cui



e di conseguenza



L'equazione cercata è quindi:



con



e