Disequazione fratta con simbolo >

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Disequazione fratta con simbolo > #71913

avt
elenae
Cerchio
Ciao, non riesco a risolvere questa disequazione fratta con il simbolo maggiore >. Più precisamente arrivo a soluzioni sbagliate e credo di fare errori di segno o comunque di distrazione ma non riesco a capire dove.

\frac{3 + x}{1 - x}  >  x - 3

Grazie!
 
 

Disequazione fratta con simbolo > #71920

avt
Omega
Amministratore
Ciao Elenae emt

Ci troviamo di fronte ad una disequazione fratta: nella guida del link puoi ripassare il procedimento, inclusi tutti i casi particolari. emt

Ok, partiamo da

\frac{3 + x}{1 - x}  >  x - 3

e portiamo tutto al primo membro. Sarò particolarmente puntiglioso nei passaggi perché voglio suggerirti delle semplici tecniche che permettono di ridurre al minimo le possibilità di commettere errori di distrazione. emt

\frac{3 + x}{1 - x}  -(x - 3)>0

Scriviamo tutto sotto forma di un'unica frazione. Nota che nel portare il binomio x-3 a sinistra ho incluso entrambi i termini tra parentesi tonde, in modo da ridurre al minimo i cambi di segno.

Ora scriviamo tutto sotto un'unica frazione (abbiamo una differenza tra frazioni algebriche)

\frac{3 + x-(x - 3)(1-x)}{1 - x}>0

Ora calcoliamo il prodotto preservando le parentesi tonde. Si tratta di un semplicissimo prodotto tra polinomi

\frac{3 + x-(x-3-x^2+3x)}{1 - x}>0

ossia

\frac{3 + x-(4x-3-x^2)}{1 - x}>0

Siamo pronti per eliminare le parentesi tonde, a patto di invertire i segni dato che abbiamo un segno meno davanti (applico la regola dei segni)

\frac{3 + x-4x+3+x^2}{1 - x}>0

riordiniamo il numeratore

\frac{x^2-3x+6}{1 - x}>0


Siamo pronti per mettere in pratica il procedimento di risoluzione per le disequazioni fratte. emt A prescindere dal verso del simbolo di disequazione, dobbiamo studiare separatamente il segno di numeratore e denominatore e controllare dove sono positivi

N>0)\ x^2-3x+6>0

D>0)\ 1-x>0

Risolviamo le due disequazioni separatamente


N>0)\ x^2-3x+6>0

Qui abbiamo una disequazione di secondo grado: per risolverla dobbiamo considerare l'equazione associata e calcolarne le soluzioni

x^2-3x+6=0\ \to\ x_{1,2}=\frac{+3\pm\sqrt{9-24}}{2}

ed è qui che ci accorgiamo che il segno del \Delta è negativo. Dunque abbiamo a che fare con un polinomio p(x)=x^2-3x+6 che preserva sempre lo stesso segno, e dato che il coefficiente del termine di secondo grado è positivo concludiamo che il polinomio è positivo \forall x\in\mathbb{R}

N>0)\ x^2-3x+6>0\ \to\ \forall x\in\mathbb{R}


Passiamo al denominatore.

D>0)\ 1-x>0

si tratta di una semplicissima disequazione di primo grado che risolviamo in un passaggio

D>0)\ x<1


Ora dobbiamo confrontare il segno di numeratore e denominatore per dedurre il segno della frazione

N>0)\ \forall x\in\mathbb{R}

D>0)\ x<1

Noi vogliamo capire su quale insieme risulta \frac{x^2-3x+6}{1 - x}>0, ed è evidente che il rapporto è positivo per x<1, dunque tutte e sole le soluzioni della disequazione considerata sono date da

\mbox{Soluzioni: }x<1.


In caso di dubbi o eventuali domande non esitare e chiedi! emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby

Disequazione fratta con simbolo > #71958

avt
elenae
Cerchio
perfetto! grazie!!
Ringraziano: Omega
  • Pagina:
  • 1
Os