Due disequazioni fratte anche con valore assoluto

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Due disequazioni fratte anche con valore assoluto #71881

avt
elenae
Cerchio
Ciao, non riesco a risolvere queste disequazioni fratte in cui è anche presente il valore assoluto (nell'ultima)

\frac{8}{6x-x^2-8}>-1

\frac{8}{6x-x^2-8}>1

\frac{|x-1|}{|5-x|} \le 1

Vorrei vedere il procedimento nei vari passaggi, così trovo dove sbaglio, e quali sono le condizioni di esistenza

Grazie!
 
 

Due disequazioni fratte anche con valore assoluto #71893

avt
Galois
Amministratore
Ciao elenae emt

Ogni topic, come previsto dal regolamento, deve contenere un solo esercizio. Per questa volta facciamo finta di nulla, ma dalla prossima domanda ti prego di attenerti alle linee guida emt

Iniziamo col trovare le soluzioni della disequazione

\frac{8}{6x-x^2-8}>-1

Per trovare le condizioni di esistenza basta imporre che il denominatore sia diverso da zero:

6x-x^2-8 \neq 0

Cioè dobbiamo trovare i punti in cui il denominatore si annulla e poi escluderli. Per far ciò ci basta trovare le soluzione dell'equazione di secondo grado

6x-x^2-8 = 0

Scrivendola in forma normale e cambiando il segno di ogni termine (e di conseguenza il verso della disequazione) si ha:

x^2-6x+8=0

Utilizzando la formula ridotta (essendo il coefficiente del termine di primo grado un numero pari) avremo

\frac{\Delta}{4} = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac = 9-8=1

da cui le due soluzioni

x_{1,2}=\frac{\left(-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{\Delta}{4}}\right)}{a}=\frac{3 \pm 1}{1}

ovvero

x_1=2 \ \vee \ x_2=4

Le condizioni di esistenza della nostra equazione sono quindi:

x \in \mathbb{R}-\{2, 4\}

Possiamo a questo punto procedere con il metodo di risoluzione per le disequazioni fratte; portiamo cioè tutto a primo membro:

\frac{8}{6x-x^2-8}+1>0

\frac{8+(6x-x^2-8)}{6x-x^2-8}>0

\frac{6x-x^2}{6x-x^2-8}>0

Studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore.

N(x) > 0 \iff 6x-x^2 > 0 \iff x(6-x) > 0

da cui

x>0 \ \vee \ x<6

Rappresentandoli sulla retta orientata avremo

studio segn numer


A noi interessano gli intervalli in cui il numeratore è positivo, ovvero:

N(x)>0 \iff 0<x<6

Passiamo ora allo studio del denominatore

D(x)>0 \iff 6x-x^2-8 > 0

da cui

x^2-6x+8<0

Avendo già trovato le soluzioni dell'equazione associata

x_1=2 \ \vee \ x_2=4

ricordando il metodo risolutivo per disequazione di secondo grado, possiamo concludere subito che

D(x)>0 \iff 2<x<4

Studiamo ora il segno globale della disequazione riportando gli intervalli di positività e negatività di numeratore e denominatore

segno diseq


A noi interessa sapere dove la disequazione è positiva (i segni "+" cerchiati).

La soluzione sarà quindi:

S: \ x<0 \ \vee \ 2<x<4 \ \vee \ x>6

o, volendoci esprimere nella notazione con gli intervalli:

(-\infty, 0) \ \cup \ (2,4) \ \cup \ (6,+\infty)

emt

-----------------

Per quanto riguarda invece la disequazione fratta

\frac{8}{6x-x^2-8}>1

Le condizioni di esistenza son sempre le stesse. Riduciamola quindi in forma normale

Dopo aver portato l'uno a primo membro e calcolato il denominatore comune avremo

\frac{8}{6x-x^2-8}-1 > 0

\frac{8-(6x-x^2-8)}{6x-x^2-8}>0

\frac{8-6x+x^2+8}{6x-x^2-8}>0

\frac{x^2-6x+16}{6x-x^2-8}>0

Studiamo ora il segno di numeratore e denominatore

N(x) > 0 \iff x^2-6x+16 > 0

Il discriminante associato

\Delta=b^2-4ac=36-64=-28

è minore di zero, il verso della disequazione è maggiore, pertanto la nostra disequazione è soddisfatta \forall x \in \mathbb{R}, ovvero il numeratore è sempre positivo.

Ne segue che la nostra disequazione è positiva negli intervalli in cui è positivo il denominatore.

D(x)>0 \iff 6x-x^2-8 > 0 \iff 2<x<4

(stesso identico procedimento visto per la prima disequazione)

Per quanto detto poco fa la nostra disequazione ha quindi, come soluzione:

S: \ 2<x<4
Ringraziano: Omega, CarFaby

Due disequazioni fratte anche con valore assoluto #71894

avt
Galois
Amministratore
Vediamo ora la seconda disequazione

\frac{|x-1|}{|5-x|} \le 1

Anche in questo caso per trovare le condizioni di esistenza basta imporre che il denominatore sia diverso da zero. Ricordando che il valore assoluto si annulla se è nullo il suo argomento, abbiamo:

|5-x| \neq 0 \iff 5-x \neq 0 \iff x \neq 5

Passiamo ora a trovare le soluzioni della nostra disequazione con valori assoluti.

Come puoi vedere nella lezione di cui al link, la prima cosa da fare è andare a studiare il segno degli argomenti dei moduli presenti.

x-1 \ge 0 \iff x>1

5-x > 0 \iff x<1 (disuguaglianza stretta in quanto il denominatore non si può annullare)

Riportando il tutto in una tabella dei segni avremo

segno val ass


Il che ci fa capire che dobbiamo impostare tre sistemi, uno per ogni intervallo. La soluzione della nostra disequazione sarà data dall'unione delle soluzioni dei tre sistemi.

Per ciascun intervallo scriveremo cioè un sistema formato da due disequazioni: la prima sarà l'intervallo in cui stiamo lavorando, la seconda sarà la nuova forma assunta dalla disequazione di partenza scritta sfruttando la definizione di valore assoluto.

Abbiamo quindi:

S_1:\begin{cases}x\le 1 \\ \frac{-x+1}{5-x} \le 1 \end{cases}  \bigcup S_2:  \begin{cases}1<x<5 \\ \frac{x-1}{5-x} \le 1 \end{cases} \bigcup S_3: \begin{cases}x>5 \\ \frac{x-1}{x-5} \le 1 \end{cases}

Partiamo dal primo sistema di disequazioni

S_1: \ \begin{cases}x\le 1 \\ \frac{-x+1}{5-x} \le 1 \end{cases}

La prima disequazione è a posto.

La seconda è una disequazione fratta. Riduciamola quindi in forma normale portando tutto a primo membro e calcolando il denominatore comune

\frac{-x+1}{5-x}-1 \le 0

\frac{-x+1-5+x}{5-x}\le 0

\frac{-4}{5-x}\le 0

\frac{4}{5-x}\ge 0

Procediamo quindi con lo studio del segno di numeratore e denominatore.

Il numeratore è sempre positivo;

D(x) >0 \iff 5-x>0 \iff x-5<0 \iff x<5

fratta primo sistema


A noi interessa sapere dove è positiva. La nostra disequazione ha come soluzione x<5 e quindi il nostro sistema equivale a:

S_1: \ \begin{cases}x\le 1 \\ x<5 \end{cases}

Rappresentando graficamente le due soluzioni abbiamo

primo sistema


Ovvero:

\mbox{Soluzione}_{S_1}: {\color{blue}x\le 1}

-------------

Passiamo ora al secondo sistema

S_2: \  \begin{cases}1<x<5 \\ \frac{x-1}{5-x} \le 1 \end{cases}

Sulla prima disequazione non abbiamo nulla da fare. La seconda è ancora una disequazione fratta. Dopo averla ridotta in forma normale (questa volta lascio a te i facili conti) abbiamo

\frac{2x-6}{5-x} \le 0

Lo studio del segno di numeratore e denominatore ci porta a

N(x) \ge 0 \iff x\ge 3

D(x) > 0 \iff x< 5

fratta secondo sistema


Poiché a noi interessano gli intervalli in cui è negativa, le soluzioni della nostra disequazione saranno date da

x\le 3 \ \vee \ x>5

Il nostro secondo sistema si riduce quindi a

S_2: \  \begin{cases}1<x<5 \\ x\le 3 \ \vee \ x>5 \end{cases}

secondo sistema


Ovvero ha come soluzione

\mbox{Soluzione}_{S_2}: \ {\color{red}1<x\le 3}

-----------------

Per quanto riguarda il terzo ed ultimo sistema

S_3: \ \begin{cases}x>5 \\ \frac{x-1}{x-5} \le 1 \end{cases}

La sua seconda disequazione, una volta ridotta in forma normale, è

\frac{4}{x-5} \le 0

Il numeratore è sempre positivo, il denominatore è positivo per x>5.

Riportando in una tabella dello studio del segno

fratta terzo sistema


scopriamo che la disequazione assume valori negativi per x<5

Il terzo sistema

S_3:\ \begin{cases}x>5 \\ x<5 \end{cases}

è quindi impossibile.

-------------

Ricordando che le soluzioni della nostra disequazioni son date dall'unione delle soluzioni dei tre sistemi studiati, riportiamo in una tabella, sulla stessa linea le soluzioni del primo sistema (in blu) e del secondo (in rosso):

sol diseq


La nostra disequazione di partenza è quindi soddisfatta per x \le 3
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Due disequazioni fratte anche con valore assoluto #71899

avt
elenae
Cerchio
..sarà stupido ma mi sfugge un passaggio .. nel primo esercizio ..

da 8 / (6x - x^2 - 8) > 1

porto il numero 1 a sinistra e diventa -1

quindi al numeratore, non dovrei arrivare a :

8 - 6x + x^2 + 8?

perché ho 6x - x^2?

Due disequazioni fratte anche con valore assoluto #71900

avt
Galois
Amministratore
Ciao elenae emt

Io ho risolto la disequazione

\frac{8}{6x-x^2-8} > -1

ecco perché non ti trovi. Facciamo una cosa. Per tagliare la testa al toro aggiungo, alla mia prima risposta, anche la risoluzione della disequazione

\frac{8}{6x-x^2-8} > 1

In fin dei conti il procedimento è sempre lo stesso. In caso di dubbi sono qui emt
Ringraziano: CarFaby

Due disequazioni fratte anche con valore assoluto #71912

avt
elenae
Cerchio
ok grazie mille!!
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Os