Sistema lineare 4x4 con Gauss

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Sistema lineare 4x4 con Gauss #71872

avt
elenae
Cerchio
Ciao, ho bisogno di aiuto per risolvere il seguente sistema lineare di 4 equazioni in 4 incognite con il metodo di Gauss.

\begin{cases}5x+5y+2z+w = 2 \\ 5x+9y+10z-w=-5 \\ -10x-2y+8z-8w=-30 \\ -5x-y+8z-w=-4 \end{cases}
 
 

Sistema lineare 4x4 con Gauss #71880

avt
Galois
Amministratore
Eccoci qua!

Abbiamo il sistema lineare (che scrivo già ordinato)

\begin{cases}5x+5y+2z+w = 2 \\ 5x+9y+10z-w=-5 \\ -10x-2y+8z-8w=-30 \\ -5x-y+8z-w=-4 \end{cases}

che dobbiamo risolvere con il metodo di eliminazione Gaussiana.

Scriviamo quindi la matrice completa associata al sistema

\left[\begin{matrix} 5 & 5 & 2 & 1 & | & 2 \\ 5 & 9 & 10 & -1 & | & -5 \\ -10 & -2 & 8 & -8 & | & -30 \\ -5& -1 & 8 & -1 & | & -4 \end{matrix}\right]

Il nostro compito è quello di trasformare questa matrice in una matrice triangolare superiore.

Iniziamo con l'annullare tutti i termini al di sotto del primo pivot (l'elemento a_{11})

Per farlo sostituiamo:

la seconda riga con la differenza tra la seconda e la prima

R_2 \leftrightarrow R_2-R_1

la terza riga con la somma tra la terza ed il doppio della prima

R_3 \leftrightarrow 2R_1+R_3

la quarta riga con la somma tra la prima e la quarta

R_4 \leftrightarrow R_4+R_1

Avremo così (non mi dilungo tanto con i conti visto che fin qui hai fatto tutto bene)

\left[\begin{matrix} 5 & 5 & 2 & 1 & | & 2 \\ 0 & 4 & 8 & -2 & | & -7 \\ 0 & 8 & 12 & -6 & | & -26 \\ 0 & 4 & 10 & 0 & | & -2 \end{matrix}\right]

Annulliamo ora tutti i coefficienti al di sotto del secondo pivot a_{22}=4

Al posto della terza riga andremo a sostituire la differenza tra la terza riga e la seconda moltiplicata per 2:

R_3 \leftrightarrow R_3-2R_2

e la quarta riga con la differenza tra le quarta e la seconda

R_4 \leftrightarrow R_4-R_2

Avremo così

\left[\begin{matrix} 5 & 5 & 2 & 1 & | & 2 \\ 0 & 4 & 8 & -2 & | & -7 \\ 0 & 0 & -4 & -2 & | & -12 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & | & 5 \end{matrix}\right]

Non ci rimane altro da fare se non annullare l'elemento a_{43}=2 sotto al pivot a_{33}=-4

Per fare questo, sostituiamo la quarta riga con la somma tra la terza ed il doppio della quarta

R_4 \leftrightarrow R_3+2R_4 =

=\left[\begin{matrix}0 & 0 & -4 & -2 & -12\end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}0 & 0 & 4 & 4 & 10\end{matrix}\right]=

=\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 2 & -2\end{matrix}\right]

La nostra matrice ridotta sarà:

\left[\begin{matrix} 5 & 5 & 2 & 1 & | & 2 \\ 0 & 4 & 8 & -2 & | & -7 \\ 0 & 0 & -4 & -2 & | & -12 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & | & -2 \end{matrix}\right]

Ovvero il sistema di partenza equivale al sistema:

\begin{cases}5x+5y+2z+w=2 \\ 4y+8z-2w=-7 \\ -4z-2w=-12 \\ 2w=-2 \end{cases}

che possiamo, per comodità, riscrivere come

\begin{cases} 2w=-2 \\ -4z-2w=-12 \\ 4y+8z-2w=-7 \\ 5x+5y+2z+w=2 \end{cases}

Dalla prima equazione ricaviamo immediatamente

w=-1

Sostituendo nelle altre equazioni

\begin{cases} w=-1 \\ -4z+2=-12 \\ 4y+8z+2=-7 \\ 5x+5y+2z+1=2 \end{cases}

\begin{cases} w=-1 \\ -4z=-14 \\ 4y+8z=-9 \\ 5x+5y+2z=1 \end{cases}

Ricavando dalla seconda equazione il valore dell'incognita

z=\frac{-14}{-4}=\frac{7}{2}

e sostituendo nelle altre 2

\begin{cases} w=-1 \\ z=\frac{7}{2} \\ 4y+8\cdot \frac{7}{2}=-9 \\ 5x+5y+2\cdot \frac{7}{2}=1 \end{cases}

\begin{cases} w=-1 \\ z=\frac{7}{2} \\ 4y+28=-9 \\ 5x+5y+7=1 \end{cases}

\begin{cases} w=-1 \\ z=\frac{7}{2} \\ 4y=-37 \\ 5x+5y=-6 \end{cases}

Possiamo quindi trovare il valore di

y=-\frac{37}{4}

che, sostituito nell'ultima equazione, ci darà

x=\frac{169}{20}

La soluzione del nostro sistema è quindi

(x,y,z,w)=\left(\frac{169}{20}, \ -\frac{37}{4}, \ \frac{7}{2}, \ -1 \right)

Alla prossima!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, CarFaby, Iusbe

Sistema lineare 4x4 con Gauss #71887

avt
elenae
Cerchio
grazie! ho capito l'errore .. sbagliavo un segno .. emt
Ringraziano: Galois
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Os