Insieme di convergenza di una serie di potenze con logaritmo

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Insieme di convergenza di una serie di potenze con logaritmo #68511

avt
Omega
Amministratore
Si chiede di studiare l'insieme di convergenza della seguente serie di potenze con un termine logaritmico:

\sum_{n=0}^{+\infty}\log\left(\frac{5n+4}{5n+1}\right)\cdot (x-1)^n

[Nota al lettore: domanda pubblicata per conto di PySke, aperto con privilegi MINIMAL. Non è dunque richiesto un tentativo di svolgimento; il Topic viene preso in carico con priorità assoluta.]
 
 

Re: Insieme di convergenza di una serie di potenze con logaritmo #68514

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'esercizio e determinare l'insieme in cui la serie di potenze converge, dobbiamo fare riferimento alla teoria di base sulle serie di potenze.

Ci troviamo di fronte ad una serie della forma

\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n

dove a_n=\log\left(\frac{5n+4}{5n+1}\right) e x_0=1.

Ad un'analisi immediata si vede che l'insieme di convergenza sarà un intervallo, individuato da un centro e da un raggio di convergenza.

Il centro è definito come il punto in cui si annulla il termine (x-x_0), vale a dire

x-1=0\ \Rightarrow\ x=1

dobbiamo determinare il raggio di convergenza, e per farlo possiamo ricorrere al criterio di d'Alembert (rapporto) o al criterio di Cauchy-Hadamard (radice), entrambi esposti nella lezione del link iniziale. Qui ricorrerò al primo.

Le ipotesi del criterio sono soddisfatte, dacché in particolare risulta

a_n=\log\left(\frac{5n+4}{5n+1}\right)\neq 0\ \forall n\in\mathbb{N}

e lo si vede facilmente dato che n\in\mathbb{N}.

Possiamo applicare il criterio. Calcoliamo il limite

L=\lim_{n\to +\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ \ \ (\bullet)

prima di farlo semplifichiamoci la vita. Riscriviamo il logaritmo con un piccolo trucchetto algebrico, tipico dell'applicazione dei limiti notevoli

\log\left(\frac{5n+4}{5n+1}\right)=\log\left(\frac{5n+1+3}{5n+1}\right)=

ora se dividiamo termine a termine possiamo spezzare la frazione

=\log\left(\frac{5n+4}{5n+1}\right)=\log\left(\frac{5n+1}{5n+1}+\frac{3}{5n+1}\right)=

ossia

=\log\left(1+\frac{3}{5n+1}\right)=

ancora un piccolo passaggio in modo da ricondurci alla forma \log\left(1+\frac{1}{qualcosa}\right). Riscriviamo la frazione come frazione di frazione

=\log\left(1+\frac{1}{\frac{5n+1}{3}}\right)=

Ok. emt Ora il calcolo del limite (\bullet) sarà pressoché immediato. emt

L=\lim_{n\to +\infty} \left|\frac{\log\left(1+\frac{1}{\frac{5(n+1)+1}{3}}\right)}{\log\left(1+\frac{1}{\frac{5n+1}{3}}\right)}\right|=

passaggio semplicissimo

L=\lim_{n\to +\infty} \left|\frac{\log\left(1+\frac{1}{\frac{5n+6}{3}}\right)}{\log\left(1+\frac{1}{\frac{5n+1}{3}}\right)}\right|=

applichiamo a numeratore e denominatore il limite notevole della successione logaritmica e scriviamo le relative successioni asintotiche

\lim_{n\to+\infty}\frac{\log\left(1+b_n\right)}{b_n}=1\mbox{ se }b_n\to 0\mbox{ quando }n\to+\infty

da cui segue l'equivalenza asintotica \log\left(1+b_n\right)\sim_{n\to +\infty} b_n.

Nel nostro caso otteniamo

L=\lim_{n\to +\infty} \left|\frac{\log\left(1+\frac{1}{\frac{5n+6}{3}}\right)}{\log\left(1+\frac{1}{\frac{5n+1}{3}}\right)}\right|=\lim_{n\to +\infty} \left|\frac{\frac{1}{\frac{5n+6}{3}}}{\frac{1}{\frac{5n+1}{3}}}\right|=\lim_{n\to +\infty} \left|\frac{\frac{3}{5n+6}}{\frac{3}{5n+1}}\right|=

ora è veramente facilissimo, ci basta semplificare i 3 e applicare un banale confronto tra infiniti di successioni

=\lim_{n\to +\infty} \left|\frac{5n+1}{5n+6}\right|=1

ergo L=1 e il raggio di convergenza è dato da R=\frac{1}{L}=1.


A questo punto sappiamo che la serie di potenze convergerà puntualmente nell'intervallo

(x_0-R,x_0+R)=(0,2)

non basta: dobbiamo capire cosa succede agli estremi, vale a dire in x=0,\ x=2 in modo da poter applicare il teorema di Abel.


Per x=2 otteniamo la serie numerica

\sum_{n=0}^{+\infty}\log\left(\frac{5n+4}{5n+1}\right)\cdot (1)^n=\sum_{n=0}^{+\infty}\log\left(\frac{5n+4}{5n+1}\right)

che è una serie divergente. Lo si vede applicando il criterio del confronto asintotico per serie, ed in particolare per confronto asintotico con la serie armonica

\log\left(\frac{5n+4}{5n+1}\right)=\log\left(1+\frac{1}{\frac{5n+1}{3}}\right)\sim_{n\to +\infty}\frac{1}{\frac{5n+1}{3}}\sim_{n\to +\infty}\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{n}

dopo aver applicato il limite notevole del logaritmo.


Per x=0 otteniamo la serie numerica

\sum_{n=0}^{+\infty}\log\left(\frac{5n+4}{5n+1}\right)\cdot (-1)^n

che è una serie a segni alterni. E' facile vedere che possiamo applicare il criterio di Leibniz, infatti:

\spadesuit)\ \log\left(\frac{5n+4}{5n+1}\right)\geq 0\ \ \forall n\in\mathbb{N}

\spadesuit)\ \lim_{n\to +\infty}\log\left(\frac{5n+4}{5n+1}\right)=0

\spadesuit) La successione \left\{\log\left(\frac{5n+4}{5n+1}\right)\right\}_n è decrescente. Lo si vede riscrivendola nella forma \left\{\log\left(1+\frac{1}{\frac{5n+1}{3}}\right)\right\}_n


Quindi abbiamo convergenza puntuale sull'intervallo [0,2). In particolare, per il teorema di Abel, avremo convergenza uniforme su ogni intervallo chiuso contenuto in [0,2). :)
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, danying, Galois, CarFaby, Iusbe, sun10
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