Limite fratto con radice al numeratore (esercizio 5 scheda beginner di riepilogo sui limiti)

Svizzeros chiede una mano con lo svolgimento di un limite fratto con radice quadrata al numeratore, e più precisamente con l'esercizio 5 della scheda 1 beginner di esercizi di riepilogo sui limiti.

Eccolo:



e a breve lo svolgimento dettagliato e commentato.

Abbiamo una funzione fratta e vogliamo calcolarne il limite per . Il punto di partenza consiste nell'osservare che tale limite genera una forma indeterminata del tipo infinito su infinito



Consideriamo separatamente numeratore e denominatore

Numeratore:

Denominatore:

A denominatore non c'è molto da fare, dobbiamo lavorare sul numeratore.



Prendiamo in particolare il radicando



Dato che dobbiamo calcolare il limite per , ragioniamo per confronto tra infiniti e per ordini di infinito. Il primo addendo della somma diverge all'infinito, il secondo è una costante. Nel passaggio al limite dovremo tenere conto solamente del primo addendo del radicando e non della costante additiva, che sarà ininfluente.

Se vogliamo dimostrarlo algebricamente possiamo fare così: scriviamo il limite



e raccogliamo un termine x^2 nel radicando



al tendere di è chiaro che , in forza dell'Algebra di infiniti e infinitesimi. Dunque otteniamo



Ora l'unico passaggio delicato: quando estraiamo la radice quadrata di non dobbiamo dimenticarci del valore assoluto, quindi



In accordo con la definizione di valore assoluto, possiamo eliminarlo a patto di tenere conto del segno dell'argomento. Nel nostro caso e dunque possiamo scrivere



semplifichiamo



perché il limite di una costante è uguale al valore della medesima costante.