Limite fratto con radice al numeratore (esercizio 5 scheda beginner di riepilogo sui limiti)

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Limite fratto con radice al numeratore (esercizio 5 scheda beginner di riepilogo sui limiti) #67191

avt
Omega
Amministratore
Svizzeros chiede una mano con lo svolgimento di un limite fratto con radice quadrata al numeratore, e più precisamente con l'esercizio 5 della scheda 1 beginner di esercizi di riepilogo sui limiti.

Eccolo:

\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^2+3}}{x}

e a breve lo svolgimento dettagliato e commentato. emt
 
 

Re: Limite fratto con radice al numeratore (esercizio 5 scheda beginner di riepilogo sui limiti) #67193

avt
Omega
Amministratore
Abbiamo una funzione fratta e vogliamo calcolarne il limite per x\to -\infty. Il punto di partenza consiste nell'osservare che tale limite genera una forma indeterminata del tipo infinito su infinito

\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^2+3}}{x}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]

Consideriamo separatamente numeratore e denominatore

Numeratore: \sqrt{x^2+3}

Denominatore: x

A denominatore non c'è molto da fare, dobbiamo lavorare sul numeratore.

\sqrt{x^2+3}

Prendiamo in particolare il radicando

x^2+3

Dato che dobbiamo calcolare il limite per x\to -\infty, ragioniamo per confronto tra infiniti e per ordini di infinito. Il primo addendo della somma diverge all'infinito, il secondo è una costante. Nel passaggio al limite dovremo tenere conto solamente del primo addendo del radicando e non della costante additiva, che sarà ininfluente.

Se vogliamo dimostrarlo algebricamente possiamo fare così: scriviamo il limite

\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^2+3}}{x}

e raccogliamo un termine x^2 nel radicando

\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^2\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}}{x}=

al tendere di x\to -\infty è chiaro che \frac{3}{x^2}\to 0, in forza dell'Algebra di infiniti e infinitesimi. Dunque otteniamo

=\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^2}}{x}=

Ora l'unico passaggio delicato: quando estraiamo la radice quadrata di x^2 non dobbiamo dimenticarci del valore assoluto, quindi \sqrt{x^2}=|x|

=\lim_{x\to -\infty}\frac{|x|}{x}=

In accordo con la definizione di valore assoluto, possiamo eliminarlo a patto di tenere conto del segno dell'argomento. Nel nostro caso x\to -\infty e dunque possiamo scrivere |x|=-x

=\lim_{x\to -\infty}\frac{-x}{x}=

semplifichiamo

=\lim_{x\to -\infty}(-1)=-1

perché il limite di una costante è uguale al valore della medesima costante. emt
Ringraziano: Pi Greco, Galois, CarFaby, Iusbe, tommy21
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