Dimensione e base di intersezione e somma di due sottospazi di matrici

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Dimensione e base di intersezione e somma di due sottospazi di matrici #66892

avt
Omega
Amministratore
Un altro esercizio in cui è richiesto di calcolare la dimensione e una base per l'intersezione e per la somma di due sottospazi di matrici. A seguire la traccia dell'esercizio

si considerino i seguenti R-sottospazi dello spazio di matrici Mat_2(\mathbb{R})

U=\{A\in Mat_2(\mathbb{R})\ |\ AX=X^TA\mbox{ con }X=\left[\begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix}\right]\}

W=\{A\in Mat_2(\mathbb{R})\ |\ AY=Y^TA\mbox{ con }Y=\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix}\right]\}

Dopo aver caratterizzato i due sottospazi, determinare gli R-sottospazi
U\cap W e U+W , la loro dimensione e una base di entrambi.


[Nota ai lettori: topic pubblicato per conto di un utente che preferisce rimanere anonimo]
 
 

Re: Dimensione e base di intersezione e somma di due sottospazi di matrici #66894

avt
Omega
Amministratore
Eccoci con la risoluzione. emt

Cominciamo dal sottospazio vettoriale U, definito come

U=\{A\in Mat_2(\mathbb{R})\ |\ AX=X^TA\mbox{ con }X=\left[\begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix}\right]\}

Per individuare tutte le matrici di U consideriamone una generica

\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]

e calcoliamo i prodotti tra matrici AX e X^TA

AX=\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} a-b & -a \\ c-d & -c \end{matrix}\right]

poi

X^TA=\left[\begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} a-c & b-d \\ -a & -b \end{matrix}\right]

Ora imponiamo l'uguaglianza tra i due prodotti come richiesto dalla definizione del sottospazio U, e confrontiamo le due matrici componente per componente

\begin{cases}a-b=a-c\\ -a=b-d\\ c-d=-a\\ -c=-b\end{cases}

riscriviamolo nella forma

\begin{cases}b=c\\ a=d-b\\ a=d-c\\ b=c\end{cases}

alla luce del fatto che deve essere b=c, la seconda e la terza equazione sono equivalenti

\begin{cases}b=c\\ a=d-b\\ a=d-b\\ b=c\end{cases}

dunque abbiamo due equazioni indeterminate su quattro (sono superflue) e abbiamo licenza di attribuire a due delle 4 incognite il ruolo di parametro reale. La scelta è indifferente, per comodità poniamo c=\alpha,\ d=\beta

\begin{cases}a=\beta-\alpha\\ b=\alpha \\ c=\alpha\\ d=\beta\end{cases}

da cui ricaviamo la caratterizzazione degli elementi del sottospazio U

U=\left{A\in Mat_2(\mathbb{R})\ |\ A=\left[\begin{matrix} \beta-\alpha & \alpha \\ \alpha & \beta \end{matrix}\right]\mbox{ con }\alpha,\beta\in\mathbb{R}\right}

Scrivendo la generica matrice come combinazione lineare

\left[\begin{matrix} \beta-\alpha & \alpha \\ \alpha & \beta \end{matrix}\right]=\alpha\left[\begin{matrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right]+\beta\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right]

otteniamo una base di U

B_U=\left\{\left[\begin{matrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right],\ \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right\]\right\}

Come sempre in questi casi conviene ridurci a lavorare con vettori, e non con matrici. Ci basta considerare l'isomorfismo naturale Mat_2(\mathbb{R})\simeq \mathbb{R}^4 definito come

\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]\ \to\ \left[\begin{matrix}a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}\right]

e dunque possiamo considerare il sottospazio isomorfo \tilde{U}\subset\mathbb{R} la cui corrispondente base è

B_{\tilde{U}}=\left\{\left[\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right],\ \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right\]\right\}


Ora passiamo al calcolo della dimensione e di una base di W

W=\{A\in Mat_2(\mathbb{R})\ |\ AY=Y^TA\mbox{ con }Y=\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix}\right]\}

Il procedimento è del tutto analogo al caso precedente. Procediamo :prendiamo una generica matrice

\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]

e determiniamo i prodotti AY e Y^TA

AY=\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} b & a-b \\ d & c-d \end{matrix}\right]

poi

Y^TA=\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} c & d \\ a-c & b-d \end{matrix}\right]

In accordo con la definizione di W, imponiamo l'uguaglianza e scriviamo il sistema lineare che deriva dal confronto delle omonime componenti

\begin{cases}b=c\\ a-b=d\\ d=a-c\\ c-d=b-d\end{cases}

da cui

\begin{cases}b=c\\ d=a-b\\ d=a-c\\ b=c\end{cases}

Sostituendo la terza equazione nella seconda otteniamo

\begin{cases}b=c\\ a-c=a-b\\ d=a-c\\ b=c\end{cases}

cioè

\begin{cases}b=c\\ b=c\\ d=a-c\\ b=c\end{cases}

Due equazioni dipendono linearmente dalle altre due, quindi assumiamo due delle 4 incognite a variabili libere. Poniamo ad esempio b=\alpha,\ d=\beta

\begin{cases}a=\beta+\alpha\\ b=\alpha \\ c=\alpha\\ d=\beta\end{cases}

da cui ricaviamo

W=\left{A\in Mat_2(\mathbb{R})\ |\ A=\left[\begin{matrix} \beta+\alpha & \alpha \\ \alpha & \beta \end{matrix}\right]\mbox{ con }\alpha,\beta\in\mathbb{R}\right}

Procedendo in modo analogo rispetto a quanto visto per il sottospazio U, possiamo scrivere come base di W

B_W=\left\{\left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right],\ \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right\}

o, ragionando sul sottospazio isomorfo \tilde{W}

B_{\tilde{W}}=\left\{\left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right],\ \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right]\right\}


Passiamo a calcolare la dimensione e una base della somma e dell'intersezione.


Cominciamo dalla somma dei due sottospazi U+W

Naturalmente ci conviene ragionare con \tilde{U}+\tilde{W}. Per individuarne una base dobbiamo prima prendere l'unione delle basi dei singoli sottospazi, che costituisce un sistema di generatori del sottospazio somma. Successivamente estrarremo una base da tale sistema di generatori.

\left\{\left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right],\ \left[\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right],\ \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right]\right\}

Inutile specificare che il vettore ripetuto va elencato una sola volta. Ops, l'ho scritto! emt

Disponiamo i tre vettori per colonna in una matrice

\left[\begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]

e, a differenza di quel che abbiamo fatto nell'analogo esercizio su somma e intersezione di due spazi di matrici, qui ci basta calcolare il rango della matrice per scoprire che i tre vettori del sistema sono linearmente indipendenti. Infatti il rango della matrice è 3 perché esiste almeno un minore con determinante diverso da zero, ad esempio quello formato dalle prime due righe e dalla quarta riga della matrice

M_{1,2,4}\left[\begin{matrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]

il cui determinante, calcolato con la regola di Sarrus, è

det(M_{1,2,4})=1+0+0-0+1-0=2\neq 0

Dato che i tre vettori del sistema di generatori sono linearmente indipendenti, costituiscono una base di \tilde{U}+\tilde{W} che ha dimensione 3. Scrivere la corrispondente base di U+W è una sciocchezza, basta percorrere al contrario la freccia dell'isomorfismo naturale. emt


Dimensione e base dell'intersezione U\cap W

Facendo riferimento alla formula di Grassmann, vediamo subito che

dim(\tilde{U}\cap\tilde{W})=dim(\tilde{U})+dim(\tilde{W})-dim(\tilde{U}+\tilde{W})=

=2+2-3=1

e abbiamo finito. emt Abbiamo una base di \tilde{U}\cap\tilde{W} praticamente gratis, basta osservare che il vettore [1,0,0,1]^T è in comune tra le due base e ciò ci permette di risparmiare qualche conto.

Sottospazio di dimensione 1 di cui conosciamo un vettore non nullo: ne forma una base.

B_{\tilde{U}\cap\tilde{W}}=\left\{\left[\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right]\right\}

da cui un'immediata base per U\cap W

B_{U\cap W}=\left\{\left[\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right]\right\}
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby, sun10
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