Somma e intersezione di sottospazi di polinomi

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Somma e intersezione di sottospazi di polinomi #66877

avt
FAQ
Frattale
Devo risolvere un esercizio sul calcolo della dimensione e di una base per la somma e l'intersezione di due sottospazi vettoriali di polinomi.

Ecco la traccia: si considerino i sottospazi di \mathbb{R}_3[x]

\\ S=\{p(x)\in\mathbb{R}_3[x]\ | \ p(1)=p(-1),\ p(-1)=-p(1)\} \\ \\ T=\mbox{Span}(1-2x, \ x-x^2+x^3, \ 1-x-x^2+x^3)

Determinare una base e la dimensione del sottospazio somma S+T e del sottospazio intersezioneS\cap T.
Ringraziano: miki94c
 
 

Re: Somma e intersezione di sottospazi di polinomi #66878

avt
Omega
Amministratore
Quando si deve trovare la dimensione e una base di somma e intersezione di due sottospazi dello spazio dei polinomi \mathbb{R}_n[x], conviene dapprima ricavare un sistema di generatori per entrambi.

Iniziamo dunque col determinare un sistema di generatori per

S=\{p(x)\in\mathbb{R}_3[x]\ | \ p(1)=p(-1),\ p(-1)=-p(1)\}

Consideriamo un generico polinomio di \mathbb{R}_3[x] della forma

p(x)=a+bx+cx^2+dx^3\ \ \ \mbox{con }a, \ b, \ c, \ d\in\mathbb{R}

e imponiamo le condizioni di appartenenza al sottospazio S

p(x) \in S \iff \begin{cases}p(1)=p(-1) \\ p(-1)=-p(1)\end{cases}

Calcoliamo separatamente p(1), \ -p(1) \mbox{ e } p(-1)

\\ p(x)=a+bx+cx^2+dx^3 \\ \\ p(1)=a+b+c+d \\ \\ -p(1)=-a-b-c-d \\ \\ p(-1)=a-b+c-d

La prima condizione che i polinomi di S devono soddisfare è

p(1)=p(-1)

dunque

a+b+c+d=a-b+c-d \to\ b=-d

La seconda e ultima condizione è invece

p(-1)=-p(1)

per cui

a-b+c-d=-a-b-c-d\ \to\ a=-c

Dunque

p(x)=a+bx+cx^2+dx^3 \in S \iff \begin{cases}b=-d \\ a=-c\end{cases}

Ne deduciamo che S contiene tutti e soli i polinomi della forma

p(x)=-c-dx+cx^2+dx^3\ \ \ \mbox{al variare di }c, \ d\in\mathbb{R}

Per ricavare un sistema di generatori di S scriviamo il generico polinomio sotto forma di combinazione lineare

-c-dx+cx^2+dx^3=c(-1+x^2)+d(-x+x^3)

Pertanto

S=\mbox{Span}(-1+x^2, \ -x+x^3)

Arrivati a questo punto abbiamo un sistema di generatori per i due sottospazi

\\ S=\mbox{Span}(-1+x^2, \ -x+x^3) \\ \\ T=\mbox{Span}(1-2x, \ x-x^2+x^3, \ 1-x-x^2+x^3)

e dobbiamo determinare la dimensione e una base per la somma S+T e per l'intersezione S \cap T.



Lavorare nello spazio dei polinomi è davvero scomodo e possiamo ovviare a ciò scrivendo le componenti di ciascun polinomio rispetto alla base canonica di \mathbb{R}_3[x]:

\mathcal{C}_{\mathbb{R}_3[x]}=\{1, \ x, \ x^2, \ x^3\}

In caso di dubbi vi consigliamo di consultare la lezione sulle coordinate rispetto a una base.

\\ -1+x^2 \to (-1,0,1,0) \\ \\ -x+x^3 \to (0,-1,0,1) \\ \\ 1-2x \to (1,-2,0,0) \\ \\ x-x^2+x^3 \to (0,1,-1,1) \\ \\ 1-x-x^2+x^3 \to (1,-1,-1,1)

In tal modo si definiscono i sottospazi \tilde{S} \mbox{ e } \tilde{T} i cui elementi sono vettori di \mathbb{R}^4 aventi per componenti le coordinate dei polinomi rispetto alla base canonica di \mathbb{R}_3[x].

\\ \tilde{S}=\mbox{Span}((-1,0,1,0), \ (0,-1,0,1)) \\ \\ \tilde{T}=\mbox{Span}((1,-2,0,0), \ (0,1,-1,1), \ (1,-1,-1,1))

In alternativa avremmo potuto far riferimento all'isomorfismo coordinato

\mathbb{R}_3[x]\ \simeq\ \mathbb{R}^4

che a ogni polinomio p(x)=a+bx+cx^2+dx^3 associa le sue coordinate rispetto alla base canonica (a, b, c, d)

Quale che sia la strada scelta, è bene aver chiaro che lavorare con i sottospazi S, \ T \subseteq \mathbb{R}_3[x] equivale a lavorare con i sottospazi \tilde{S}, \ \tilde{T} \subseteq \mathbb{R}^4.



Determiniamo una base e la dimensione del sottospazio somma \tilde{S}+\tilde{T}.

A tal scopo dobbiamo dapprima estrarre una base dai relativi sistemi di generatori.

I vettori che definiscono il sottospazio

\tilde{S}=\mbox{Span}((-1,0,1,0), \ (0,-1,0,1))

sono linearmente indipendenti tra loro e quindi ne formano una base.

Per lo studio dell'indipendenza lineare basta osservare che la matrice avente per colonne (o per righe) i due vettori ha rango massimo.

Dunque

\mathcal{B}_{\tilde{S}}=\{(-1,0,1,0), \ (0,-1,0,1)\}

Estraiamo una base dal sistema di generatori di \tilde{T} procedendo col metodo di eliminazione gaussiana.

Disponiamo i vettori che generano \tilde{T} per colonne in una matrice

A=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ -2&1&-1 \\ 0&-1&-1 \\ 0&1&1\end{pmatrix}

e riduciamola in una matrice a gradini.

Per annullare l'elemento a_{21}=-2 effettuiamo la sostituzione

\\ R_2 \to 2R_1+R_2=2 \begin{pmatrix}1&0&1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2&1&-1\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}2&0&2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2&1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1&1\end{pmatrix}

Otteniamo così la matrice

A'=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 0&-1&-1 \\ 0&1&1\end{pmatrix}

Dobbiamo ora annullare gli elementi a_{32}=-1 \mbox{ e } a_{42}=1 di A'.

Procediamo con le sostituzioni

\\ R_3 \to R_2+R_3 = \begin{pmatrix}0&1&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix} \\ \\ R_4 \to -R_2+R_4 = \begin{pmatrix}0&-1&-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix}

che ci permettono di costruire la matrice ridotta

A''=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix}

i cui pivot sono a_{11}''=1 \mbox{ e } a_{22}''=1.

I vettori colonna della matrice non ridotta A che corrispondono ai vettori colonna della matrice ridotta A'' che contengono i pivot costituiscono una base dello spazio generato dai vettori in esame, quindi

\mathcal{B}_{\tilde{T}}=\{(1,-2,0,0), \ (0,1,-1,1)\}

Consideriamo ora l'insieme formato dall'unione delle due base

\mathcal{B}_{\tilde{T}} \cup \mathcal{B}_{\tilde{S}}=\{(1,-2,0,0), \ (0,1,-1,1), \ (-1,0,1,0), \ (0,-1,0,1)\}

che è un sistema di generatori del sottospazio somma, e quindi ne dobbiamo estrarre una base.

Disponiamo i vettori per colonna in una matrice e procediamo, ancora una volta, per eliminazione gaussiana.

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}

Primo passaggio:

\\ R_2 \to 2R_1+R_2 = \begin{pmatrix}0 & 1 & -2 & -1\end{pmatrix} \\ \\ \\ A'=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}

Secondo passaggio:

\\ R_3 \to R_2+R_3=\begin{pmatrix}0&0&-1&-1\end{pmatrix} \\ \\ R_4 \to -R_2+R_4=\begin{pmatrix}0&0&2&2\end{pmatrix} \\ \\ \\ A''=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 2 & 2\end{pmatrix}

Terzo passaggio:

\\ R_4 \to 2R_3+R_4 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \\ \\ \\ A'''=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

Da qui deduciamo che la matrice di partenza ha rango 3, e possiamo prendere come vettori linearmente indipendenti tra loro, i vettori colonna della matrice non ridotta che corrispondono ai vettori colonna della matrice ridotta che contengono i pivot. In sintesi:

\mathcal{B}_{\tilde{S}+\tilde{T}}=\{(1, -2, 0, 0), \ (0, 1, -1, 1), \ (-1, 0, 1, 0)\}

e quindi la dimensione dello spazio somma è 3.

Risaliamo ora a una base di S+T scrivendo i polinomi i cui coefficienti rispetto alla base canonica di \mathbb{R}_{3}[x] sono le componenti dei vettori della base trovata.

\mathcal{B}_{S+T}=\{1-2x, \ x-x^2+x^3,\ -1+x^2\}



Concludiamo l'esercizio determinando la dimensione e una base dello spazio intersezione \tilde{S} \cap \tilde{T} per poi passare a S \cap T.

Riscriviamoci le basi dei due sottospazi

\\ \mathcal{B}_{\tilde{S}}=\{(-1,0,1,0), \ (0,-1,0,1)\} \\ \\ \mathcal{B}_{\tilde{T}}=\{(1,-2,0,0), \ (0,1,-1,1)\}

Un vettore \mathbf{v} \in \mathbb{R}^4 appartiene a \tilde{S} \cap \tilde{T} se e solo se \mathbf{v} \in \tilde{S} \mbox{ e } \mathbf{v} \in \tilde{T}.

Ciò vuol dire che \mathbf{v} può essere espresso come combinazione lineare sia dei vettori della base di \tilde{S} che dei vettori della base di \tilde{T}, cioè esistono \alpha_1, \ \alpha_2, \ \beta_1, \ \beta_2 \in \mathbb{R} tali che

\\ \mathbf{v} = \alpha_1(-1,0,1,0)+\alpha_2(0,-1,0,1) = \\ \\ =(-\alpha_1,0,\alpha_1,0)+(0,-\alpha_2,0,\alpha_2)=(-\alpha_1,-\alpha_2,\alpha_1,\alpha_2) \\ \\ \\ \mathbf{v}=\beta_1(1,-2,0,0)+\beta_2(0,1,-1,1)= \\ \\ = (\beta_1, -2\beta_1, 0, 0) + (0, \beta_2, -\beta_2, \beta_2) = (\beta_1, -2\beta_1+\beta_2, -\beta_2, \beta_2)

Il vettore a primo membro delle precedenti relazioni è lo stesso, dunque dev'essere

(-\alpha_1,-\alpha_2,\alpha_1,\alpha_2) = (\beta_1, -2\beta_1+\beta_2, -\beta_2, \beta_2)

ossia

\begin{cases}-\alpha_1=\beta_1 \\ -\alpha_2=-2\beta_1+\beta_2 \\ \alpha_1=-\beta_2 \\ \alpha_2=\beta_2\end{cases}

Troviamo le soluzioni del sistema procedendo col metodo di sostituzione

\begin{cases}\beta_1=-\alpha_1 \\ \beta_2=\alpha_2 \\ -\alpha_2=-2\beta_1+\beta_2=2\alpha_1+\alpha_2 \to \alpha_2=-\alpha_1 \\ \alpha_2=\alpha_2 \to 0=0\end{cases}

vale a dire

\begin{cases}\beta_1=-\alpha_1 \\ \beta_2=\alpha_2 \\ \alpha_2=-\alpha_1\end{cases}

L'ultima equazione dipende da una incognita, dunque come discusso nella lezione sui metodi di risoluzione dei sistemi lineari il sistema è compatibile e ammette \infty^1 soluzioni.

Poniamo, ad esempio, \alpha_1=a, \mbox{ con } a \in \mathbb{R}

\begin{cases}\alpha_1=a \\ \alpha_2=-a \\ \beta_1=-a \\ \beta_2=a\end{cases}

Sostituiamo ora \alpha_1=a \mbox{ e } \alpha_2=-a nella generica combinazione lineare del vettore \mathbf{v}

\\ \mathbf{v} = \alpha_1(-1,0,1,0)+\alpha_2(0,-1,0,1) = \\ \\ =(-\alpha_1,0,\alpha_1,0)+(0,-\alpha_2,0,\alpha_2)=(-\alpha_1,-\alpha_2,\alpha_1,\alpha_2) = \\ \\ = (-a,a,a,-a) \mbox{ con } a \in \mathbb{R}

In definitiva

\mathbf{v} \in \tilde{S}\cap \tilde{T} \iff \mathbf{v}=(-a,a,a,-a)=a(-1,1,1,-1)

Dunque una base per \tilde{S} \cap \tilde{T} è

\mathcal{B}_{\tilde{S} \cap \tilde{T}} = \{(-1,1,1,-1)\}

e quindi

\mathcal{B}_{S \cap T} = \{-1+x+x^2-x^3\}

e la dimensione del sottospazio intersezione è 1

\mbox{dim}(S \cap T) = 1.



In teoria avremmo finito, ma concludiamo con una piccola osservazione.

Almeno da un punto di vista dimensionale possiamo verificare la correttezza dei risultati ottenuti attraverso la formula di Grassmann, secondo cui

\mbox{dim}(S+T)=\mbox{dim}(S)+\mbox{dim}(T)-\mbox{dim}(S \cap T)

Secondo i nostri calcoli

\mbox{dim}(S+T)=3, \ \mbox{dim}(S)=2, \ \mbox{dim}(T)=2, \ \mbox{dim}(S \cap T)=1

Sostituendo nella formula di Grassmann otteniamo un'identità

3=2+2-1

dunque le dimensioni ottenute sono corrette.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, L92, CarFaby, Iusbe, sun10, miki94c
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