Somma e intersezione di sottospazi di polinomi

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Somma e intersezione di sottospazi di polinomi #66877

avt
FAQ
Frattale
Devo risolvere un esercizio sul calcolo della dimensione e di una base per la somma e l'intersezione di due sottospazi vettoriali di polinomi.

Ecco la traccia: si considerino i sottospazi di R_3[x]

S = p(x)∈R_3[x] | p(1) = p(-1), p(-1) = -p(1) ; T = Span(1-2x, x-x^2+x^3, 1-x-x^2+x^3)

Determinare una base e la dimensione del sottospazio somma S+T e del sottospazio intersezioneS ∩ T.
Ringraziano: miki94c
 
 

Re: Somma e intersezione di sottospazi di polinomi #66878

avt
Omega
Amministratore
Quando si deve trovare la dimensione e una base di somma e intersezione di due sottospazi dello spazio dei polinomi R_n[x], conviene dapprima ricavare un sistema di generatori per entrambi.

Iniziamo dunque col determinare un sistema di generatori per

S = p(x)∈R_3[x] | p(1) = p(-1), p(-1) = -p(1)

Consideriamo un generico polinomio di R_3[x] della forma

p(x) = a+bx+cx^2+dx^3 con a, b, c, d∈R

e imponiamo le condizioni di appartenenza al sottospazio S

p(x) ∈ S ⇔ p(1) = p(-1) ; p(-1) = -p(1)

Calcoliamo separatamente p(1), -p(1) e p(-1)

p(x) = a+bx+cx^2+dx^3 ; p(1) = a+b+c+d ;-p(1) = -a-b-c-d ; p(-1) = a-b+c-d

La prima condizione che i polinomi di S devono soddisfare è

p(1) = p(-1)

dunque

a+b+c+d = a-b+c-d → b = -d

La seconda e ultima condizione è invece

p(-1) = -p(1)

per cui

a-b+c-d = -a-b-c-d → a = -c

Dunque

p(x) = a+bx+cx^2+dx^3 ∈ S ⇔ b = -d ; a = -c

Ne deduciamo che S contiene tutti e soli i polinomi della forma

p(x) = -c-dx+cx^2+dx^3 al variare di c, d∈R

Per ricavare un sistema di generatori di S scriviamo il generico polinomio sotto forma di combinazione lineare

-c-dx+cx^2+dx^3 = c(-1+x^2)+d(-x+x^3)

Pertanto

S = Span(-1+x^2, -x+x^3)

Arrivati a questo punto abbiamo un sistema di generatori per i due sottospazi

S = Span(-1+x^2, -x+x^3) ; T = Span(1-2x, x-x^2+x^3, 1-x-x^2+x^3)

e dobbiamo determinare la dimensione e una base per la somma S+T e per l'intersezione S ∩ T.



Lavorare nello spazio dei polinomi è davvero scomodo e possiamo ovviare a ciò scrivendo le componenti di ciascun polinomio rispetto alla base canonica di R_3[x]:

mathcalC_(R_3[x]) = 1, x, x^2, x^3

In caso di dubbi vi consigliamo di consultare la lezione sulle coordinate rispetto a una base.

-1+x^2 → (-1,0,1,0) ;-x+x^3 → (0,-1,0,1) ; 1-2x → (1,-2,0,0) ; x-x^2+x^3 → (0,1,-1,1) ; 1-x-x^2+x^3 → (1,-1,-1,1)

In tal modo si definiscono i sottospazi tildeS e tildeT i cui elementi sono vettori di R^4 aventi per componenti le coordinate dei polinomi rispetto alla base canonica di R_3[x].

tildeS = Span((-1,0,1,0), (0,-1,0,1)) ; tildeT = Span((1,-2,0,0), (0,1,-1,1), (1,-1,-1,1))

In alternativa avremmo potuto far riferimento all'isomorfismo coordinato

R_3[x] ≃ R^4

che a ogni polinomio p(x) = a+bx+cx^2+dx^3 associa le sue coordinate rispetto alla base canonica (a, b, c, d)

Quale che sia la strada scelta, è bene aver chiaro che lavorare con i sottospazi S, T ⊆ R_3[x] equivale a lavorare con i sottospazi tildeS, tildeT ⊆ R^4.



Determiniamo una base e la dimensione del sottospazio somma tildeS+ tildeT.

A tal scopo dobbiamo dapprima estrarre una base dai relativi sistemi di generatori.

I vettori che definiscono il sottospazio

tildeS = Span((-1,0,1,0), (0,-1,0,1))

sono linearmente indipendenti tra loro e quindi ne formano una base.

Per lo studio dell'indipendenza lineare basta osservare che la matrice avente per colonne (o per righe) i due vettori ha rango massimo.

Dunque

mathcalB_(tildeS) = (-1,0,1,0), (0,-1,0,1)

Estraiamo una base dal sistema di generatori di tildeT procedendo col metodo di eliminazione gaussiana.

Disponiamo i vettori che generano tildeT per colonne in una matrice

A = [1 0 1 ;-2 1 -1 ; 0 -1 -1 ; 0 1 1]

e riduciamola in una matrice a gradini.

Per annullare l'elemento a_(21) = -2 effettuiamo la sostituzione

R_2 → 2R_1+R_2 = 2 [1 0 1]+[-2 1 -1] = [2 0 2]+[-2 1 -1] = [0 1 1]

Otteniamo così la matrice

A'= [1 0 1 ; 0 1 1 ; 0 -1 -1 ; 0 1 1]

Dobbiamo ora annullare gli elementi a_(32) = -1 e a_(42) = 1 di A'.

Procediamo con le sostituzioni

R_3 → R_2+R_3 = [0 1 1]+[0 -1 -1] = [0 0 0] ; R_4 → -R_2+R_4 = [0 -1 -1]+[0 1 1] = [0 0 0]

che ci permettono di costruire la matrice ridotta

A''= [1 0 1 ; 0 1 1 ; 0 0 0 ; 0 0 0]

i cui pivot sono a_(11)''= 1 e a_(22)''= 1.

I vettori colonna della matrice non ridotta A che corrispondono ai vettori colonna della matrice ridotta A'' che contengono i pivot costituiscono una base dello spazio generato dai vettori in esame, quindi

mathcalB_(tildeT) = (1,-2,0,0), (0,1,-1,1)

Consideriamo ora l'insieme formato dall'unione delle due base

mathcalB_(tildeT) U mathcalB_(tildeS) = (1,-2,0,0), (0,1,-1,1), (-1,0,1,0), (0,-1,0,1)

che è un sistema di generatori del sottospazio somma, e quindi ne dobbiamo estrarre una base.

Disponiamo i vettori per colonna in una matrice e procediamo, ancora una volta, per eliminazione gaussiana.

A = [ 1 0 -1 0 ;-2 1 0 -1 ; 0 -1 1 0 ; 0 1 0 1]

Primo passaggio:

R_2 → 2R_1+R_2 = [0 1 -2 -1] ; A'= [ 1 0 -1 0 ; 0 1 -2 -1 ; 0 -1 1 0 ; 0 1 0 1]

Secondo passaggio:

R_3 → R_2+R_3 = [0 0 -1 -1] ; R_4 → -R_2+R_4 = [0 0 2 2] ; A''= [ 1 0 -1 0 ; 0 1 -2 -1 ; 0 0 -1 -1 ; 0 0 2 2]

Terzo passaggio:

R_4 → 2R_3+R_4 = [0 0 0 0] ; A'''= [ 1 0 -1 0 ; 0 1 -2 -1 ; 0 0 -1 -1 ; 0 0 0 0]

Da qui deduciamo che la matrice di partenza ha rango 3, e possiamo prendere come vettori linearmente indipendenti tra loro, i vettori colonna della matrice non ridotta che corrispondono ai vettori colonna della matrice ridotta che contengono i pivot. In sintesi:

mathcalB_(tildeS+ tildeT) = (1,-2, 0, 0), (0, 1,-1, 1), (-1, 0, 1, 0)

e quindi la dimensione dello spazio somma è 3.

Risaliamo ora a una base di S+T scrivendo i polinomi i cui coefficienti rispetto alla base canonica di R_(3)[x] sono le componenti dei vettori della base trovata.

mathcalB_(S+T) = 1-2x, x-x^2+x^3, -1+x^2



Concludiamo l'esercizio determinando la dimensione e una base dello spazio intersezione tildeS ∩ tildeT per poi passare a S ∩ T.

Riscriviamoci le basi dei due sottospazi

mathcalB_(tildeS) = (-1,0,1,0), (0,-1,0,1) ; mathcalB_(tildeT) = (1,-2,0,0), (0,1,-1,1)

Un vettore v ∈ R^4 appartiene a tildeS ∩ tildeT se e solo se v ∈ tildeS e v ∈ tildeT.

Ciò vuol dire che v può essere espresso come combinazione lineare sia dei vettori della base di tildeS che dei vettori della base di tildeT, cioè esistono α_1, α_2, β_1, β_2 ∈ R tali che

v = α_1(-1,0,1,0)+α_2(0,-1,0,1) = (-α_1,0,α_1,0)+(0,-α_2,0,α_2) = (-α_1,-α_2,α_1,α_2) ; v = β_1(1,-2,0,0)+β_2(0,1,-1,1) = (β_1,-2β_1, 0, 0)+(0, β_2,-β_2, β_2) = (β_1,-2β_1+β_2,-β_2, β_2)

Il vettore a primo membro delle precedenti relazioni è lo stesso, dunque dev'essere

(-α_1,-α_2,α_1,α_2) = (β_1,-2β_1+β_2,-β_2, β_2)

ossia

-α_1 = β_1 ;-α_2 = -2β_1+β_2 ; α_1 = -β_2 ; α_2 = β_2

Troviamo le soluzioni del sistema procedendo col metodo di sostituzione

β_1 = -α_1 ; β_2 = α_2 ;-α_2 = -2β_1+β_2 = 2α_1+α_2 → α_2 = -α_1 ; α_2 = α_2 → 0 = 0

vale a dire

β_1 = -α_1 ; β_2 = α_2 ; α_2 = -α_1

L'ultima equazione dipende da una incognita, dunque come discusso nella lezione sui metodi di risoluzione dei sistemi lineari il sistema è compatibile e ammette ∞^1 soluzioni.

Poniamo, ad esempio, α_1 = a, con a ∈ R

α_1 = a ; α_2 = -a ; β_1 = -a ; β_2 = a

Sostituiamo ora α_1 = a e α_2 = -a nella generica combinazione lineare del vettore v

v = α_1(-1,0,1,0)+α_2(0,-1,0,1) = (-α_1,0,α_1,0)+(0,-α_2,0,α_2) = (-α_1,-α_2,α_1,α_2) = (-a,a,a,-a) con a ∈ R

In definitiva

v ∈ tildeS ∩ tildeT ⇔ v = (-a,a,a,-a) = a(-1,1,1,-1)

Dunque una base per tildeS ∩ tildeT è

mathcalB_(tildeS ∩ tildeT) = (-1,1,1,-1)

e quindi

mathcalB_(S ∩ T) = -1+x+x^2-x^3

e la dimensione del sottospazio intersezione è 1

dim(S ∩ T) = 1.



In teoria avremmo finito, ma concludiamo con una piccola osservazione.

Almeno da un punto di vista dimensionale possiamo verificare la correttezza dei risultati ottenuti attraverso la formula di Grassmann, secondo cui

dim(S+T) = dim(S)+dim(T)-dim(S ∩ T)

Secondo i nostri calcoli

dim(S+T) = 3, dim(S) = 2, dim(T) = 2, dim(S ∩ T) = 1

Sostituendo nella formula di Grassmann otteniamo un'identità

3 = 2+2-1

dunque le dimensioni ottenute sono corrette.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, L92, CarFaby, Iusbe, sun10, miki94c
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