Somma e intersezione di sottospazi di matrici

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Somma e intersezione di sottospazi di matrici #66871

avt
FAQ
Frattale
Devo risolvere un esercizio sul calcolo di dimensione e base della somma e dell'intersezione di due sottospazi di matrici.

Testo:

si considerino i seguenti sottospazi dello spazio vettoriale di matrici Mat(2, 2, R)

S = A∈ Mat(2,2,R) | AX = X^TA, con X = [ 0 -1 ; 1 0 ] ; T = Span([ 2 1 ; 1 0 ], [ 1 2 ; 2 -1 ], [ 1 -1 ;-1 1 ])

Determinare una base e la dimensione del sottospazio somma S+T e del sottospazio intersezione S ∩ T.
Ringraziano: Iusbe
 
 

Re: Somma e intersezione di sottospazi di matrici #66875

avt
Omega
Amministratore
Per calcolare la dimensione e una base di somma e intersezione tra sottospazi dei due spazi di matrici conviene dapprima ricavare un sistema di generatori per i sottospazi assegnati.

Conosciamo già i vettori (matrici) che generano T, dunque dobbiamo ricavare un sistema di generatori per

S = A∈ Mat(2,2,R) | AX = X^TA, con X = [ 0 -1 ; 1 0 ]

Consideriamo una generica matrice A∈ Mat(2,2,R)

A = [ a b ; c d ]

Calcoliamo i prodotti tra matrici presenti nella definizione

AX = [ a b ; c d ] [ 0 -1 ; 1 0 ] = [ b -a ; d -c ]

per il secondo prodotto attenzione a considerare la matrice trasposta di X

X^TA = [ 0 1 ;-1 0 ] [ a b ; c d ] = [ c d ;-a -b ]

Imponiamo l'uguaglianza AX = X^TA e confrontiamo le due matrici prodotto componente per componente

b = c ;-a = d ; d = -a ;-c = -b

da cui ricaviamo

a = -d ; b = c

e desumiamo che ci sono due incognite libere, d, c. Dunque il sottospazio S si caratterizza come

S = A∈ Mat(2, 2, R) | A = [-d c ; c d ], con d,c∈R

Per ricavarne un sistema di generatori scriviamo la generica matrice come combinazione lineare

[-d c ; c d ] = c[ 0 1 ; 1 0 ]+d[-1 0 ; 0 1 ]

Quindi

S = Span ([ 0 1 ; 1 0 ], [-1 0 ; 0 1 ])



Analizziamo l'unico aspetto delicato relativo a questa tipologia di esercizi: per determinare una base per la somma e l'intersezione di sottospazi è assai scomodo lavorare nello spazio delle matrici. Per ovviare a ciò possiamo associare a ciascuna matrice di Mat(2,2,R) un vettore di R^(2×2) = R^4, le cui componenti sono le coordinate rispetto alla base canonica di Mat(2,2,R) delle matrici che generano S e T.

La base canonica di Mat(2,2,R) è

mathcalB_(Mat(2,2,R)) = [ 1 0 ; 0 0], [0 1 ; 0 0], [0 0 ; 1 0 ], [0 0 ; 0 1]

e le componenti rispetto a tale base delle matrici che generano S e T sono

[0 1 ; 1 0] → (0,1,1,0) ; [-1 0 ; 0 1] → (-1,0,0,1) ; [2 1 ; 1 0] → (2,1,1,0) ; [1 2 ; 2 -1] → (1,2,2,-1) ; [1 -1 ;-1 1] → (1,-1,-1,1)

In caso di dubbi è vivamente consigliata le seguente lettura: coordinate rispetto a una base.

Possiamo così definire i sottospazi tildeS e tildeT di R^4

tildeS = Span((0,1,1,0), (-1,0,0,1)) ; tildeT = Span((2,1,1,0), (1,2,2,-1), (1,-1,-1,1))

e determinare una base e la dimensione dei sottospazi somma tildeS+ tildeT e intersezione tildeS ∩ tildeT, per poi risalire a dimensione e base di S+T e S ∩ T.

In alternativa, si sarebbe potuto considerare l'isomorfismo coordinato

Mat(2, 2, R) ≃ R^4

definito da

[ a b ; c d ] ↦ (a,b,c,d)



Determiniamo una base e la dimensione di tildeS+ tildeT

La prima cosa da fare è estrarre una base dai sistemi di generatori che definiscono i due sottospazi.

I due vettori che generano

tildeS = Span((0,1,1,0), (-1,0,0,1))

sono linearmente indipendenti tra loro, e quindi formano una base di tildeS

mathcalB_(tildeS) = (0,1,1,0), (-1,0,0,1)

In accordo con i metodi per lo studio dell'indipendenza lineare, per giungere a questa conclusione è sufficiente osservare che la matrice avente per righe (o per colonne) i due vettori ha rango massimo.

Passiamo ora al sottospazio

tildeT = Span((2,1,1,0), (1,2,2,-1), (1,-1,-1,1))

e osserviamo che il terzo vettore è combinazione lineare dei primi due, infatti

(1,-1,-1,1) = (2,1,1,0)-(1,2,2,-1)

Inoltre, (2,1,1,0), (1,2,2,-1) sono linearmente indipendenti, dunque

mathcalB_(tildeT) = (2,1,1,0), (1,2,2,-1)

Consideriamo ora l'insieme formato dall'unione delle basi trovare

mathcalB_(tildeS) U mathcalB_(tildeT) = (0,1,1,0), (-1,0,0,1), (2,1,1,0), (1,2,2,-1)

che è un sistema di generatori per tildeS+ tildeT.

Estraiamone una base col metodo di eliminazione gaussiana.

Formiamo una matrice avente per colonne i vettori di mathcalB_(tildeS) U mathcalB_(tildeT)

A = [0 -1 2 1 ; 1 0 1 2 ; 1 0 1 2 ; 0 1 0 -1]

e riduciamola in una matrice a gradini.

Permutiamo prima e seconda riga

A'= [1 0 1 2 ; 0 -1 2 1 ; 1 0 1 2 ; 0 1 0 -1]

Dopodiché sostituiamo la terza riga di A' con la seguente combinazione lineare

R_3 → -R_1+R_3 = [-1 0 -1 -2]+[1 0 1 2] = [0 0 0 0]

ottenendo così

A''= [1 0 1 2 ; 0 -1 2 1 ; 0 0 0 0 ; 0 1 0 -1]

Effettuiamo poi la sostituzione

R_4 → R_2+R_4 = [0 -1 2 1]+[0 1 0 -1] = [0 0 2 0]

da cui scaturisce

A'''= [1 0 1 2 ; 0 -1 2 1 ; 0 0 0 0 ; 0 0 2 0]

Per ottenere la matrice ridotta basta permutare terza e quarta riga di A'''

A''''= [1 0 1 2 ; 0 -1 2 1 ; 0 0 2 0 ; 0 0 0 0]

Ci siamo! La matrice ridotta ha 3 pivot: a_(11) = 1, a_(22) = -1, a_(33) = 2.

I vettori colonna della matrice non ridotta che corrispondono alle colonne della matrice ridotta che contengono i pivot formano una base di tildeS+ tildeT, dunque

mathcalB_(tildeS+ tildeT) = (0,1,1,0), (-1,0,0,1), (2,1,1,0)

Dobbiamo ora ricavare una base di S+T, formata dalle matrici quadrate di ordine 2 aventi per elementi le componenti dei vettori della base di mathcalB_(tildeS+ tildeT) rispetto alla base canonica di Mat(2,2,R)

mathcalB_(S+T) = [0 1 ; 1 0], [-1 0 ; 0 1], [2 1 ; 1 0]

La base è formata da tre elementi, ragion per cui

dim(S+T) = 3.



Determiniamo una base e la dimensione di tildeS ∩ tildeT

Scriviamo le basi dei due sottospazi

mathcalB_(tildeS) = (0,1,1,0), (-1,0,0,1) ; mathcalB_(tildeT) = (2,1,1,0), (1,2,2,-1)

Un vettore v ∈ R^4 appartiene a tildeS ∩ tildeT se e solo se v ∈ tildeS e v ∈ tildeT.

Ciò vuol dire che v può essere espresso come combinazione lineare dei vettori della base di tildeS e dei vettori della base di tildeT, cioè esistono α_1, α_2, β_1, β_2 ∈ R tali che

v = α_1(0,1,1,0)+α_2(-1,0,0,1) = (0,α_1,α_1,0)+(-α_2,0,0,α_2) = (-α_2,α_1,α_1,α_2) ; v = β_1(2,1,1,0)+β_2(1,2,2,-1) = (2β_1, β_1, β_1, 0)+(β_2, 2β_2, 2β_2,-β_2) = (2β_1+β_2, β_1+2β_2, β_1+2β_2,-β_2)

Il vettore a primo membro delle precedenti relazioni è lo stesso, dunque dev'essere

(-α_2,α_1,α_1,α_2) = (2β_1+β_2, β_1+2β_2, β_1+2β_2,-β_2)

ossia

-α_2 = 2β_1+β_2 ; α_1 = β_1+2β_2 ; α_1 = β_1+2β_2 ; α_2 = -β_2

Troviamo le soluzioni del sistema procedendo col metodo di sostituzione

La seconda e la terza equazione sono identiche, dunque possiamo tralasciarne una. Inoltre, dall'ultima equazione si sa che α_2 = -β_2.

Sostituiamo nella prima

-α_2 = 2β_1+β_2 → β_2 = 2β_1+β_2 → β_1 = 0

Dalla seconda equazione del sistema si ricava, infine

α_1 = β_1+2β_2 = 2β_2

Ricomponiamo il sistema

α_2 = -β_2 ; β_1 = 0 ; α_1 = 2β_2

L'ultima equazione dipende da 1 incognita, quindi come discusso nella lezione sui metodi di risoluzione dei sistemi lineari il sistema è compatibile e ammette ∞^1 soluzioni.

Poniamo, ad esempio, β_2 = a, con a ∈ R

β_1 = 0 ; β_2 = a ; α_2 = -β_2 = -a ; α_1 = 2β_2 = 2a

Sostituiamo ora α_1 = 2a e α_2 = -a nella generica combinazione lineare del vettore v

v = α_1(0,1,1,0)+α_2(-1,0,0,1) = (0,α_1,α_1,0)+(-α_2,0,0,α_2) = (-α_2,α_1,α_1,α_2) = (a,2a,2a,-a) con a ∈ R

e scriviamola sotto forma di combinazione lineare

v ∈ tildeS ∩ tildeT ⇔ v = (a,2a,2a,-a) = a(1,2,2,-1)

Si ottiene così una base per tildeS ∩ tildeT

mathcalB_(tildeS ∩ tildeT) = (1,2,2,-1)

Quindi

mathcalB_(S ∩ T) = [1 2 ; 2 -1]

e la dimensione del sottospazio intersezione è 1

dim(S ∩ T) = 1.



L'esercizio può dirsi concluso, ma almeno da un punto di vista dimensionale possiamo verificare di non aver commesso errori richiamando la formula di Grassmann, secondo cui

dim(S+T) = dim(S)+dim(T)-dim(S ∩ T)

Nell'esercizio in esame

dim(S+T) = 3, dim(S) = 2, dim(T) = 2, dim(S ∩ T) = 1

Sostituendo nella formula di Grassmann otteniamo un'identità

3 = 2+2-1

dunque le dimensioni ottenute sono corrette.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby, Iusbe
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