Somma e intersezione di sottospazi di matrici

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Somma e intersezione di sottospazi di matrici #66871

avt
FAQ
Punto
Devo risolvere un esercizio sul calcolo di dimensione e base della somma e dell'intersezione di due sottospazi di matrici.

Testo:

si considerino i seguenti sottospazi dello spazio vettoriale di matrici Mat(2, 2, \mathbb{R})

\\ S=\left\{A\in Mat(2,2,\mathbb{R})\ |\ AX=X^TA, \mbox{ con }X=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right\} \\ \\ \\ T=\mbox{Span}\left(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\right)

Determinare una base e la dimensione del sottospazio somma S + T e del sottospazio intersezione S\cap T.
Ringraziano: Iusbe
 
 

Re: Somma e intersezione di sottospazi di matrici #66875

avt
Omega
Amministratore
Per calcolare la dimensione e una base di somma e intersezione tra sottospazi dei due spazi di matrici conviene dapprima ricavare un sistema di generatori per i sottospazi assegnati.

Conosciamo già i vettori (matrici) che generano T, dunque dobbiamo ricavare un sistema di generatori per

S=\left\{A\in Mat(2,2,\mathbb{R})\ |\ AX=X^TA, \mbox{ con }X=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right\}

Consideriamo una generica matrice A\in Mat(2,2,\mathbb{R})

A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

Calcoliamo i prodotti tra matrici presenti nella definizione

AX=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b & -a \\ d & -c \end{pmatrix}

per il secondo prodotto attenzione a considerare la matrice trasposta di X

X^TA=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & d \\ -a & -b \end{pmatrix}

Imponiamo l'uguaglianza AX=X^TA e confrontiamo le due matrici prodotto componente per componente

\begin{cases}b=c\\ -a=d\\ d=-a\\ -c=-b\end{cases}

da cui ricaviamo

a=-d\ ;\ b=c

e desumiamo che ci sono due incognite libere, d, \ c. Dunque il sottospazio S si caratterizza come

S=\left\{A\in Mat(2, 2, \mathbb{R})\ |\ A=\begin{pmatrix} -d & c \\ c & d \end{pmatrix}, \ \mbox{ con }d,c\in\mathbb{R}\right\}

Per ricavarne un sistema di generatori scriviamo la generica matrice come combinazione lineare

\begin{pmatrix} -d & c \\ c & d \end{pmatrix}=c\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}+d\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Quindi

S=\mbox{Span} \left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right)



Analizziamo l'unico aspetto delicato relativo a questa tipologia di esercizi: per determinare una base per la somma e l'intersezione di sottospazi è assai scomodo lavorare nello spazio delle matrici. Per ovviare a ciò possiamo associare a ciascuna matrice di Mat(2,2,\mathbb{R}) un vettore di \mathbb{R}^{2\times 2}=\mathbb{R}^4, le cui componenti sono le coordinate rispetto alla base canonica di Mat(2,2,\mathbb{R}) delle matrici che generano S \mbox{ e } T.

La base canonica di Mat(2,2,\mathbb{R}) è

\mathcal{B}_{Mat(2,2,\mathbb{R})}=\left\{\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}0&1 \\ 0&0\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}0&0 \\ 1&0 \end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}0&0 \\ 0&1\end{pmatrix}\right\}

e le componenti rispetto a tale base delle matrici che generano S \mbox{ e } T sono

\\ \begin{pmatrix}0&1 \\ 1&0\end{pmatrix} \to (0,1,1,0) \\ \\ \\ \begin{pmatrix}-1&0 \\ 0&1\end{pmatrix} \to (-1,0,0,1) \\ \\ \\ \begin{pmatrix}2&1 \\ 1&0\end{pmatrix} \to (2,1,1,0) \\ \\ \\ \begin{pmatrix}1&2 \\ 2&-1\end{pmatrix} \to (1,2,2,-1) \\ \\ \\ \begin{pmatrix}1&-1 \\ -1&1\end{pmatrix} \to (1,-1,-1,1)

In caso di dubbi è vivamente consigliata le seguente lettura: coordinate rispetto a una base.

Possiamo così definire i sottospazi \tilde{S} \mbox{ e } \tilde{T} \mbox{ di } \mathbb{R}^4

\\ \tilde{S}=\mbox{Span}((0,1,1,0), \ (-1,0,0,1)) \\ \\ \tilde{T}=\mbox{Span}((2,1,1,0), \ (1,2,2,-1), \ (1,-1,-1,1))

e determinare una base e la dimensione dei sottospazi somma \tilde{S}+\tilde{T} e intersezione \tilde{S} \cap \tilde{T}, per poi risalire a dimensione e base di S+T \mbox{ e } S \cap T.

In alternativa, si sarebbe potuto considerare l'isomorfismo coordinato

Mat(2, 2, \mathbb{R})\simeq \mathbb{R}^4

definito da

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mapsto (a,b,c,d)



Determiniamo una base e la dimensione di \tilde{S}+\tilde{T}

La prima cosa da fare è estrarre una base dai sistemi di generatori che definiscono i due sottospazi.

I due vettori che generano

\tilde{S}=\mbox{Span}((0,1,1,0), \ (-1,0,0,1))

sono linearmente indipendenti tra loro, e quindi formano una base di \tilde{S}

\mathcal{B}_{\tilde{S}}=\{(0,1,1,0), \ (-1,0,0,1)\}

In accordo con i metodi per lo studio dell'indipendenza lineare, per giungere a questa conclusione è sufficiente osservare che la matrice avente per righe (o per colonne) i due vettori ha rango massimo.

Passiamo ora al sottospazio

\tilde{T}=\mbox{Span}((2,1,1,0), \ (1,2,2,-1), \ (1,-1,-1,1))

e osserviamo che il terzo vettore è combinazione lineare dei primi due, infatti

(1,-1,-1,1)=(2,1,1,0)-(1,2,2,-1)

Inoltre, (2,1,1,0), \ (1,2,2,-1) sono linearmente indipendenti, dunque

\mathcal{B}_{\tilde{T}}=\{(2,1,1,0), \ (1,2,2,-1)\}

Consideriamo ora l'insieme formato dall'unione delle basi trovare

\mathcal{B}_{\tilde{S}} \cup \mathcal{B}_{\tilde{T}}=\{(0,1,1,0), \ (-1,0,0,1), \ (2,1,1,0), \ (1,2,2,-1)\}

che è un sistema di generatori per \tilde{S}+\tilde{T}.

Estraiamone una base col metodo di eliminazione gaussiana.

Formiamo una matrice avente per colonne i vettori di \mathcal{B}_{\tilde{S}} \cup \mathcal{B}_{\tilde{T}}

A=\begin{pmatrix}0&-1&2&1 \\ 1&0&1&2 \\ 1&0&1&2 \\ 0&1&0&-1\end{pmatrix}

e riduciamola in una matrice a gradini.

Permutiamo prima e seconda riga

A'=\begin{pmatrix}1&0&1&2 \\0&-1&2&1 \\ 1&0&1&2 \\ 0&1&0&-1\end{pmatrix}

Dopodiché sostituiamo la terza riga di A' con la seguente combinazione lineare

R_3\to-R_1+R_3 = \begin{pmatrix}-1&0&-1&-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0&1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0&0\end{pmatrix}

ottenendo così

A''=\begin{pmatrix}1&0&1&2 \\0&-1&2&1 \\ 0&0&0&0 \\ 0&1&0&-1\end{pmatrix}

Effettuiamo poi la sostituzione

R_4 \to R_2+R_4 = \begin{pmatrix}0&-1&2&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&2&0\end{pmatrix}

da cui scaturisce

A'''=\begin{pmatrix}1&0&1&2 \\0&-1&2&1 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&2&0\end{pmatrix}

Per ottenere la matrice ridotta basta permutare terza e quarta riga di A'''

A''''=\begin{pmatrix}1&0&1&2 \\0&-1&2&1 \\ 0&0&2&0 \\ 0&0&0&0\end{pmatrix}

Ci siamo! La matrice ridotta ha 3 pivot: a_{11}=1, \ a_{22}=-1, \ a_{33}=2.

I vettori colonna della matrice non ridotta che corrispondono alle colonne della matrice ridotta che contengono i pivot formano una base di \tilde{S}+\tilde{T}, dunque

\mathcal{B}_{\tilde{S}+\tilde{T}}=\{(0,1,1,0), \ (-1,0,0,1), \ (2,1,1,0)\}

Dobbiamo ora ricavare una base di S + T, formata dalle matrici quadrate di ordine 2 aventi per elementi le componenti dei vettori della base di \mathcal{B}_{\tilde{S}+\tilde{T}} rispetto alla base canonica di Mat(2,2,\mathbb{R})

\mathcal{B}_{S+T}=\left\{\begin{pmatrix}0&1 \\ 1&0\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}-1&0 \\ 0&1\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}2&1 \\ 1&0\end{pmatrix}\right\}

La base è formata da tre elementi, ragion per cui

\mbox{dim}(S+T)=3.



Determiniamo una base e la dimensione di \tilde{S}\cap \tilde{T}

Scriviamo le basi dei due sottospazi

\\ \mathcal{B}_{\tilde{S}}=\{(0,1,1,0), \ (-1,0,0,1)\} \\ \\ \mathcal{B}_{\tilde{T}}=\{(2,1,1,0), \ (1,2,2,-1)\}

Un vettore \mathbf{v} \in \mathbb{R}^4 appartiene a \tilde{S} \cap \tilde{T} se e solo se \mathbf{v} \in \tilde{S} \mbox{ e } \mathbf{v} \in \tilde{T}.

Ciò vuol dire che \mathbf{v} può essere espresso come combinazione lineare dei vettori della base di \tilde{S} e dei vettori della base di \tilde{T}, cioè esistono \alpha_1, \ \alpha_2, \ \beta_1, \ \beta_2 \in \mathbb{R} tali che

\\ \mathbf{v} = \alpha_1(0,1,1,0)+\alpha_2(-1,0,0,1) = \\ \\ =(0,\alpha_1,\alpha_1,0)+(-\alpha_2,0,0,\alpha_2)=(-\alpha_2,\alpha_1,\alpha_1,\alpha_2) \\ \\ \\ \mathbf{v}=\beta_1(2,1,1,0)+\beta_2(1,2,2,-1)= \\ \\ = (2\beta_1, \beta_1, \beta_1, 0) + (\beta_2, 2\beta_2, 2\beta_2, -\beta_2) = (2\beta_1+\beta_2, \beta_1+2\beta_2, \beta_1+2\beta_2, -\beta_2)

Il vettore a primo membro delle precedenti relazioni è lo stesso, dunque dev'essere

(-\alpha_2,\alpha_1,\alpha_1,\alpha_2) = (2\beta_1+\beta_2, \beta_1+2\beta_2, \beta_1+2\beta_2, -\beta_2)

ossia

\begin{cases}-\alpha_2=2\beta_1+\beta_2 \\ \alpha_1=\beta_1+2\beta_2 \\ \alpha_1=\beta_1+2\beta_2 \\ \alpha_2=-\beta_2\end{cases}

Troviamo le soluzioni del sistema procedendo col metodo di sostituzione

La seconda e la terza equazione sono identiche, dunque possiamo tralasciarne una. Inoltre, dall'ultima equazione si sa che \alpha_2=-\beta_2.

Sostituiamo nella prima

-\alpha_2=2\beta_1+\beta_2 \to \beta_2=2\beta_1+\beta_2 \to \beta_1=0

Dalla seconda equazione del sistema si ricava, infine

\alpha_1=\beta_1+2\beta_2 = 2\beta_2

Ricomponiamo il sistema

\begin{cases}\alpha_2=-\beta_2 \\ \beta_1=0 \\ \alpha_1=2\beta_2\end{cases}

L'ultima equazione dipende da 1 incognita, quindi come discusso nella lezione sui metodi di risoluzione dei sistemi lineari il sistema è compatibile e ammette \infty^1 soluzioni.

Poniamo, ad esempio, \beta_2=a, \mbox{ con } a \in \mathbb{R}

\begin{cases}\beta_1=0 \\ \beta_2=a \\ \alpha_2=-\beta_2=-a \\ \alpha_1=2\beta_2=2a\end{cases}

Sostituiamo ora \alpha_1=2a \mbox{ e } \alpha_2=-a nella generica combinazione lineare del vettore \mathbf{v}

\\ \mathbf{v} = \alpha_1(0,1,1,0)+\alpha_2(-1,0,0,1) = \\ \\ =(0,\alpha_1,\alpha_1,0)+(-\alpha_2,0,0,\alpha_2)=(-\alpha_2,\alpha_1,\alpha_1,\alpha_2) = \\ \\ = (a,2a,2a,-a) \mbox{ con } a \in \mathbb{R}

e scriviamola sotto forma di combinazione lineare

\mathbf{v} \in \tilde{S}\cap \tilde{T} \iff \mathbf{v}=(a,2a,2a,-a)=a(1,2,2,-1)

Si ottiene così una base per \tilde{S} \cap \tilde{T}

\mathcal{B}_{\tilde{S} \cap \tilde{T}} = \{(1,2,2,-1)\}

Quindi

\mathcal{B}_{S \cap T} = \left\{\begin{pmatrix}1&2 \\ 2&-1\end{pmatrix}\right\}

e la dimensione del sottospazio intersezione è 1

\mbox{dim}(S \cap T) = 1.



L'esercizio può dirsi concluso, ma almeno da un punto di vista dimensionale possiamo verificare di non aver commesso errori richiamando la formula di Grassmann, secondo cui

\mbox{dim}(S+T)=\mbox{dim}(S)+\mbox{dim}(T)-\mbox{dim}(S \cap T)

Nell'esercizio in esame

\mbox{dim}(S+T)=3, \ \mbox{dim}(S)=2, \ \mbox{dim}(T)=2, \ \mbox{dim}(S \cap T)=1

Sostituendo nella formula di Grassmann otteniamo un'identità

3=2+2-1

dunque le dimensioni ottenute sono corrette.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby, Iusbe
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