Serie numerica con Taylor

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#63699
avt
kukaaa
Cerchio
Salve a tutti, eccomi qui con una serie numerica da studiare con Taylor. Ringrazio omega per avermi dato la possibilità di recuperare i topic che ho perso per strada.

Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

Σ_(n = 1)^(∞)e^((1)/(n^((1)/(2))))-sin((1)/(n^((1)/(2))))-cosh((1)/(n^((1)/(2))))

Grazie
#63706
avt
Ifrit
Amministratore
Ciao kukaaa emt

Abbiamo la serie:

Σ_(n = 1)^(∞)e^((1)/(n^((1)/(2))))-sin((1)/(n^((1)/(2))))-cosh((1)/(n^((1)/(2))))

e vogliamo studiarne il carattere. Per farlo utilizzeremo gli sviluppi notevoli di Taylor per successioni.

Cominciamo con la funzione esponenziale:

• , ,e^((1)/(n^((1)/(2)))) = 1+(1)/(n^((1)/(2)))+(1)/(2 n)+(1)/(6)(1)/(n^((3)/(2)))+o((1)/(n^((3)/(2))))

Continuiamo con la funzione seno:

• , , sin((1)/(n^((1)/(2)))) = (1)/(n^((1)/(2)))-(1)/(6)(1)/(n^((3)/(2)))+o((1)/(n^((3)/(2))))

e infine con la funzione coseno iperbolico:

cosh((1)/(n^((1)/(2)))) = 1+(1)/(2n)+o((1)/(n^((3)/(2))))

Grazie gli sviluppi notevoli possiamo scrivere che:

e^((1)/(n^((1)/(2))))-sin((1)/(n^((1)/(2))))-cosh((1)/(n^((1)/(2)))) =

1+(1)/(n^((1)/(2)))+(1)/(2 n)+(1)/(6)(1)/(n^((3)/(2)))-
-[(1)/(n^((1)/(2)))-(1)/(6)(1)/(n^((3)/(2)))]
-[1+(1)/(2n)]+o((1)/(n^((3)/(2))))

sommando i termini simili otterrai:

e^((1)/(n^((1)/(2))))-sin((1)/(n^((1)/(2))))-cosh((1)/(n^((1)/(2)))) = (1)/(3)(1)/(n^((3)/(2)))+o((1)/(n^((3)/(2))))

In definitiva il termine n-esimo della serie è asintoticamente equivalente a (1)/(3)(1)/(n^((3)/(2)))

La serie di partenza ha lo stesso comportamento della serie:

(1)/(3)Σ_(n = 1)^(∞)(1)/(n^((3)/(2)))

A meno della costante moltiplicativa, questa è una serie armonica generalizzata con esponente (3)/(2) > 1 e pertanto è convergente.

Per il criterio del confronto asintotico per le serie la serie di partenza converge.

Se hai dubbi chiedi emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, CarFaby, kukaaa
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