Serie numerica con Taylor

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Serie numerica con Taylor #63699

avt
kukaaa
Cerchio
Salve a tutti, eccomi qui con una serie numerica da studiare con Taylor. Ringrazio omega per avermi dato la possibilità di recuperare i topic che ho perso per strada.

Studiare la convergenza della seguente serie numerica:

\sum_{n=1}^{\infty}e^{\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}-\sin\left(\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\right)-\cosh\left(\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\right)

Grazie
 
 

Serie numerica con Taylor #63706

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao kukaaa emt

Abbiamo la serie:

\sum_{n=1}^{\infty}e^{\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}-\sin\left(\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\right)-\cosh\left(\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\right)

e vogliamo studiarne il carattere. Per farlo utilizzeremo gli sviluppi notevoli di Taylor per successioni.

Cominciamo con la funzione esponenziale:

\bullet\,\,e^{\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}=1+\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2 n}+\frac{1}{6}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}+o\left(\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\right)

Continuiamo con la funzione seno:

\bullet\,\, \sin\left(\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\right)=\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{6}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}+o\left(\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\right)

e infine con la funzione coseno iperbolico:

\cosh\left(\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\right)=1+\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\right)

Grazie gli sviluppi notevoli possiamo scrivere che:

e^{\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}-\sin\left(\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\right)-\cosh\left(\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\right)=

1+\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2 n}+\frac{1}{6}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}-
-\left[\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{6}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\right]
-\left[1+\frac{1}{2n}\right]+o\left(\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\right)

sommando i termini simili otterrai:

e^{\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}}-\sin\left(\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\right)-\cosh\left(\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\right)=\frac{1}{3}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}+o\left(\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\right)

In definitiva il termine n-esimo della serie è asintoticamente equivalente a \frac{1}{3}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}

La serie di partenza ha lo stesso comportamento della serie:

\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}

A meno della costante moltiplicativa, questa è una serie armonica generalizzata con esponente \frac{3}{2}>1 e pertanto è convergente.

Per il criterio del confronto asintotico per le serie la serie di partenza converge.

Se hai dubbi chiedi emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, CarFaby, kukaaa
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Os