Equazione complessa con modulo e parte immaginaria

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Equazione complessa con modulo e parte immaginaria #63554

avt
Omega
Amministratore
Risolvere la seguente equazione in campo complesso con parte immaginaria Im(z) e coniugato dell'incognita complessa |z|

z^2-3|z|^2-i\ Im(z)=0

Nota: domanda aperta per conto dell'utente Pyske.
 
 

Re: Equazione complessa con modulo e parte immaginaria #63555

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione conviene passare alla forma algebrica dell'incognita complessa z. Conviene farlo nel 99% dei casi quando si devono risolvere equazioni in cui compaiono la parte reale Re(z) o la parte immaginaria Im(x).

Poniamo dunque z=x+iy, dove per definizione x=Re(z) è la parte reale e y=Im(z) è la parte immaginaria.

Nota bene: x,y\in\mathbb{R}, sono entrambi numeri reali.

Con questa scelta possiamo scrivere facilmente il coniugato di z e la parte immaginaria e sostituirle nell'equazione

|z|=\sqrt{x^2+y^2}\ \to\ |z|^2=x^2+y^2

Im(z)=y

Procediamo

z^2-3|z|^2-i\ Im(z)=0

abbiamo quindi

(x+iy)^2-3(x^2+y^2)-iy=0

Sviluppiamo il quadrato con la solita regola del quadrato di un binomio

x^2+2ixy+i^2y^2-3x^2-3y^2-iy=0

Ricordando le regole per le potenze dell'unità immaginaria: i^2=-1

x^2+2ixy-y^2-3x^2-3y^2-iy=0

Sommiamo i termini simili

-2x^2+2ixy-4y^2-iy=0

e riordiniamo il membro di sinistra in modo da separare parte reale (senza i ) e parte immaginaria (raccogliendo i )

(-2x^2-4y^2)+i(2xy-y)=0

Per trovare le soluzioni dell'equazione dobbiamo confrontare membro di sinistra e membro di destra separatamente nella parte reale e nella parte immaginaria

\begin{cases}-2x^2-4y^2=0\\ 2xy-y=0\end{cases}

Risolviamo il sistema partendo dalla seconda equazione

\begin{cases}-2x^2-4y^2=0\\ y(2x-1)=0\end{cases}

essa ammette due possibili soluzioni

\begin{cases}-2x^2-4y^2=0\\ y=0\ \vee\ x=\frac{1}{2}\end{cases}

Non ci resta che sostituirle separatamente nella prima equazione del sistema

y=0\ \to\ x=0

quindi troviamo come prima soluzione dell'equazione complessa il numero z=0.

x=\frac{1}{2}\ \to\ -\frac{1}{2}-4y^2=0\ \Rightarrow\ y^2=-\frac{1}{8}

quest'ultima equazione (che è un'equazione in campo reale, infatti x,y\in\mathbb{R}) è impossibile.


L'unica soluzione dell'equazione complessa è z=0.
Ringraziano: Pi Greco, Galois, CarFaby
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Os