Bene, cominciamo con il
calcolo del dominio della funzione
Abbiamo due
ingredienti problematici:
- il
logaritmo, che vuole l'argomento strettamente positivo;
- il rapporto, che vuole il denominatore diverso da zero.
Dato che devono valere entrambe le condizioni, le mettiamo a sistema
da notare che la seconda condizione è implicitamente inclusa nella prima, in accordo con il metodo di risoluzione delle
disequazioni fratte. Le disequazioni fratte infatti prevedono di per sé che il denominatore sia diverso da zero sempre e comunque.
Di conseguenza possiamo limitarci a risolvere
e per farlo studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore, ponendoli maggiori di zero. Avremo a che fare con due
disequazioni di secondo grado.
Numeratore
Calcoliamo le soluzioni dell'
equazione di secondo grado associata, usando la formula del discriminante
da cui ricaviamo la scomposizione
e quindi come intervalli di positività del numeratore

.
Denominatore Procediamo in modo analogo
e risolviamo l'equazione associata
da cui ricaviamo la fattorizzazione del denominatore
e di conseguenza scopriamo che il denominatore è positivo per

.
Confronto dei segni di numeratore e denominatore Ci interessano i valori di

che rendono la frazione positiva, quindi molto semplicemente
Soluzioni della disequazione (dominio della funzione)
Passiamo a calcolare gli
asintoti della funzione. Dobbiamo tenere conto degli estremi illimitati del dominio e degli estremi finiti. Cominciamo con gli estremi infiniti, abbiamo a che fare con limiti immediati
i risultati sono immediati per
confronto tra infiniti, infatti è sufficiente considerare i polinomi presenti a numeratore e denominatore e prendere i monomi di grado massimo. In questo modo si conclude che gli argomenti dei logaritmi, in entrambi i casi, tendono a 1.
Occupiamoci infine degli estremi finiti. Scriviamo i limiti che dobbiamo calcolare:
è importante ricordare che
i più e i meno nel valore cui tende

significano rispettivamente
a sinistra e a destra del numero. Dato che abbiamo a che fare con valutazioni di
infiniti e infinitesimi in corrispondenza di valori finiti di

, conviene scrivere i limiti con le scomposizioni di numeratore e denominatore
Ora, attenzione! Partiamo dall'ultimo. Scriveremo esplicitamente i valori di infinitesimo come

e

sottolineando che è una
scrittura impropria, dunque in sede d'esame sarebbe opportuno scrivere questi conti da parte senza coinvolgere il simbolo di uguale. Useremo piuttosto le parentesi quadre
![[...]](data:image/gif;base64,R0lGODlhFwASAOMAAP///wAAACIiIjAwMIqKiszMzObm5ra2tgQEBHR0dAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAXABIAAAQ/EAAxiLw4gzSG9FqYgaBokmaKpuLKau6LxfJn1/ON3+XuFgODBCgEEC+uA+IgUTIBTqTON8XRalcZiGKpcQYRADs=)
che sta ad indicare una
pseudo-uguaglianza.
il termine che crea problemi in termini di infinitesimo/infinito è quello che annulla il numeratore. E' importante fare attenzione ai segni di tutti i termini coinvolti
portiamo a termine il conto
il termine problematico genera uno

perché

e quindi ci troviamo a destra di 3. Insomma,
poco più di 3. il risultato finale si ottiene tenendo conto dell'andamento della
funzione logaritmo naturale nell'intorno destro di

.
Ora calcolo il primo limite che ho segnato:
con considerazioni analoghe alle precedenti. Qui ci sono problemi al denominatore!
il secondo termine al denominatore dà

perché

e dunque ci troviamo a sinistra di

. Insomma: numero negativo in modulo più grande di 3 (per dare un'idea -3,01 è nell'
intorno sinistro di -3).
In modo analogo calcoliamo
qui il problema è dato dal numeratore
il termine incriminato dà

perché

e dunque ci troviamo a destra di
Utilizzando la medesima strategia risolutiva, otteniamo che il limite sinistro per

da sinistra è
Il
grafico della funzione lo puoi plottare con il tool del link. In definitiva abbiamo:
-
asintoto orizzontale per
-
asintoto verticale in

e in particolare verticale sinistro per

e verticale destro per

.