Dominio e asintoti di una funzione logaritmica con argomento fratto

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Dominio e asintoti di una funzione logaritmica con argomento fratto #63547

Omega Amministratore	Determinare il dominio e calcolare gli asintoti della seguente funzione logaritmica con argomento razionale: $f(x)=\log\left(\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}\right)$ Nota: domanda aperta per conto dell'utente Pyske.

Re: Dominio e asintoti di una funzione logaritmica con argomento fratto #63552

Omega

Amministratore

Bene, cominciamo con il calcolo del dominio della funzione

$f(x)=\log\left(\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}\right)$

Abbiamo due ingredienti problematici:

- il logaritmo, che vuole l'argomento strettamente positivo;

- il rapporto, che vuole il denominatore diverso da zero.

Dato che devono valere entrambe le condizioni, le mettiamo a sistema

$\begin{cases}\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}> 0\\ x^2+2x-3\neq 0\end{cases}$

da notare che la seconda condizione è implicitamente inclusa nella prima, in accordo con il metodo di risoluzione delle disequazioni fratte. Le disequazioni fratte infatti prevedono di per sé che il denominatore sia diverso da zero sempre e comunque.

Di conseguenza possiamo limitarci a risolvere

$\begin{cases}\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}>0\\ x^2+2x-3\neq 0\end{cases}\ \Rightarrow\ \frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}>0$

e per farlo studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore, ponendoli maggiori di zero. Avremo a che fare con due disequazioni di secondo grado.

Numeratore

Calcoliamo le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata, usando la formula del discriminante

$x_{1,2}=\frac{+2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\begin{cases}-1\\ +3\end{cases}$

da cui ricaviamo la scomposizione

e quindi come intervalli di positività del numeratore $x<-1\ \vee\ x>+3$ .

Denominatore

Procediamo in modo analogo

e risolviamo l'equazione associata

$x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\begin{cases}-3\\ +1\end{cases}$

da cui ricaviamo la fattorizzazione del denominatore

e di conseguenza scopriamo che il denominatore è positivo per $x<-3\ \vee\ x>+1$ .

Confronto dei segni di numeratore e denominatore

Ci interessano i valori di

che rendono la frazione positiva, quindi molto semplicemente

Soluzioni della disequazione (dominio della funzione)

$Dom(f)=(-\infty,-3)\cup(-1,+1)\cup(+3,+\infty)$

Passiamo a calcolare gli asintoti della funzione. Dobbiamo tenere conto degli estremi illimitati del dominio e degli estremi finiti. Cominciamo con gli estremi infiniti, abbiamo a che fare con limiti immediati

$\\ \lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\log\left(\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}\right)=\log(1)=0 \\ \\ \\ \lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\log\left(\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}\right)=\log(1)=0$

i risultati sono immediati per confronto tra infiniti, infatti è sufficiente considerare i polinomi presenti a numeratore e denominatore e prendere i monomi di grado massimo. In questo modo si conclude che gli argomenti dei logaritmi, in entrambi i casi, tendono a 1.

Occupiamoci infine degli estremi finiti. Scriviamo i limiti che dobbiamo calcolare:

$\\ \lim_{x\to (-3)^-}\log\left(\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}\right) \\ \\ \\ \lim_{x\to (-1)^+}\log\left(\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}\right) \\ \\ \\ \lim_{x\to (+1)^-}\log\left(\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}\right) \\ \\ \\ \lim_{x\to (+3)^+}\log\left(\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}\right)$

è importante ricordare che i più e i meno nel valore cui tende

significano rispettivamente a sinistra e a destra del numero. Dato che abbiamo a che fare con valutazioni di infiniti e infinitesimi in corrispondenza di valori finiti di

, conviene scrivere i limiti con le scomposizioni di numeratore e denominatore

$\\ \lim_{x\to (-3)^-}\log\left(\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+3)}\right) \\ \\ \\ \lim_{x\to (-1)^+}\log\left(\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+3)}\right) \\ \\ \\ \lim_{x\to (+1)^-}\log\left(\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+3)}\right) \\ \\ \\ \lim_{x\to (+3)^+}\log\left(\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+3)}\right)$

Ora, attenzione! Partiamo dall'ultimo. Scriveremo esplicitamente i valori di infinitesimo come

sottolineando che è una scrittura impropria, dunque in sede d'esame sarebbe opportuno scrivere questi conti da parte senza coinvolgere il simbolo di uguale. Useremo piuttosto le parentesi quadre $\left[...\right]$ che sta ad indicare una pseudo-uguaglianza.

$\lim_{x\to (+3)^+}\log\left(\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+3)}\right)=$

il termine che crea problemi in termini di infinitesimo/infinito è quello che annulla il numeratore. E' importante fare attenzione ai segni di tutti i termini coinvolti

$=\left[\log\left(\frac{(+4)(0^+)}{(+2)(+6)}\right)\right]=$

portiamo a termine il conto

$=\left[\log\left(\frac{0^+}{+12}\right)\right]=\left[\log\left(0^+\right)\right]=-\infty$

il termine problematico genera uno $0^{+}$ perché $x\to (+3)^+$ e quindi ci troviamo a destra di 3. Insomma, poco più di 3. il risultato finale si ottiene tenendo conto dell'andamento della funzione logaritmo naturale nell'intorno destro di

.

Ora calcolo il primo limite che ho segnato:

$\lim_{x\to (-3)^-}\log\left(\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+3)}\right)=$

con considerazioni analoghe alle precedenti. Qui ci sono problemi al denominatore!

$=\left[\log\left(\frac{(-2)(-6)}{(-4)(0^-)}\right)\right]=$

il secondo termine al denominatore dà

perché $x\to (-3)^-$ e dunque ci troviamo a sinistra di

. Insomma: numero negativo in modulo più grande di 3 (per dare un'idea -3,01 è nell'intorno sinistro di -3).

$=\left[\log\left(+\infty\right)\right]=+\infty$

In modo analogo calcoliamo

$\lim_{x\to (-1)^+}\log\left(\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+3)}\right)=$

qui il problema è dato dal numeratore

$=\left[\log\left(\frac{(0^+)(-4)}{(-2)(+2)}\right)\right]=$

il termine incriminato dà

perché $x\to (-1)^+$ e dunque ci troviamo a destra di

$=\left[\log\left(\frac{0^-}{(-4)}\right)\right]= \left[\log\left(0^+\right)\right]=-\infty$

Utilizzando la medesima strategia risolutiva, otteniamo che il limite sinistro per $x\to 1$ da sinistra è $+\infty$

$\lim_{x\to (+1)^-}\log\left(\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+3)}\right)=+\infty$

Il grafico della funzione lo puoi plottare con il tool del link. In definitiva abbiamo:

- asintoto orizzontale per $x\to +\infty,\ x\to -\infty$

- asintoto verticale in $x=-3,\ x=-1,\ x=+1,\ x=+3$ e in particolare verticale sinistro per $x=-3,\ x=+1$ e verticale destro per $x=+3,\ x=-1$ .

Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, danying, Galois, CarFaby

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