Dominio e asintoti di una funzione logaritmica con argomento fratto

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Dominio e asintoti di una funzione logaritmica con argomento fratto #63547

avt
Omega
Amministratore
Determinare il dominio e calcolare gli asintoti della seguente funzione logaritmica con argomento razionale:

f(x)=\log\left(\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}\right)


Nota: domanda aperta per conto dell'utente Pyske.
 
 

Re: Dominio e asintoti di una funzione logaritmica con argomento fratto #63552

avt
Omega
Amministratore
Bene, cominciamo con il calcolo del dominio della funzione

f(x)=\log\left(\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}\right)

Abbiamo due ingredienti problematici:

- il logaritmo, che vuole l'argomento strettamente positivo;

- il rapporto, che vuole il denominatore diverso da zero.

Dato che devono valere entrambe le condizioni, le mettiamo a sistema

\begin{cases}\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}> 0\\ x^2+2x-3\neq 0\end{cases}

da notare che la seconda condizione è implicitamente inclusa nella prima, in accordo con il metodo di risoluzione delle disequazioni fratte. Le disequazioni fratte infatti prevedono di per sé che il denominatore sia diverso da zero sempre e comunque.

Di conseguenza possiamo limitarci a risolvere

\begin{cases}\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}>0\\ x^2+2x-3\neq 0\end{cases}\ \Rightarrow\ \frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}>0

e per farlo studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore, ponendoli maggiori di zero. Avremo a che fare con due disequazioni di secondo grado.

Numeratore

x^2-2x-3>0

Calcoliamo le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata, usando la formula del discriminante

x_{1,2}=\frac{+2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\begin{cases}-1\\ +3\end{cases}

da cui ricaviamo la scomposizione

(x+1)(x-3)>0

e quindi come intervalli di positività del numeratore x<-1\ \vee\ x>+3.

Denominatore

Procediamo in modo analogo

x^2+2x-3>0

e risolviamo l'equazione associata

x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\begin{cases}-3\\ +1\end{cases}

da cui ricaviamo la fattorizzazione del denominatore

(x-1)(x+3)>0

e di conseguenza scopriamo che il denominatore è positivo per x<-3\ \vee\ x>+1.

Confronto dei segni di numeratore e denominatore

Ci interessano i valori di x che rendono la frazione positiva, quindi molto semplicemente

Soluzioni della disequazione (dominio della funzione)

Dom(f)=(-\infty,-3)\cup(-1,+1)\cup(+3,+\infty)


Passiamo a calcolare gli asintoti della funzione. Dobbiamo tenere conto degli estremi illimitati del dominio e degli estremi finiti. Cominciamo con gli estremi infiniti, abbiamo a che fare con limiti immediati

\\ \lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\log\left(\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}\right)=\log(1)=0 \\ \\ \\ \lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\log\left(\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}\right)=\log(1)=0

i risultati sono immediati per confronto tra infiniti, infatti è sufficiente considerare i polinomi presenti a numeratore e denominatore e prendere i monomi di grado massimo. In questo modo si conclude che gli argomenti dei logaritmi, in entrambi i casi, tendono a 1.


Occupiamoci infine degli estremi finiti. Scriviamo i limiti che dobbiamo calcolare:

\\ \lim_{x\to (-3)^-}\log\left(\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}\right) \\ \\ \\ \lim_{x\to (-1)^+}\log\left(\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}\right) \\ \\ \\ \lim_{x\to (+1)^-}\log\left(\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}\right) \\ \\ \\ \lim_{x\to (+3)^+}\log\left(\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x-3}\right)

è importante ricordare che i più e i meno nel valore cui tende x significano rispettivamente a sinistra e a destra del numero. Dato che abbiamo a che fare con valutazioni di infiniti e infinitesimi in corrispondenza di valori finiti di x, conviene scrivere i limiti con le scomposizioni di numeratore e denominatore

\\ \lim_{x\to (-3)^-}\log\left(\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+3)}\right) \\ \\ \\ \lim_{x\to (-1)^+}\log\left(\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+3)}\right) \\ \\ \\ \lim_{x\to (+1)^-}\log\left(\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+3)}\right) \\ \\ \\ \lim_{x\to (+3)^+}\log\left(\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+3)}\right)


Ora, attenzione! Partiamo dall'ultimo. Scriveremo esplicitamente i valori di infinitesimo come 0^+ e 0^- sottolineando che è una scrittura impropria, dunque in sede d'esame sarebbe opportuno scrivere questi conti da parte senza coinvolgere il simbolo di uguale. Useremo piuttosto le parentesi quadre \left[...\right] che sta ad indicare una pseudo-uguaglianza.

\lim_{x\to (+3)^+}\log\left(\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+3)}\right)=

il termine che crea problemi in termini di infinitesimo/infinito è quello che annulla il numeratore. E' importante fare attenzione ai segni di tutti i termini coinvolti

=\left[\log\left(\frac{(+4)(0^+)}{(+2)(+6)}\right)\right]=

portiamo a termine il conto

=\left[\log\left(\frac{0^+}{+12}\right)\right]=\left[\log\left(0^+\right)\right]=-\infty

il termine problematico genera uno 0^{+} perché x\to (+3)^+ e quindi ci troviamo a destra di 3. Insomma, poco più di 3. il risultato finale si ottiene tenendo conto dell'andamento della funzione logaritmo naturale nell'intorno destro di x=0.


Ora calcolo il primo limite che ho segnato:

\lim_{x\to (-3)^-}\log\left(\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+3)}\right)=

con considerazioni analoghe alle precedenti. Qui ci sono problemi al denominatore!

=\left[\log\left(\frac{(-2)(-6)}{(-4)(0^-)}\right)\right]=

il secondo termine al denominatore dà 0^- perché x\to (-3)^- e dunque ci troviamo a sinistra di (-3). Insomma: numero negativo in modulo più grande di 3 (per dare un'idea -3,01 è nell'intorno sinistro di -3).

=\left[\log\left(+\infty\right)\right]=+\infty


In modo analogo calcoliamo

\lim_{x\to (-1)^+}\log\left(\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+3)}\right)=

qui il problema è dato dal numeratore

=\left[\log\left(\frac{(0^+)(-4)}{(-2)(+2)}\right)\right]=

il termine incriminato dà 0^+ perché x\to (-1)^+ e dunque ci troviamo a destra di (-1)

=\left[\log\left(\frac{0^-}{(-4)}\right)\right]= \left[\log\left(0^+\right)\right]=-\infty

Utilizzando la medesima strategia risolutiva, otteniamo che il limite sinistro per x\to 1 da sinistra è +\infty

\lim_{x\to (+1)^-}\log\left(\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x+3)}\right)=+\infty

Il grafico della funzione lo puoi plottare con il tool del link. In definitiva abbiamo:

- asintoto orizzontale per x\to +\infty,\ x\to -\infty

- asintoto verticale in x=-3,\ x=-1,\ x=+1,\ x=+3 e in particolare verticale sinistro per x=-3,\ x=+1 e verticale destro per x=+3,\ x=-1.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, danying, Galois, CarFaby
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