Dominio e asintoti di una funzione logaritmica con argomento fratto

Determinare il dominio e calcolare gli asintoti della seguente funzione logaritmica con argomento razionale:

Bene, cominciamo con il calcolo del dominio della funzione



Abbiamo due ingredienti problematici:

- il logaritmo, che vuole l'argomento strettamente positivo;

- il rapporto, che vuole il denominatore diverso da zero.

Dato che devono valere entrambe le condizioni, le mettiamo a sistema



da notare che la seconda condizione è implicitamente inclusa nella prima, in accordo con il metodo di risoluzione delle disequazioni fratte. Le disequazioni fratte infatti prevedono di per sé che il denominatore sia diverso da zero sempre e comunque.

Di conseguenza possiamo limitarci a risolvere



e per farlo studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore, ponendoli maggiori di zero. Avremo a che fare con due disequazioni di secondo grado.

Numeratore



Calcoliamo le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata, usando la formula del discriminante



da cui ricaviamo la scomposizione



e quindi come intervalli di positività del numeratore .

Denominatore

Procediamo in modo analogo



e risolviamo l'equazione associata



da cui ricaviamo la fattorizzazione del denominatore



e di conseguenza scopriamo che il denominatore è positivo per .

Confronto dei segni di numeratore e denominatore

Ci interessano i valori di che rendono la frazione positiva, quindi molto semplicemente

Soluzioni della disequazione (dominio della funzione)




Passiamo a calcolare gli asintoti della funzione. Dobbiamo tenere conto degli estremi illimitati del dominio e degli estremi finiti. Cominciamo con gli estremi infiniti, abbiamo a che fare con limiti immediati



i risultati sono immediati per confronto tra infiniti, infatti è sufficiente considerare i polinomi presenti a numeratore e denominatore e prendere i monomi di grado massimo. In questo modo si conclude che gli argomenti dei logaritmi, in entrambi i casi, tendono a 1.


Occupiamoci infine degli estremi finiti. Scriviamo i limiti che dobbiamo calcolare:



è importante ricordare che i più e i meno nel valore cui tende significano rispettivamente a sinistra e a destra del numero. Dato che abbiamo a che fare con valutazioni di infiniti e infinitesimi in corrispondenza di valori finiti di , conviene scrivere i limiti con le scomposizioni di numeratore e denominatore




Ora, attenzione! Partiamo dall'ultimo. Scriveremo esplicitamente i valori di infinitesimo come e sottolineando che è una scrittura impropria, dunque in sede d'esame sarebbe opportuno scrivere questi conti da parte senza coinvolgere il simbolo di uguale. Useremo piuttosto le parentesi quadre che sta ad indicare una pseudo-uguaglianza.



il termine che crea problemi in termini di infinitesimo/infinito è quello che annulla il numeratore. E' importante fare attenzione ai segni di tutti i termini coinvolti



portiamo a termine il conto



il termine problematico genera uno perché e quindi ci troviamo a destra di 3. Insomma, poco più di 3. il risultato finale si ottiene tenendo conto dell'andamento della funzione logaritmo naturale nell'intorno destro di .


Ora calcolo il primo limite che ho segnato:



con considerazioni analoghe alle precedenti. Qui ci sono problemi al denominatore!



il secondo termine al denominatore dà perché e dunque ci troviamo a sinistra di . Insomma: numero negativo in modulo più grande di 3 (per dare un'idea -3,01 è nell'intorno sinistro di -3).




In modo analogo calcoliamo



qui il problema è dato dal numeratore



il termine incriminato dà perché e dunque ci troviamo a destra di



Utilizzando la medesima strategia risolutiva, otteniamo che il limite sinistro per da sinistra è



Il grafico della funzione lo puoi plottare con il tool del link. In definitiva abbiamo:

- asintoto orizzontale per

- asintoto verticale in e in particolare verticale sinistro per e verticale destro per .