Funzione differenziabile con esponente in valore assoluto

Buongiorno, ho quasi ultimato lo studio delle funzioni in due variabili ma ho un dubbio che mi blocca riguardo alla differenziabilità di una funzione con valore assoluto.

Sia data la seguente funzione:



determinare se è parzialmente derivabile e differenziabile in

Ok iniziamo. Il mio ragionamento è stato:

1) Dimostro la continuità della funzione mediante limite in due variabili:



Dove si vede che fa . Quindi posso dire che la funzione è continua poiché il limite esiste ed è .

2) Studio quindi la derivabilità:



Che sarebbe:



La derivata parziale rispetto a y invece dovrebbe essere:



E quindi ho due le due derivate parziali che esistono e valgono e . E' corretto fin qui?


Ora: posso impostare il limite per dichiarare se la funzione è differenziabile in

3) Determinazione differenziabilità:



Sostituendo i valori ho:



Cioè ottengo:



Ora passo alle coordinate polari e quindi e . Ritornando al mio limite:



Dove apportando le giuste semplificazioni ottengo:



Cioè:



Quindi il mio limite è finito e la funzione è differenziabile in

I procedimenti sono giusti? Ho scordato qualcosa?


Ed ecco la domanda clou dell'esercizio: all'esame il seguente svolgimento è completo?
Perché ho fatto già un bel po' di studi di funzione e mi sono sorti alcuni dubbi.
Quando arrivo a determinare le derivate parziali, il procedimento che ho fatto è sufficiente o devo anche calcolarle facendo vedere tutti i passaggi e POI eseguire il limite che ne dimostra l'esistenza? Perché in alcuni esercizi ho visto che svolgevate semplicemente i limiti e in altri riportavate anche la derivata. Sono un po' perplesso


Spero di non essermi dilungato e spero che siano precisi i passaggi
Un caro saluto!

Ciao Iusbe, il tempo di leggere tutto per bene e ti dico!

Se mi presentassero questa risoluzione, personalmente sarei molto soddisfatto. Ci sono però abusi nella scrittura. Vado con ordine

1. La continuità in (0,0): il tuo metodo va benissimo, a patto che scrivi esplicitamente che il limite in due variabili coincide con il valore che la funzione assume in (0,0) [Pignoleria over 9000].

Osservazione: il fatto che il limite esista finito non è condizione sufficiente per la continuità di una funzione.

Per farti un esempio in una variabile (mi viene più facile). Considera la funzione:



Hai che:



ma il limite ottenuto è diverso dal valore che la funzione assume in zero, in parole povere:



quindi la funzione non è continua in 0 nonostante il limite per x che tende a zero sia finito.

Altro appunto: avresti potuto evitare di impostare il limite, e superare la questione con una semplice frase (in questo caso):

la funzione è continua in (0,0) perché composizione di funzioni continue.

In questo modo dimostri di saper utilizzare correttamente i teoremi che ti hanno fornito durante il corso, ma ripeto, anche il tuo metodo funziona!
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Per la parziale derivabilità, ci siamo! Hai scritto e calcolato correttamente i limiti. L'unica cosa a cui devi stare attento è la forma in cui scrivi: migliora il tuo "matematichese". Mi riferisco in particolare alla scrittura:





Quell'uguale è considerato errore, anche se sono sicuro che tu l'abbia fatto per evitarti lo sbattimento latex, .

Lo studio della differenziabilità è ben scritto. Solo una frase mi turba:

"Quindi il mio limite è finito e la funzione è differenziabile in ."

Affinché una funzione sia differenziabile in (0,0) dobbiamo richiedere che il "limitone"



sia esattamente uguale a zero. Ti renderai conto che la frase:

"Quindi il mio limite è finito e la funzione è differenziabile in ."

è diverso da

"Quindi il mio limite è zero e la funzione è differenziabile in ."

Per quanto riguarda il calcolo esplicito delle derivate parziali, be' dipende dalla traccia: se è esplicitamente richiesto di calcolarle devi farlo ovviamente, se invece non è esplicitato allora hai possibilità di scelta: sta a te decidere qual è la strada migliore da seguire. (Personalmente mi sono sempre trovato bene con le definizioni, mi fanno stare più tranquillo, ma non è detto che sia il modo migliore)
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Overall:

Esercizio risolto molto bene, io darei tutti i punti, e se dovessi essere proprio estremista, canaglia (leggi str@&%*), toglierei 1 punto.

Uhm



Siamo due pignoli, come hai potuto notare nel PM che ti ho mandato ieri
Quindi è errato scrivere il limite e poi dire a parole che fa 0 ?
Ho notato che ho omesso:



e questo che intendi?

Poi:


Non mi è chiaro come posso "correre ai ripari" come posso quindi affermare sia continua su tutto ?



Ehm si in effetti ho accorciato
Non succederà più



E' un brutto vizio che mi toglierò facendo così: ogni volta che lo scrivo per punizione faccio 3 limiti in due variabili

Grazie infinite Ifrit

Dopo cena faccio ancora almeno 5 funzioni

Per le altre domande rispondi pure con calma dopocena (cenerai anche tu nevvero? )

Quello che intendevo dire è che non basta dire il risultato del limite. Bisogna accertarsi che il limite, oltre essere finito, coincida con il valore che la funzione assume nel punto a cui tende (x,y).

Devi cioè far vedere che:



Ora dalla definizione di funzione che hai proposto scopriamo che



quindi vale l'uguaglianza:



e ciò implica che la funzione è continua in (0,0). Nell'esempio che ti ho riportato, ho evidenziato che esistono funzioni che pur ammettendo limite finito, non sono continue.


Per dimostrare la continuità in puoi sfruttare la continuità "dei singoli pezzi della funzione". Ad occhio infatti si vede che la funzione che hai proposto è continua in tutto perché ogni singolo pezzo che la compone è continuo in [comunque non mi è chiaro perché hai posto questa domanda, considerando che nell'esercizio non è richiesto]

Fammi sapere.



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Ps: no, non ceno, sono un cyborg che non ha bisogno di cibo, mangio libri di cibernetica e insalate di matematica

Ora e TUTTO chiaro ho posto l'altra domanda per curiosità mia

Perfetto!

Tutto risolto

Grazie mille ancora!

Saluti!

Buona Serata