Funzione differenziabile con esponente in valore assoluto

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Funzione differenziabile con esponente in valore assoluto #63126

avt
Iusbe
Templare
Buongiorno, ho quasi ultimato lo studio delle funzioni in due variabili ma ho un dubbio che mi blocca riguardo alla differenziabilità di una funzione con valore assoluto.

Sia data la seguente funzione:

\ f(x;y) = y+x^{2}e^{\left | y \right |}

determinare se è parzialmente derivabile e differenziabile in \ \left ( 0;0 \right )

Ok iniziamo. Il mio ragionamento è stato:

1) Dimostro la continuità della funzione mediante limite in due variabili:

\ \lim_{(x;y)\to (0;0)}y+x^{2}e^{\left | y \right |}

Dove si vede che fa \ 0. Quindi posso dire che la funzione è continua poiché il limite esiste ed è \ 0.

2) Studio quindi la derivabilità:

\ f_{x}(0;0)=\lim_{(h)\to (0;0)}\frac{f(h;0)-f(0;0)}{h}

Che sarebbe:

\ f_{x}(0;0)=\lim_{(h)\to (0;0)}\frac{h^{2}}{h} = h = 0

La derivata parziale rispetto a y invece dovrebbe essere:

\ f_{y}(0;0)=\lim_{(k)\to (0;0)}\frac{f(0;k)-f(0;0)}{k} = \frac{k}{k} = 1

E quindi ho due le due derivate parziali che esistono e valgono \ f_{x}(0;0) = 0 e \ f_{y}(0;0) = 1. E' corretto fin qui?


Ora: posso impostare il limite per dichiarare se la funzione è differenziabile in \ (0;0)

3) Determinazione differenziabilità:

\ \lim_{(h;k)\to (0;0)} \frac{f(h;k)-f(0;0)-f_{x}(0;0)h - f_{y}(0;0)k}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}

Sostituendo i valori ho:

\ \lim_{(h;k)\to (0;0)} \frac{k+h^{2}e^{\left | k \right |}-k}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}

Cioè ottengo:

\ \lim_{(h;k)\to (0;0)} \frac{h^{2}e^{\left | k \right |}}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}

Ora passo alle coordinate polari e quindi \ h = \rho cos\theta e \ k = \rho sin\theta . Ritornando al mio limite:

\ \lim_{\rho\to 0} \frac{\rho^{2}cos^{2}\theta \cdot  e^{\left | \rho sin\theta \right |}}{\sqrt{\rho^{2}cos^{2}\theta+\rho^{2}sin^{2}\theta}}

Dove apportando le giuste semplificazioni ottengo:

\ \lim_{\rho\to 0} \frac{\rho^{2}cos^{2}\theta \cdot  e^{\left | \rho sin\theta \right |}}{\rho}

Cioè:

\ \lim_{\rho\to 0} \rho cos^{2}\theta\cdot  e^{\left | \rho sin\theta \right |} = 0

Quindi il mio limite è finito e la funzione è differenziabile in \ (0;0)

I procedimenti sono giusti? Ho scordato qualcosa?


Ed ecco la domanda clou dell'esercizio: all'esame il seguente svolgimento è completo?
Perché ho fatto già un bel po' di studi di funzione e mi sono sorti alcuni dubbi.
Quando arrivo a determinare le derivate parziali, il procedimento che ho fatto è sufficiente o devo anche calcolarle facendo vedere tutti i passaggi e POI eseguire il limite che ne dimostra l'esistenza? Perché in alcuni esercizi ho visto che svolgevate semplicemente i limiti e in altri riportavate anche la derivata. Sono un po' perplesso emt


Spero di non essermi dilungato e spero che siano precisi i passaggi
Un caro saluto! emt
 
 

Re: Funzione differenziabile con esponente in valore assoluto #63127

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Iusbe, il tempo di leggere tutto per bene e ti dico! emt
Ringraziano: Iusbe

Re: Funzione differenziabile con esponente in valore assoluto #63128

avt
Ifrit
Amministratore
Se mi presentassero questa risoluzione, personalmente sarei molto soddisfatto. Ci sono però abusi nella scrittura. Vado con ordine emt

1. La continuità in (0,0): il tuo metodo va benissimo, a patto che scrivi esplicitamente che il limite in due variabili coincide con il valore che la funzione assume in (0,0) [Pignoleria over 9000].

Osservazione: il fatto che il limite esista finito non è condizione sufficiente per la continuità di una funzione.

Per farti un esempio in una variabile (mi viene più facile). Considera la funzione:

f(x)=\begin{cases}\arctan\left(\frac{1}{x^2}\right)&\mbox{ se }x\ne 0\\ 0&\mbox{ se }x=0\end{cases}

Hai che:

\lim_{x\to 0}f(x)=\frac{\pi}{2}

ma il limite ottenuto è diverso dal valore che la funzione assume in zero, in parole povere:

\lim_{x\to 0}f(x)\ne f(0)

quindi la funzione non è continua in 0 nonostante il limite per x che tende a zero sia finito.

Altro appunto: avresti potuto evitare di impostare il limite, e superare la questione con una semplice frase (in questo caso):

la funzione è continua in (0,0) perché composizione di funzioni continue.

In questo modo dimostri di saper utilizzare correttamente i teoremi che ti hanno fornito durante il corso, ma ripeto, anche il tuo metodo funziona! emt
__________

Per la parziale derivabilità, ci siamo! Hai scritto e calcolato correttamente i limiti. L'unica cosa a cui devi stare attento è la forma in cui scrivi: migliora il tuo "matematichese". Mi riferisco in particolare alla scrittura:



\ f_{x}(0;0)=\lim_{h->0}\frac{h^{2}}{h} \color{red}=\color{black} h = 0

Quell'uguale è considerato errore, anche se sono sicuro che tu l'abbia fatto per evitarti lo sbattimento latex, emt .

Lo studio della differenziabilità è ben scritto. Solo una frase mi turba:

"Quindi il mio limite è finito e la funzione è differenziabile in \ (0;0)."

Affinché una funzione sia differenziabile in (0,0) dobbiamo richiedere che il "limitone"

\ \lim_{(h;k)->(0;0)} \frac{f(h;k)-f(0;0)-f_{x}(0;0)h - f_{y}(0;0)k}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}

sia esattamente uguale a zero. Ti renderai conto che la frase:

"Quindi il mio limite è finito e la funzione è differenziabile in \ (0;0)."

è diverso da

"Quindi il mio limite è zero e la funzione è differenziabile in \ (0;0)."

Per quanto riguarda il calcolo esplicito delle derivate parziali, be' dipende dalla traccia: se è esplicitamente richiesto di calcolarle devi farlo ovviamente, se invece non è esplicitato allora hai possibilità di scelta: sta a te decidere qual è la strada migliore da seguire. (Personalmente mi sono sempre trovato bene con le definizioni, mi fanno stare più tranquillo, ma non è detto che sia il modo migliore)
_________________

Overall:

Esercizio risolto molto bene, io darei tutti i punti, e se dovessi essere proprio estremista, canaglia (leggi str@&%*), toglierei 1 punto.
Ringraziano: Omega, CarFaby, Iusbe

Re: Funzione differenziabile con esponente in valore assoluto #63131

avt
Iusbe
Templare
Uhm emt

1. La continuità in (0,0): il tuo metodo va benissimo, a patto che scrivi esplicitamente che il limite in due variabili coincide con il valore che la funzione assume in (0,0) [Pignoleria over 9000].


Siamo due pignoli, emt come hai potuto notare nel PM che ti ho mandato ieri emt
Quindi è errato scrivere il limite e poi dire a parole che fa 0 ?
Ho notato che ho omesso:

\ \lim_{(x;y)->(0;0)} y+x^{2}e^{\left | y \right |} = 0 + 0*e^{0} = 0+0*1 = 0

e questo che intendi? emt

Poi:
il fatto che il limite esista finito non è condizione sufficiente per la continuità di una funzione.


Non mi è chiaro come posso "correre ai ripari" emt come posso quindi affermare sia continua su tutto \ R^{2} ?

L'unica cosa a cui devi stare attento è la forma in cui scrivi: migliora il tuo "matematichese"


Ehm emt si in effetti ho accorciato emt
Non succederà più emt

Quindi il mio limite è finito e la funzione è differenziabile


E' un brutto vizio che mi toglierò facendo così: ogni volta che lo scrivo per punizione faccio 3 limiti in due variabili emt

Grazie infinite Ifrit emt emt emt emt

Dopo cena faccio ancora almeno 5 funzioni emt

Per le altre domande rispondi pure con calma dopocena emt (cenerai anche tu nevvero? emt )

Re: Funzione differenziabile con esponente in valore assoluto #63132

avt
Ifrit
Amministratore
Quello che intendevo dire è che non basta dire il risultato del limite. Bisogna accertarsi che il limite, oltre essere finito, coincida con il valore che la funzione assume nel punto a cui tende (x,y).

Devi cioè far vedere che:

\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)= f(0,0)

Ora dalla definizione di funzione che hai proposto scopriamo che

f(0,0)=0

quindi vale l'uguaglianza:

\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)= f(0,0)

e ciò implica che la funzione è continua in (0,0). Nell'esempio che ti ho riportato, ho evidenziato che esistono funzioni che pur ammettendo limite finito, non sono continue. emt


Per dimostrare la continuità in \mathbb{R}^2 puoi sfruttare la continuità "dei singoli pezzi della funzione". Ad occhio infatti si vede che la funzione che hai proposto è continua in tutto \mathbb{R}^2 perché ogni singolo pezzo che la compone è continuo in \mathbb{R}^2 [comunque non mi è chiaro perché hai posto questa domanda, considerando che nell'esercizio non è richiesto]

Fammi sapere.

emt

_____
Ps: no, non ceno, sono un cyborg che non ha bisogno di cibo, mangio libri di cibernetica e insalate di matematica emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, Iusbe

Re: Funzione differenziabile con esponente in valore assoluto #63133

avt
Iusbe
Templare
Ora e TUTTO chiaro emt ho posto l'altra domanda per curiosità mia emt

Perfetto! emt

Tutto risolto emt

Grazie mille ancora! emt

Saluti!

Buona Serata emt
Ringraziano: Ifrit
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Os