Cubo di una matrice e invertibilità

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Cubo di una matrice e invertibilità #63116

avt
kukaaa
Cerchio
Salve a tutti, volevo un aiuto per un esercizio sulle matrici invertibili e sulle potenze di matrici: si dimostri che se A è una matrice quadrata di ordine 10 con A^3=0 allora la matrice I+A è invertibile.

Si trovi l’inversa di I-A dove A è una matrice quadrata di ordine n con A^3 = 0.

Si trovi l’inversa di I + A dove A è una matrice quadrata di ordine n con A^2 = 0.

Grazie mille come sempre
 
 

Cubo di una matrice e invertibilità #63119

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Kukaaa, alcune osservazioni preliminari:

Per ipotesi sappiamo che A è una matrice quadrata di ordine 10, inoltre sappiamo che:

A^3= O

ovvero il cubo di A è la matrice nulla. Il determinante della matrice A è ovviamente zero e lo possiamo asserire grazie al teorema di Binet, il quale asserisce che:

date due matrici quadrate B,C\in M_n(\mathbb{R}) allora vale la seguente relazione:

\mbox{det}(B C)= \mbox{det}(B)\cdot \mbox{det}(C)


Osserva ora che per definizione di potenza di una matrice sappiamo che:

A^3= A\, A\, A (è in pratica un prodotto tra matrici ripetuto)

Applicando il teorema di Binet scopriamo che:

\det(A^3)= \det(A)\det(A)\det(A)= \left[\det(A)\right]^3

Dalla condizione:

A^3=O

segue che

[\det(A)]^3= 0\implies \det(A)=0

Questo ci permette di asserire che A non è una matrice invertibile. Ok, dopo questo preambolo possiamo iniziare a fare delle considerazioni:
Da

A^3= O

sommiamo membro a membro per la matrice identità I di ordine 10:

A^3+I= I\quad (\heartsuit)

Osserva ora che il primo membro si può scrivere anche come:

A^3+I=( A+I) (A^2-A+I)

Pertanto la relazione (\heartsuit) diventa:

(A+I)(A^2-A+I)= I

Chiediamoci ora, i fattori al primo membro sono invertibili? La risposta è sì, vediamo il perché:

il teorema di Binet ci permette di asserire che:

\det[(A+I)(A^2-A+I)]= \det(A+I)\det(A^2-A+I)

Ricorda inoltre che \det(I)=1 (il determinante della matrice identica è 1).

Di conseguenza dall'uguaglianza

(A+I)(A^2-A+I)= I

segue che:

\det(A+I)\det(A^2-A+I)= 1

Se una tra la matrice A+I o A^2-A+I non fosse invertibile, allora il suo determinante sarebbe nullo, e questo fa sì che il prodotto al primo membro fosse nullo, ottenendo l'assurdo 0=1.

Pertanto sia la matrice A+I che A^2-A+I sono invertibili, ottimo! E' una buona cosa emt

Dalla relazione:

(A+I)(A^2-A+I)= I

Moltiplichiamo membro a membro per (A+I)^{-1} a destra:

\overbrace{(A+I)^{-1}(A+I)}^{= I} (A^2-A+I)= \overbrace{(A+I)^{-1}I}^{= (A+I)^{-1}}

Avremo che:

A^2-A+I=(A+I)^{-1}

Abbiamo determinato l'inversa della matrice A+I:

(A+I)^{-1}= A^2-A+I

========================================================

b) Si trovi l’inversa di I-A con A e’ una matrice quadrata di ordine n con A^3 = O.

Il ragionamento è simile a quello precedente, osserva che da

A^3=O

Cambiamo segno membro a membro:

-A^3= O

Sommiamo la matrice identità di ordine n membro a membro:

I-A^3= I

Il primo membro si scrive come:

I-A^3= (I-A)(A^2+A+I)

Pertanto:

I-A^3=I diventa:

(I-A)(A^2+A+I)=I

da cui segue che l'inversa della matrice I-A è:

(I-A)^{-1}= A^2+A+I

==================================================
c) Si trovi l’inversa di I + A con A è una matrice quadrata di ordine n con A^2 = O

Cambiamo segno membro a membro:

-A^2= O

Sommiamo membro a membro per I:

I-A^2= I

Il primo membro si scrive come:

(I+A)(I-A)= I

E per definizione di inversa avremo che:

(I+A)^{-1}= I-A

Tutto chiaro?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, CarFaby, kukaaa
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Os