Cubo di una matrice e invertibilità

Salve a tutti, volevo un aiuto per un esercizio sulle matrici invertibili e sulle potenze di matrici: si dimostri che se A è una matrice quadrata di ordine 10 con allora la matrice è invertibile.

Si trovi l’inversa di dove è una matrice quadrata di ordine n con .

Si trovi l’inversa di dove è una matrice quadrata di ordine n con .

Grazie mille come sempre

Ciao Kukaaa, alcune osservazioni preliminari:

Per ipotesi sappiamo che A è una matrice quadrata di ordine 10, inoltre sappiamo che:



ovvero il cubo di A è la matrice nulla. Il determinante della matrice A è ovviamente zero e lo possiamo asserire grazie al teorema di Binet, il quale asserisce che:

date due matrici quadrate allora vale la seguente relazione:




Osserva ora che per definizione di potenza di una matrice sappiamo che:

(è in pratica un prodotto tra matrici ripetuto)

Applicando il teorema di Binet scopriamo che:



Dalla condizione:



segue che



Questo ci permette di asserire che A non è una matrice invertibile. Ok, dopo questo preambolo possiamo iniziare a fare delle considerazioni:
Da



sommiamo membro a membro per la matrice identità di ordine 10:



Osserva ora che il primo membro si può scrivere anche come:



Pertanto la relazione diventa:



Chiediamoci ora, i fattori al primo membro sono invertibili? La risposta è sì, vediamo il perché:

il teorema di Binet ci permette di asserire che:



Ricorda inoltre che (il determinante della matrice identica è 1).

Di conseguenza dall'uguaglianza



segue che:



Se una tra la matrice o non fosse invertibile, allora il suo determinante sarebbe nullo, e questo fa sì che il prodotto al primo membro fosse nullo, ottenendo l'assurdo .

Pertanto sia la matrice che sono invertibili, ottimo! E' una buona cosa

Dalla relazione:



Moltiplichiamo membro a membro per a destra:



Avremo che:



Abbiamo determinato l'inversa della matrice :



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b) Si trovi l’inversa di con A e’ una matrice quadrata di ordine n con .

Il ragionamento è simile a quello precedente, osserva che da



Cambiamo segno membro a membro:



Sommiamo la matrice identità di ordine n membro a membro:



Il primo membro si scrive come:



Pertanto:

diventa:



da cui segue che l'inversa della matrice è:



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c) Si trovi l’inversa di con A è una matrice quadrata di ordine n con

Cambiamo segno membro a membro:



Sommiamo membro a membro per I:



Il primo membro si scrive come:



E per definizione di inversa avremo che:



Tutto chiaro?