Integrale improprio fratto con radice al denominatore

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Integrale improprio fratto con radice al denominatore #63044

avt
kukaaa
Cerchio
Salve avrei bisogno di una mano con questo integrale improprio irrazionale. Ho una radice in cui il coefficiente di x^2 è negativo. Come devo procedere in questi casi?

\int_{1}^{2} \frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx

Grazie.
 
 

Integrale improprio fratto con radice al denominatore #63079

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Kukaaa emt

Abbiamo l'integrale improprio di seconda specie:

\int_{1}^{2} \frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx

Il dominio di integrazione presenta due punti problematici, essi sono 1 e 2. In questi casi bisogna spezzare l'integrale in due integrali.

\int_{1}^{x_0}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx+\int_{x_0}^{2}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx

dove x_0 è un qualsiasi valore dell'intervallo (1,2).

Per definizione di integrale improprio di seconda specie, scriveremo che:

\int_{1}^{x_0}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx= \lim_{m\to 1}\int_{m}^{x_0}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx

e

\int_{x_0}^{2}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx= \lim_{M\to 2}\int_{x_0}^{M}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx

In ogni caso dovremo calcolare una primitiva della funzione

f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}



Quello che deve saltarti subito all'occhio è il denominatore della funzione integranda, ovvero:

\sqrt{-x^2+3x-2}

ed in particolare il radicando. Il trucco da utilizzare in questi casi è standard, bisogna completare il quadrato in -x^2+3x+2, ma prima conviene mettere in evidenza il meno:

-x^2+3x-2= - (x^2-3x+2)

Il doppio prodotto è rappresentato dal coefficiente di x ed è -3, il coefficiente di x^2 è 1, dunque per completare il quadrato ci manca il quadrato di \frac{3}{2}, aggiungiamo e sottraiamo per \frac{9}{4}:

-x^2+3x-2= - (x^2-3x+2)

=-\left(x^2-3x +\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+2\right)

Ora

\bullet\,\,x^2-3x+\frac{9}{4}= \left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}

\bullet\,\, -\frac{9}{4}+2= -\frac{1}{4}

Pertanto:

-x^2+3x+2= -\left[ \left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\right]=

= \frac{1}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}

Tieni a mente questa informazione ok?
_______________________________

Ordunque torniamo nuovamente all'integrale di partenza:

\int\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx

Se osservi bene, al numeratore abbiamo quasi la derivata di -x^2+3x-2, infatti:

\frac{d}{dx} \left[-x^2+3x-2\right]= {\color{blue}-2}x+{\color{red}3}

Al numeratore abbiamo solo x+1... ci serve prima di tutto un -2 che moltiplica. Poco male, moltiplichiamo e dividiamo per -2:

-\frac{1}{2}\int\frac{-2(x+1)}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx

-\frac{1}{2}\int\frac{-2x-2}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx

Ci serve anche un 3 al numeratore, sommiamo e sottraiamo per 3:

-\frac{1}{2}\int\frac{-2x+3-3-2}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx

-\frac{1}{2}\int\frac{-2x+3-5}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx

Spezziamo l'integrale come somma di integrali, lo possiamo fare perché l'operatore integrale gode della proprietà additiva pertanto:

-\frac{1}{2}\int\frac{-2x+3-5}{\sqrt{-x^2+3x-2}}=

-\frac{1}{2}\int\frac{-2x+3}{\sqrt{-x^2+3x-2}}-\frac{5}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=

-\frac{1}{2}\left[{\color{red}\int\frac{-2x+3}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx}-{\color{blue}\int\frac{5}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx}\right]

Risolviamo l'integrale in rosso

\int\frac{-2x+3}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx

Procederemo integrando per sostituzione.

Poniamo

t= \sqrt{-x^2+3x-2}

il nuovo differenziale è

dt= \frac{-2x+3}{2\sqrt{-x^2+3x-2}}dx

da cui 2dt= \frac{2x+3}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx

L'integrale diventa:

\int 2dt= 2 t+c

Torniamo nella variabile x, ricordando che t= \sqrt{-x^2+3x-2}

Scopriremo che

\int\frac{-2x+3}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx= 2\sqrt{-x^2+3x-2}+c

Concentriamoci sull'integrale in blu

\int\frac{5}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx= 5\int \frac{1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx

Abbiamo visto che:

-x^2+3x-2=\frac{1}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}

dunque potremo esprimere l'integrale come:

5\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}- \left(x-\frac{3}{2}\right)^2}}dx

Ancora non ci siamo ricondotti ad un integrale notevole purtroppo, il nostro obiettivo è farlo diventare un integrale del tipo:

\int \frac{h'(x)}{\sqrt{1-[h(x)]^2}}dx

di cui è nota la primitiva. Quell'1/4 ci rompe le uova nel paniere... be' dai, mettiamo in evidenza \frac{1}{4}

5\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(1- \frac{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2}{\frac{1}{4}}\right)}}dx

Per la proprietà delle potenze abbiamo che:

\frac{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2}{\frac{1}{4}}= \left(\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}\right)^2=

= \left(2x-3)^2

Ottimo! l'integrale

5\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(1- \frac{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2}{\frac{1}{4}}\right)}}dx

diventa:

5\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(1- (2x-3)^2\right)}}dx

Inoltre per le proprietà dei radicali possiamo esprimere:

\sqrt{\frac{1}{4}\left(1-(2x-3)^2\right)}= \sqrt{\frac{1}{4}}\sqrt{1-(2x-3)^2}= \frac{1}{2}\sqrt{1-(2x-3)^2}

Grazie a questo passaggio arriveremo a scrivere:

5\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(1- (2x-3)^2\right)}}dx=

5\int \frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{\left(1- (2x-3)^2\right)}}dx=

10\int \frac{1}{\sqrt{\left(1- (2x-3)^2\right)}}dx=

Ora procediamo per sostituzione ponendo

t=2x-3\implies dt= 2dx\implies dx= \frac{dt}{2}

10\int \frac{1}{\sqrt{\left(1-t^2\right)}}\cdot\frac{1}{2}dt=

5\int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt= 5\arcsin(t)+c

L'ultimo integrale è nella lista degli integrali fondamentali

Torniamo nella variabile x ricordando che t= 2x-3, pertanto:

\int\frac{5}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=5\arcsin(2x-3)+c


In definitiva, possiamo esprimere l'integrale di partenza come:

\int \frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=-\sqrt{-x^2+3x-2}+\frac{5}{2}\arcsin(2x-3)+c

con c costante reale.

=================

Risolviamo l'integrale improprio

\int_{1}^{2} \frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=

=\int_{1}^{x_0}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx+\int_{x_0}^{2}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=

=\lim_{m\to 1}\int_{m}^{x_0}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx+ \lim_{M\to 1}\int_{x_0}^{M}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx

Osserva che

\int_{m}^{x_0}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=\left[-\sqrt{-2+3x-x^2}+\frac{5}{2}\arcsin(2x-3)\right]_{m}^{x_0}=

=-\sqrt{-2+3x_0-x_0^2}+\frac{5}{2}\arcsin(2x_0-3)+\sqrt{-2+3m-m^2}-\frac{5}{2}\arcsin(2m-3)

Quando m tende a 1 hai che \sqrt{-2+3m-m^2} tende a zero, mentre:

-\frac{5}{2}\arcsin(2m-3) tende a \frac{5}{4}\pi, pertanto:

\lim_{m\to 1}\int_{m}^{x_0}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=

= \frac{5}{4}\pi- \sqrt{-x_0^2+3x_0-2}+ \frac{5}{2}\arcsin(2x_0-3)

mentre

\lim_{M\to 2}\int_{x_0}^{M} \frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=\lim_{M\to 2} \left[-\sqrt{-2+3x-x^2}+\frac{5}{2}\arcsin(2x-3)\right]_{x_0}^{M}=

=\lim_{M\to 2} -\sqrt{-M^2+3M-2}+\frac{5}{2}\arcsin(2M-3)+\sqrt{-x_0^2+3x_0-2}-\frac{5}{2}\arcsin(2x_0-3)=

= \frac{5}{4}\pi + \sqrt{-x_0^2+3x_0-2}-\frac{5}{2}\arcsin(2x_0-3)

Adesso sommando i risultati ottenuti, avrai che:

\int_{1}^{2}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=\frac{5}{2}\pi
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, CarFaby
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