Ciao Kukaaa
Abbiamo l'integrale
improprio di seconda specie:
Il dominio di integrazione presenta due punti problematici, essi sono

e

. In questi casi bisogna spezzare l'integrale in due integrali.
dove

è un qualsiasi valore dell'intervallo

.
Per definizione di integrale improprio di seconda specie, scriveremo che:
e
In ogni caso dovremo calcolare una primitiva della funzione
Quello che deve saltarti subito all'occhio è il denominatore della funzione integranda, ovvero:
ed in particolare il radicando. Il trucco da utilizzare in questi casi è standard, bisogna completare il quadrato in

, ma prima conviene mettere in evidenza il meno:
Il doppio prodotto è rappresentato dal coefficiente di x ed è -3, il coefficiente di

è 1, dunque per completare il quadrato ci manca il quadrato di

, aggiungiamo e sottraiamo per

:
Ora
Pertanto:
Tieni a mente questa informazione ok?
_______________________________
Ordunque torniamo nuovamente all'integrale di partenza:
Se osservi bene, al numeratore abbiamo quasi la derivata di

, infatti:
Al numeratore abbiamo solo x+1... ci serve prima di tutto un -2 che moltiplica. Poco male, moltiplichiamo e dividiamo per -2:
Ci serve anche un 3 al numeratore, sommiamo e sottraiamo per 3:
Spezziamo l'integrale come somma di integrali, lo possiamo fare perché l'operatore integrale gode della
proprietà additiva pertanto:
Risolviamo l'integrale in rosso
Procederemo
integrando per sostituzione.
Poniamo
il nuovo differenziale è
da cui
L'integrale diventa:
Torniamo nella variabile x, ricordando che
Scopriremo che
Concentriamoci sull'integrale in blu
Abbiamo visto che:
dunque potremo esprimere l'integrale come:
Ancora non ci siamo ricondotti ad un integrale notevole purtroppo, il nostro obiettivo è farlo diventare un integrale del tipo:
di cui è nota la primitiva. Quell'1/4 ci rompe le uova nel paniere... be' dai, mettiamo in evidenza
Per la
proprietà delle potenze abbiamo che:
Ottimo! l'integrale
diventa:
Inoltre per le
proprietà dei radicali possiamo esprimere:
Grazie a questo passaggio arriveremo a scrivere:
Ora procediamo per sostituzione ponendo
L'ultimo integrale è nella lista degli
integrali fondamentali Torniamo nella variabile x ricordando che

, pertanto:
In definitiva, possiamo esprimere l'integrale di partenza come:
con c costante reale.
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Risolviamo l'integrale improprio
Osserva che
Quando m tende a 1 hai che

tende a zero, mentre:

tende a

, pertanto:
mentre
Adesso sommando i risultati ottenuti, avrai che:
