Integrale improprio fratto con radice al denominatore

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Integrale improprio fratto con radice al denominatore #63044

kukaaa Cerchio	Salve avrei bisogno di una mano con questo integrale improprio irrazionale. Ho una radice in cui il coefficiente di è negativo. Come devo procedere in questi casi? $\int_{1}^{2} \frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx$ Grazie.

Integrale improprio fratto con radice al denominatore #63079

Ifrit

Ambasciatore

Ciao Kukaaa emt

Abbiamo l'integrale improprio di seconda specie:

$\int_{1}^{2} \frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx$

Il dominio di integrazione presenta due punti problematici, essi sono

. In questi casi bisogna spezzare l'integrale in due integrali.

$\int_{1}^{x_0}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx+\int_{x_0}^{2}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx$

dove

è un qualsiasi valore dell'intervallo

.

Per definizione di integrale improprio di seconda specie, scriveremo che:

$\int_{1}^{x_0}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx= \lim_{m\to 1}\int_{m}^{x_0}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx$

e

$\int_{x_0}^{2}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx= \lim_{M\to 2}\int_{x_0}^{M}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx$

In ogni caso dovremo calcolare una primitiva della funzione

$f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}$

Quello che deve saltarti subito all'occhio è il denominatore della funzione integranda, ovvero:

$\sqrt{-x^2+3x-2}$

ed in particolare il radicando. Il trucco da utilizzare in questi casi è standard, bisogna completare il quadrato in

, ma prima conviene mettere in evidenza il meno:

Il doppio prodotto è rappresentato dal coefficiente di x ed è -3, il coefficiente di

è 1, dunque per completare il quadrato ci manca il quadrato di $\frac{3}{2}$ , aggiungiamo e sottraiamo per $\frac{9}{4}$ :

$=-\left(x^2-3x +\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+2\right)$

Ora

$\bullet\,\,x^2-3x+\frac{9}{4}= \left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}$

$\bullet\,\, -\frac{9}{4}+2= -\frac{1}{4}$

Pertanto:

$-x^2+3x+2= -\left[ \left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\right]=$

$= \frac{1}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}$

Tieni a mente questa informazione ok?
_______________________________

Ordunque torniamo nuovamente all'integrale di partenza:

$\int\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx$

Se osservi bene, al numeratore abbiamo quasi la derivata di

, infatti:

$\frac{d}{dx} \left[-x^2+3x-2\right]= {\color{blue}-2}x+{\color{red}3}$

Al numeratore abbiamo solo x+1... ci serve prima di tutto un -2 che moltiplica. Poco male, moltiplichiamo e dividiamo per -2:

$-\frac{1}{2}\int\frac{-2(x+1)}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx$

$-\frac{1}{2}\int\frac{-2x-2}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx$

Ci serve anche un 3 al numeratore, sommiamo e sottraiamo per 3:

$-\frac{1}{2}\int\frac{-2x+3-3-2}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx$

$-\frac{1}{2}\int\frac{-2x+3-5}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx$

Spezziamo l'integrale come somma di integrali, lo possiamo fare perché l'operatore integrale gode della proprietà additiva pertanto:

$-\frac{1}{2}\int\frac{-2x+3-5}{\sqrt{-x^2+3x-2}}=$

$-\frac{1}{2}\int\frac{-2x+3}{\sqrt{-x^2+3x-2}}-\frac{5}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=$

$-\frac{1}{2}\left[{\color{red}\int\frac{-2x+3}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx}-{\color{blue}\int\frac{5}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx}\right]$

Risolviamo l'integrale in rosso

$\int\frac{-2x+3}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx$

Procederemo integrando per sostituzione.

Poniamo

$t= \sqrt{-x^2+3x-2}$

il nuovo differenziale è

$dt= \frac{-2x+3}{2\sqrt{-x^2+3x-2}}dx$

da cui $2dt= \frac{2x+3}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx$

L'integrale diventa:

$\int 2dt= 2 t+c$

Torniamo nella variabile x, ricordando che $t= \sqrt{-x^2+3x-2}$

Scopriremo che

$\int\frac{-2x+3}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx= 2\sqrt{-x^2+3x-2}+c$

Concentriamoci sull'integrale in blu

$\int\frac{5}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx= 5\int \frac{1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx$

Abbiamo visto che:

$-x^2+3x-2=\frac{1}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}$

dunque potremo esprimere l'integrale come:

$5\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}- \left(x-\frac{3}{2}\right)^2}}dx$

Ancora non ci siamo ricondotti ad un integrale notevole purtroppo, il nostro obiettivo è farlo diventare un integrale del tipo:

$\int \frac{h'(x)}{\sqrt{1-[h(x)]^2}}dx$

di cui è nota la primitiva. Quell'1/4 ci rompe le uova nel paniere... be' dai, mettiamo in evidenza $\frac{1}{4}$

$5\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(1- \frac{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2}{\frac{1}{4}}\right)}}dx$

Per la proprietà delle potenze abbiamo che:

$\frac{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2}{\frac{1}{4}}= \left(\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}\right)^2=$

$= \left(2x-3)^2$

Ottimo! l'integrale

$5\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(1- \frac{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2}{\frac{1}{4}}\right)}}dx$

diventa:

$5\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(1- (2x-3)^2\right)}}dx$

Inoltre per le proprietà dei radicali possiamo esprimere:

$\sqrt{\frac{1}{4}\left(1-(2x-3)^2\right)}= \sqrt{\frac{1}{4}}\sqrt{1-(2x-3)^2}= \frac{1}{2}\sqrt{1-(2x-3)^2}$

Grazie a questo passaggio arriveremo a scrivere:

$5\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(1- (2x-3)^2\right)}}dx=$

$5\int \frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{\left(1- (2x-3)^2\right)}}dx=$

$10\int \frac{1}{\sqrt{\left(1- (2x-3)^2\right)}}dx=$

Ora procediamo per sostituzione ponendo

$t=2x-3\implies dt= 2dx\implies dx= \frac{dt}{2}$

$10\int \frac{1}{\sqrt{\left(1-t^2\right)}}\cdot\frac{1}{2}dt=$

$5\int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt= 5\arcsin(t)+c$

L'ultimo integrale è nella lista degli integrali fondamentali

Torniamo nella variabile x ricordando che

, pertanto:

$\int\frac{5}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=5\arcsin(2x-3)+c$

In definitiva, possiamo esprimere l'integrale di partenza come:

$\int \frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=-\sqrt{-x^2+3x-2}+\frac{5}{2}\arcsin(2x-3)+c$

con c costante reale.

=================

Risolviamo l'integrale improprio

$\int_{1}^{2} \frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=$

$=\int_{1}^{x_0}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx+\int_{x_0}^{2}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=$

$=\lim_{m\to 1}\int_{m}^{x_0}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx+ \lim_{M\to 1}\int_{x_0}^{M}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx$

Osserva che

$\int_{m}^{x_0}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=\left[-\sqrt{-2+3x-x^2}+\frac{5}{2}\arcsin(2x-3)\right]_{m}^{x_0}=$

$=-\sqrt{-2+3x_0-x_0^2}+\frac{5}{2}\arcsin(2x_0-3)+\sqrt{-2+3m-m^2}-\frac{5}{2}\arcsin(2m-3)$

Quando m tende a 1 hai che $\sqrt{-2+3m-m^2}$ tende a zero, mentre:

$-\frac{5}{2}\arcsin(2m-3)$ tende a $\frac{5}{4}\pi$ , pertanto:

$\lim_{m\to 1}\int_{m}^{x_0}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=$

$= \frac{5}{4}\pi- \sqrt{-x_0^2+3x_0-2}+ \frac{5}{2}\arcsin(2x_0-3)$

mentre

$\lim_{M\to 2}\int_{x_0}^{M} \frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=\lim_{M\to 2} \left[-\sqrt{-2+3x-x^2}+\frac{5}{2}\arcsin(2x-3)\right]_{x_0}^{M}=$

$=\lim_{M\to 2} -\sqrt{-M^2+3M-2}+\frac{5}{2}\arcsin(2M-3)+\sqrt{-x_0^2+3x_0-2}-\frac{5}{2}\arcsin(2x_0-3)=$

$= \frac{5}{4}\pi + \sqrt{-x_0^2+3x_0-2}-\frac{5}{2}\arcsin(2x_0-3)$

Adesso sommando i risultati ottenuti, avrai che:

$\int_{1}^{2}\frac{x+1}{\sqrt{-x^2+3x-2}}dx=\frac{5}{2}\pi$

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, CarFaby

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